生存分析知识总结

生存分析知识总结
一、生存分析的基本概念
生存分析是将事件的结果和出现此结果所经历的时间结合起来分析的统计分析方法。

研究生存现象和响应时间数据及其统计规律的一门学科。

对一个或多个非负随机变量（生存时间）进行统计分析研究。

对生存时间进行分析和推断，研究生存时间和结局与众多影响因素间关系及其程度的统计分析方法。

在综合考虑相关因素（内因和外因）的基础上，对涉及生物学、医学（临床、流行病）、工程（可靠性）、保险精算学、公共卫生学、社会学和人口学（老龄问题、犯罪、婚姻）、经济学（市场学）等领域中，与事件（死亡，疾病发生、发展和缓解，失效，状态持续）发生的时间（也叫寿命、存活时间或失效时间，统称生存时间）有关的问题提供相关的统计规律的分析与推断方法的学科。

生存时间也叫寿命、存活时间、失效时间等等。

比如：医学上包括疾病发生时间、治疗后疾病复发时间；可靠性工程系为元件或系统失效时间；犯罪学方面是重罪犯人的假释时间；社会学上指首次婚姻持续时间；人口学上包括母乳喂养新生儿断奶时间；经济学包括经济危机爆发时间、发行债券的违约时间；保险精算学包括保险人的索赔时间、保险公司某一索赔中所付保费；汽车工业包括汽车车轮转数；市场学中有报纸和杂志的篇幅和订阅费。

这些也可以说明，生存时间可以不是具体的时间。

二、生存分析的历史
生存分析方法最早可上溯至十九世纪的死亡寿命表。

现代的生存分析则开始于二十世纪三十年代工业科学中的相关应用。

二次世界大战时期，武器装备的可靠性研究，这一研究兴趣延续到战后。

此时生存分析都集中在参数模型。

二十世纪六七十年代，医学研究中大量临床试验的出现，要求方法学有新的突破，导致了生存分析的研究开始转向非参数方法。

D.R. Cox在72年提出的比例风险模型为此做出了划时代的贡献。

现在，生存分析方法的在医学领域得到了广泛的应用，而通过医学研究要求的不断提高，这一方法也得到了飞速的发展。

三、生存分析的研究目的，内容和具体方法
（一）研究目的主要由以下五个方面
1.描述生存过程：估计不同时间的总体生存率，计算中位生存期，绘制生存函数曲线。

统计方法包括Kaplan-Meier（K-M）法、寿命表法。

2.比较：比较不同处理组的生存率，如比较不同疗法治疗脑瘤的生存率，以了解哪种治疗方案较优。

统计方法log-rank检验等。

3.影响因素分析：研究某个或某些因素对生存率或生存时间的影响作用。

如为改善脑瘤病人的预后，应了解影响病人预后的主要因素，包括病人的年龄、性别、病程、肿瘤分期、治疗方案等。

4.统计方法Cox比例风险回归模型等。

5.预测：建立Cox回归预测模型。

（二）主要研究内容
描述生存过程
研究人群生存状态的规律
研究生存率曲线的变动趋势
是人寿保险业的基础
生存过程影响因素分析及结局预测
识别与反应、生存及疾病等相关风险因素
预测生存结局
在临床中应用的非常广泛
（三）主要分析方法
1.参数法方法：首先要求观察的生存时间t 服从某一特定的分布，采用估计分布中参数的方法获得生存率的估计值。

生存时间的分布可能为指数分布、Weibull分布、对数正态分布等，这些分布曲线都有相应的生存率函数形式。

只需求得相应参数的估计值，即可获得生存率的估计值和生存曲线。

2.非参数方法：实际工作中，多数生存时间的分布不符合上述所指的分布，就不宜用参数法进行分析，应当用非参数法。

这类方法的检验假设与以往所学的非参数法一样，假设两组或多组的总体生存率曲线分布相同，而不论总体的分布形式和参数如何。

非参数法是随访资料的常用分析方法。

3.半参数方法：只规定了影响因素和生存状况间的关系，但是没有对时间（和风险函数）的分布情况加以限定。

这种方法主要用于分析生存率的影响因素，属多因素分析方法，其典型方法是Cox比例风险模型。

生存分析的典型的统计软件主要有SAS、SPSS、Stata、Excel、R。

四、生存分析数据的数据类型
（一）完全数据
每个个体确切的生产时间都是知道的。

这样的数据称为完全数据。

但在实际的生存分析中，数据在很多情况下是很难完全观察到的。

（二）删失
生存数据一个重要的特点是：在研究结束时，无法获得某些个体确切的生存时间。

例如：失去联系（病人搬走，电话号码改变）；无法观察到结局（死于其他原因）；研究截止，个体仍然存活；获得的数据就是删失数据；对存在删失的个体，只知道删失时间。

删失分为右删失、左删失和区间删失
1.右删失是指，在进行观察或调查时，一个个体的确切生存时间不知道，而只知道其生存时间大于时间L，则称该个体的生存时间在L上是右删失的，并称L为右删失数据。

