2019年高考数学一轮复习：正态分布

2019年高考数学一轮复习：正态分布

正态分布

1．正态曲线的性质

(1)正态曲线的定义

函数φμ，σ(x)＝

1

2πσ

2

2

2

)

(

eσ

μ

-

-

x

，x∈(－∞，＋∞)，

其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线．简称__________．

(2)正态曲线的性质：

①曲线位于x轴____________，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线____________对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值__________；

④曲线与x轴之间的面积为____________；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着________的变化而沿x轴平移，如图甲所示．

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越__________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越__________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

2．正态分布的定义与简单计算

(1)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b(a

(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

①P(μ－σ

②P(μ－2σ

③P(μ－3σ

可以看到，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内．而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．

自查自纠

1．(1)正态曲线

(2)①上方②x＝μ③1

σ2π

④1⑤μ⑥小大

2．(1)∫b aφμ，σ(x)dx X～N(μ，σ2) (2015·湖北)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()

A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)

D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)

解：由正态密度曲线的性质可知，X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合所给图象可得μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，B错误；对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正确，D错误，故选C.

(2017·惠州二调)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，1)，若P(ξ<3)＝0.977，则P(－1<ξ<3)＝()

A．0.683 B．0.853 C．0.954 D．0.977

解：因为已知随机变量ξ服从正态分布N(1，1)，所以正态曲线关于直线x＝1对称，又P(ξ<3)＝0.977，所以P(ξ>3)＝1－0.977＝0.023，所以P(－1<ξ<3)＝1－P(ξ<－1)－P(ξ>3)＝1－2P(ξ>3)＝1－0.046＝0.954.故选C.

(2015·湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()

A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

解：P(0

1

2P(－1

1

2×0.682 6＝0.341 3，落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.341 3＝3 413.故选C.

(2017·黄石九月调考)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，δ2)，且P(－2≤ξ≤2)＝0.4，则P(ξ>2)＝________．

解：P(ξ>2)＝

1－P（－2≤ξ≤2）

2＝0.3.故填0.3.

(2016·青岛模拟)某班有50名同学，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(110，102)，已知P(100≤ξ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．

解：数学成绩ξ的正态曲线关于直线x＝110对称，因为P(100≤ξ≤110)＝0.34.所以P(ξ≥120)＝

P(ξ≤100)＝1

2×(1－0.34×2)＝0.16. 数学成绩在120

分以上的人数为0.16×50＝8.故填8.

类型一正态分布的概念与性质

已知三个正态分布密度函数φi(x)＝

1

2πσi

2

2

2

)

(

e i

i

x

σ

μ

-

-

(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则()

A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3

B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3

D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

解：由正态曲线关于直线x＝μ对称，知μ1＜μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；σ越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1(μ1)＝φ2(μ2)＞φ3(μ3)，则

1

2πσ1

＝

1

2πσ2

＞

1

2πσ3

，即σ1＝σ2＜σ3.故选D.