线性规划问题 含参数问题

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标 系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点组成的平面区域 (半平面)不含边界直线．不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区 域(半平面)包括边界直线．
(2)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax＋By＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其 坐标适合同一个不等式 Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内 的点，其坐标适合另一个不等式 Ax＋By＋C<0.
解:(1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方的点的集 合.x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上
及左方的点的集合.
������-������ + 5 ≥ 0, 所以,不等式组 ������ + ������ ≥ 0, 表示的平面区域如图阴影部分所示.
D．(0,1]∪43，＋∞
(1)解 x－y≥0， 不等式组2x＋y≤2， 表示的平面区域 x＋y＝a.
y≥0
如 求图A，(阴B影两部点分的)，坐标分别为23，23和(1,0)， 若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，
则直线 x＋y＝a 的 a 的取值范围
是
0＜a≤1
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各 个不等式所表示的平面区域的公共部分．
x－ｙ＋５≥０
画出
x＋ｙ≥０ 表示的平面区域
判定方法2：当A>0时
Y
x+y=0
Ax+By+C>0表示直线右方区域；
Ax+By+C<0表示直线左方区域.
口诀：大为右，小为左一般式（A>0）
O
x－y+5=0
X
判定方法3：观察B与不等式的符号
若B的符号与不等式符号相同，则表示直线上方区域； 若B的符号与不等式符号相异，则表示直线下方区域.
口诀：同为上，异为下一般式
在可行域内求目标函数的最优解 理解目标函数的意义．
法1：移－在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的 方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当 b＞0 时， 直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截 距最小时，z 值最小；当 b＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上 截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大．
������ ≤ 3
结合图中可行域得
x∈
-
5 2
,3
,y∈[-3,8].
5 题型一 题型二 题型三 题型四
������-������ + 5 ≥ 0, 画出不等式组 ������ + ������ ≥ 0, 表示的平面区域,并回答下列问题:
������ ≤ 3
(1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 思路分析：(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点 集的交集,因而是各个不等式所-表������ ≤示���的��� ≤平���面��� +区5域, 的公共部分,但要注意是否 包含(2边)由界图. 形及不等式组知 -2 ≤ ������ ≤ 3,且������∈Z. 当(2x)整=3点时是,-指3≤横y≤坐8标,有、纵12坐个标整均点为; 整数的点. 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点. 故平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个).
当 m＝2 时，不等式组表示的平面区域只包含一个点
A(1,1)．显然都不符合题意．
有 m>2，此时平面区域为一个三角形区域，其顶点
目为标A函(1数,1)z，＝Bx－(my－的1几,1)何，意C义m是＋3 直1，线2ym＝3－x－1 z 在 y 轴
上的截距的相反数．
m-z
2
由图 a，可知当直线经过点 C 时，z 取得最小值，
法2：算－在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在 可行域的顶点或者边界上取得最值．（当两顶点的目标函数 值相等时最优解落在一条边界线段上）。在解答选择题或者 填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验．此法可弥补 作图不准的局限。
题型一 不等式(组)所表示的平面区域
������-������ + 5 ≥ 0, 画出不等式组 ������ + ������ ≥ 0, 表示的平面区域,并回答下列问题:
������ ≤ 3 (1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 思路分析：(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点 集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分,但要注意是否 包含边界. (2)整点是指横坐标、纵坐标均为整数的点.
题型一 题型二 题型三 题型四
或
4 a≥3.
x-y＝0
2x+y＝2
▲ 已知实数 x，y 满足yy≤≥21x，－1， 为－1，则实数 m＝________x. ＋y≤m，
如果目标函数 z＝x－y 的最小值
解
y≥1， 不等式组y≤2x－1，
所表示的平面区域如图所示，
x＋y≤m
当 m<2 时，不等式组表示的平面区域是空集；
的△ABC，其中点 A(4,4)，B(0,2)，C(2,0)．
目标函数 z＝kx＋y，化为 y＝－kx＋z. 当－k≤12，即 k≥－12时，目标函数 z＝kx＋y 在点 A(4,4)取得最大值 12，
故 4k＋4＝12，k＝2，满足题意；
当－k>12即 k<－12时，目标函数 z＝kx＋y 在点 B(0,2)取得最大值 12，故 k·0＋2＝12，无解，
(2)z=x2+(y-5)2 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方, 过 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上.由题知直线 MN 的方程
为 x+y=5,所以可得点 N 的坐标为
3 2
,
7 2
.
故 z 的最·������������--(--112)表示可行域内任一点(x,y)与定点 Q
由xy＝＝a1，x－3 得 A(1，－2a)，
当直线 2x＋y－z＝0 过点 A 时，
z＝2x＋y 取得最小值，
z
x=1 C
x+y=3
y=a(x-3) B
所以 1＝2×1－2a， 解得 a＝12， 故选 B.
A 2x＋y－z＝0 ·
x 4 y 13 0 已知变量x, y满足约束条件2 y x 1 0 且有无穷多个点(x, y)使
x y 4 0,
目标函数z x my取得最小值，求m的值.
x＋y－2≥0， 训练 2 (浙江卷)设 z＝kx＋y，其中实数 x，y 满足x－2y＋4≥0，
2x－y－4≤0.
若 z 的最大值为 12，则实数 k＝_2__. _____. z＝12
解 约束条件所表示的可行域为如图所示
1
最由小题值意为，z得＝2m－3＋3m1＝－－2m1， 3－解1＝得2－m3＝m 5.故填 5.
(2)(新课标全国Ⅱ卷)已知 a＞0，x，y 满足约束条件xx≥＋1y≤，3， y≥ax－3.
若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝(
)．A.14
1 B.2
C．1
D．2
解 由约束条件画出可行域 (如图所示的△ABC)，
6 题型一 题型二 题型三 题型四
������-������ + 2 ≥ 0, 已知 ������ + ������-4 ≥ 0,求:
2������-������-5 ≤ 0, (1)z=x+2y-4 的最大值; (2)z=x2+y2-10y+25 的最小值;
(3)z=2���������+���+11的取值范围. 思路分析：(1)z=x+2y-4 表示直线的纵截距问题;(2)z=x2+y2-10y+25 表
-1,-
1 2
连线的斜率的
两倍,
因为
kQA=74,kQB=38,故
z
的取值范围为
3 4
,
7 2
.
题型一 题型二 题型三 题型四
x－y≥0， 【训练 1】若不等式组 2x＋y≤2，
y≥0，
则 a 的取值范围是( D A.43，＋∞ B．(0,1]
)． C.1，43
x＋y≤a 表示的平面区域是一个三角形，
综上可知，k＝2.
蓝色直线为目 标函数直线
示距离的平方问题;(3)z=2���������+���+11表示两点连线的斜率问题.
解:作出可行域如图阴影部分所示.
求出顶点的坐标 A(1,3),B(3,1),C(7,9). (1)易知 y=-12x+2������+2,z 取最大值即2������+2 取最大值,平移直线 y=-12x,由图可 知当直线过点 C 时,2������+2 取最大值. 所以将 C(7,9)代入 z=x+2y-4 得 z 的最大值为 21.