右删失有三种类型(按结束时间差别):
I型删失
对所有个体的观察停止在一个固定的时间，这种删失即为I型删失（或定时删失）。

例如：动物研究通常是以有固定数目的动物接受一种或多种处理开始，由于时间和费用的限制，研究者常常不能等到所有动物死亡。

一种选择就是在一个固定时间周期内观察，在截止时间之后仍可能有些动物活着，但不继续观察了。

这些动物的生存时间是不知道的，只知其不小于研究周期时间。

I型删失的删失时间是固定的。

II型删失
同时对n个个体进行观察，一直到有一固定数目（r < n）的个体死亡（失效）为止，这种删失即为II型删失。

II型删失的删失时间是随机的。

III型删失
所有个体在不同时间进入研究，某些个体在研究结束之前死亡，他们的确切生存时间是知道的，其他个体在研究结束之前退出研究而不被跟踪观察或在研究结束时仍然活着。

进入研究的时间可能不同，删失时间也可能不同，这种删失叫做III型删失，又称为随机删失。

2.左删失
研究对象在时刻t开始接受观察，而在此之前我们感兴趣的时间已经发生，这就是左删失。

例如：
“您初次吸食大麻是在什么时候？”有一种回答：“我吸食过，但我不记得吸食的具体时间了。

”这些回答的吸食时间数据就是左删失；
通过测试确定儿童学会完成特定任务的年龄，有些儿童在进入研究前就已经可以完成某项特定任务，这些儿童的事件发生时间也是左删失；
出现左删失同时,也可能出现右删失，称为双删失（Double censoring）。

例如:对吸食大麻的问卷还有一种回答：“我从来没有吸食过”，这样的数据就是右删失；
3.区间删失
若个体的确切生存时间不知道，只知道其生存时间在两个观察时间L和R之间（L<R），则称该个体的生存时间在[L,R]上是区间删失的。

实际工作中，凡是不能或者不愿作连续监测时就会遇到这样的区间删失。

区间删失分两种：第一类区间删失；第二类区间删失。

区间删失，当对个体只进行一次观察，且个体的确切生存时间不知道，只知道其生存时间是否大于观察时间（即L=0或R=∞），这种删失称为第一类区间删失，也称为现实状况数据
<<<∞时，这种删失称为第二类区间当对个体进行两次观察，其观察时间L和R 满足0L R
删失，也称为一般区间删失，如果初始时间（如艾滋病感染时间）和发生时间均为区间删失，则称生存时间为双重区间删失。

（三）截断
在研究或者观测中，淘汰了一些对象（样本），使得研究者“意识不到他们的存在”。

对截断数据的分析构造似然采用条件分布。

截断包括两种：左截断和右截断。

1.左截断
只有个体经历某种初始事件以后才能观察到其生存时间，称为左截断，此时获得的数据称
为左截断数据
例如：暴露于某疾病、发生死亡前的中间事件等。

退休中心老年居民死亡时间（没到年龄没有进入观测）
左截断与左删失的区别：在左截断的研究中，根本没有考虑那些在进入研究之前已经经历了感兴趣时间的个体，而在左删失的研究中，我们能获得这些个体的部分信息。

即有左截断又存在右删失的情况，称为左截断右删失
2.右截断
只有经历了某种终止事件才能观察到生存时间（将要经历该事件的个体不包含在实验样本中），称为右截断，此时获得的数据称为右截断数据。

例如：对艾滋病感染和发病时间观测数据，有些个体感染病毒但尚未发病，这样的个体不在样本范围之内
截断的数学表示：设Y 是一个非负的表示生存时间的随机变量；T 是另外一个表示截断时间的随机变量。

