流体力学基本方程

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方程左边表示单位体积流体的动量变化率:第一项是当地加速度 项;第二项是对流加速度项,由速度分布的不均匀性引起,即使是 定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。 方程右边第一项是应力张量的散度,表示作用在单位体积流体上 的表面力;第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。
2.2
动量守恒定理
微分形式的能量方程
D Dt

1 e u u dv u pn ds u fdv n qds 2 V S V S



第二雷诺输运定理
高斯定理
D Dt

S
V
e u u dv

1 2
2.2
动量守恒定理
微分形式的动量方程
D udv pn ds fdv V S V Dt
D udv Dt V


Du dv Dt V
n σ ds σ dv
S
pn n σ

Du dv σ dv fdv Dt V V V

V

D 1 e u u dv Dt 2

S
u pn ds u n σ ds n σ u ds σ u dv
S V



S
n q ds q dv
V

D 1 e u u dv σ u dv u fdv qdv Dt 2 V V V V
2.3
能量方程
积分形式的能量守恒方程

任取流动系统体积V,外表面S,表面外法线单位矢量为 n
1 系统总能量, e u u dv,
单位质量流体的动能 1 u u 2 Wp pnv dS W t t dS 表面力作功功率, S S
守恒形式的动量方程
D Dt

V
udv
pn n σ ,
n σdS σdV
S V

S
p n ds fdv

V
( u ) uu dv σdv fdv V V V t
duy 1 p yy 1 xy zy fy x dt y z
duz 1 pzz 1 xz yz fz dt z x z
2.3
能量方程
微分形式的能量方程
v2 v2 1 1 e1 v e1 f v v khT t 2 2
或写为:
2 d v 1 1 e1 f v v khT dt 2
内能方程
ij qi D 1 u j e uiui ij u j ui fi Dt 2 xi xi xi D 1 uiui ui ij ui fi
Dt 2 x j
总能量方程减去机械能方程
Du i ij fi Dt x j
ij Du i u i ui ui f i Dt x j
上述方程可看作在i方向的受力平衡式和速度作点乘,即方程两边 都乘以
u i ,表示力的机械功功率,所以上式是机械能守恒方程。
D Dt ij 1 ui f i ui ui ui x j 2
u k D 0 Dt xk
u k 0 x k
其物理意义是:流体在单位时间流经单位体积的空间时, 流出和流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
2.1 欧拉质量守恒
密度分层流动
不可压缩流体
D 0 Dt
上述定义并不要求这个流体质点与 另一个流体质点的密度相等,即不 要求密度场为均匀场。
D Dt

V
dv
V
D dv Dt
2.2 动量守恒定理
2.2
动量守恒定理
积分形式的动量方程
任取一体积为V的流体,它的边界面为S,根据动量定理,系统中流体动量 的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和。
系统的动量,
作用在系统上的质量力
作用在系统上的表面力
u V dv f dv
连续性方程的证明
微平行六面体
2.1 欧拉质量守恒
第二雷诺输运定理
D dv Dt V



D dv Dt V
证明:
D dv Dt V

( ) u k dv x k V t
( u k ) u k dv t t x x V k k
2 1
密度分层流动 流体质点可沿 1 线或 2 线流动,此时其密度保持为常数 1 D 或 2 , 因此 Dt 0 ,但 0 , 0 。
x
y
密度分层流动可能发生在大气中(由空气温度变化引起),也可 能发生在大洋中(由于水的含盐量变化引起)。