在左截断下，只有当 时，才能观察到T 和Y ；
在左截断下，只有当 时，才能观察到T 和Y ；
五、生存分析的基本函数和模型
（一）生存函数 描述生存时间统计特征的基本函数,也叫生存率(Survival Rate) ：
设T 表示生存时间，F (t )为T 分布函数,生存函数定义为
0(0)lim ()1; S(+)=lim ()0x x S S x S x ++→∞→==∞=生存函数是非增函数，满足
()()1()()d ()
()'()d t
S t P T t F t f u du S t f t S t t
∞
=>=-==-=-⎰当生存时间为连续型随机变量时：
（二）危险率函数：
描述观察个体在某时刻存活条件下，在以后的单位时间内死亡的（条件）概率。

0(|)
()lim
()()/()d ln[()]/d h P T t h T t t h
T t f t S t S t t λλ+→<+≥===-当连续 ()()1(), 0< S t P T t F t t =>=-<∞Y T ≥Y T ≤
1211111()(), 1,2,
a ()()()()(|)1,1,2, ()()()()()/()(1)
i i i i i i i i i i i i i i i i i a t a t T a a f a P T a i f a S a S a S a P T a T a i S a S a S a S t S a S a λλ-----≤≤<<
===-==≥=
==-==∏=∏
-当离散，取值为，且则处的危险率为
危险率函数在工程上叫做失效率函数或损坏函数，在生存分析和医学统计中又称为风险率函数或瞬时死亡率、或死亡强度、或条件死亡率、或年龄死亡率等。

（三）累计危险率函数
||:()()d ()exp[()]exp[()d ]
()ln[()]
()()ln(1)i i t
t
i i i a t i a t
i t u u
T S t t u u t S t T t t λλλλλ≤≤Λ==-Λ=-Λ=-Λ=Λ=-⎰⎰∑∑累积危险率函数当连续当离散时，危险率函数有两种定义形式：
和如果的值很小，两种定义形式的值接近
（四）平均剩余寿命函数
()()d ()(|)()(0)t s t f s s r t E T t T t S t r ∞
-=->=
⎰平均剩余寿命函数定义为：为平均寿命
（五）常用的参数模型 生存时间的分布一般不呈正态分布。

常用的分布有：指数分布
威布尔（Weibull ）分布伽玛（Gamma ）分布 对数罗吉斯蒂（logistic ）分布对数正态分布
六、风险回归模型
00;(|,)/ (,) 0
(,) h t x P t T t h T t x h t r t x t r t x t x λλλ+→=≤<+≥=>设（）lim （）称为相对风险。

（）为基准风险函数。

为协变量。

0101(,)=exp[()'] (;)=()exp[()']
()=[(),,()]'()=(|)(0,
,0)')(,
,)'p p r t x Z t t x t Z t Z t Z t Z t x t t t x βλλβλλβββ==取即得Cox model
其中：为协变量和的函数
为未知的回归参数Relative risk model (Cox model)
10exp[()'](,,)'
()p Z t t ββββλ=为参数部分为未知参数为非参数部分，未知基准函数
因此，相对风险模型为半参数模型
00
Cox (;)(|)
exp{()exp[()']} (;)(;)(;)
t
S t x P T t x u Z u du f t x t x F t x λβλ=>=-=⎰在模型下：生存时间的分布函数为
密度函数为：
比例风险模型
0;()exp[']
(,)exp[']Z t Z t x t Z r t x Z λλββ==当（）时，即协变量不依赖时间变化
（）=此时为常数。

故称为比例风险模型。

exp(')
(;)()0()exp[()]000
(;)(;)()exp(')exp(')0000
exp(')
00(;)exp{(;)}exp(()exp('))()Z S t x S t t
S t u du t t t x u x du u Z du t Z Z S t x t x t Z S t βλλλββββ=⎰=-Λ==Λ⎰⎰=-Λ=-Λ=为基准生存函数。

这是因为：=（）
在风险比例模型下
故：
相对风险模型参数估计
基本方法：偏似然（partial likelihood ）
偏似然的定义：
11()()11()()(1)(1)()(1)11
(;,)
,,.
(,
,),(,,),(|,;,)(|,;)()
m m j j j j m m m m j j j j j j j j Y f y Y A B A B A A A B B B A B f b b a f a b a m θββθθβββ---====∏∏随机变量密度函数为其中为感兴趣参数，为讨厌参数。

将写成随机变量集合形式 ，令若的联合密度可写成：则称第二个乘积项为的偏似然。

可以固定也可以随机 偏似然的性质：偏似然不是一般意义下的似然，没有直观的概率、条件概率或边缘概率的解释。

在很多情况下，可以类似似然函数使用。

如与大样本相关估计相关的性质。