D 1 e u u σ u u f q Dt 2
qi D 1 e ui ui u j ij ui f i Dt 2 xi xi


机械能方程
动量方程 两边同乘 u i ,
u x vn dS FBx FSx
By FSy Bz FSz
微分形式的动量方程
实际流体微六面体各表面的应力分量
微分形式的动量方程
dux 1 pxx 1 yx zx fx dt x y z
第二章
流体力学基本方程
质量守恒
2. 1
2.1 欧拉质量守恒
质量守恒定理
质量守恒定理 在流动过程中流体团体积V的大小和形状可能会 发生变化,但质量保持不变。
D Dt
dv 0
V
由雷诺输运定理,

u k dv 0 t x V k
上述积分的积分区域V是任选的,要使积分恒等于零,只有被积函 数等于零,
V



Du dv n σ ds fdv Dt V S V



Du σ V Dt
f dv 0
Du σ f Dt
u u u σ f t
u k 0 t x k
u D k 0 Dt xk
2.1 欧拉质量守恒
定常流动和不可压缩流体的连续方程
对于定常流动,
0 ,连续方程可简化为, t
u k 0 t x k
x k
u k 0
D 对于不可压缩流体,Dt 0 ,连续方程可简化为,
u j qi De ij Dt xi xi
u j qi e e u k ij t xk xi xi
上式左边表示内能的变化率,第一项是当地变化率,第二项是对流变 化率,是由于流体质点从一个区域运动到另一个区域引起的。公式右 边是引起内能变化的动因,第一项表示由于表面力的作用引起的机械 能向内能的转换功率,第二项则表示由于导热从外界向系统内部的传 热功率。
2.1 欧拉质量守恒
均质不可压缩流体 密度处处相等的不可压缩流体
不可压缩流体
D 0 Dt
0
密度不是 x、y、z的函数
均质流体
物质导数定义式
D u Dt t

0 t
密度也不是 t 的函数 均质不可压缩流体
const
在绝大多数情况下,不可压缩流体也是均质的。
2.2
动量守恒定理
用张量表示法表示动量方程
用张量表示法表示动量方程,
Du σ f Dt u u u σ f t
Du i ij fi Dt x j
u i u i ij u j fi t x j x j
2.3
能量方程
积分形式的能量方程
上式中左端第一项为能量的就地增长率;第二项为流体运 动从控制体净流出的能量通量。式中右端第一项为传入控 制体的热量通量;第二项为对流体做的转轴功率;第三项 为控制面上法向应力对流体做的功率;第四项为控制面上
切应力对流体做的功率;最后一项为重力以外的其他质量
力对流体做的功率。
t

S
x n
F
Bx
FSx
u z V t dV S uz vndS FBz FSz
积分形式动量方程
对于恒定流动,动量方程左端第一项等于0,上式可简化 为
u v dS F u v dS F
S S y n S z n
并矢是二阶张量。
2.3 能量方程
2.3
能量方程
热力学第一定理
对于一个静止的热力学系统(或起始和终止状态处于 静止的系统):系统内能的增加等于外力对系统所作的 功与外界传递给系统的热量之和。 一个确定的流体团也可看作一个热力学系统,流体质 点总在流动中,设该系统偏离平衡态不远:系统总能量 的变化率(包括内能和动能)等于外力对系统的作功功 率与通过导热向系统的传热功率之和。
V
由动量定理得积分形式的动量方程

S
p n ds
D Dt

V
u dv

S
p n ds fdv

V
积分形式动量方程 u x dV u v dS

V
u y V t dV S u yvndS FBy FSy

( u k ) dv V u k dv V xk xk t t
α α Dα 根据连续方程 ( u k ) 0 ,又 uk t x k Dt t x k 于是,

V
பைடு நூலகம்
2

e 为单位质量流体的内能;
质量力作功功率,
传热功率,

V
f v dS
k grad T dS
S h
热通量离开系统表面时为正,这里求传递 给系统的传热功率,所以积分号前加负号
根据能量守恒原理得积分形式的能量方程,
v2 v2 e1 dV e1 gz v dS S kh gradT dS V t S 2 2 dWS k grad T dS t t vdS f vdV S h S V dt
( u ) uu σ V t
f dv 0
ij u j u j uk fj t xk xi
( u ) uu σ f t



uu
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