生猪出售时机的数学模型

r 和 g 的微小变化对最佳出售时机 t 有一定的影 响，不过影响并不算剧烈. 在本案例中，在较短的时段内农场每天投入的成 本大致是保持不变的，而生猪每天增加的体重也较容 易得到准确的估计值，但是生猪出售的市场价格会经 常发生波动，所以最为需要的是计算t 对 g 的灵敏度.
（ 1） t是 r的 增 函 数 60 70
3. 模型建立和求解
所以在 t 天之后出售生猪的收入 R (t ) p (t ) w (t ) p (0 ) w (0 ) rp (0 )
g w ( 0 ) t g r t
2
于是在 t 天之后出售生猪比现在出售多赚的纯利润 为：
Q (t ) R (t ) C (t ) p (0 ) w (0 ) r p ( 0 ) g w ( 0 ) c t g r t
2
(2.3.3)
(2.3.3)式就是所求的优化目标函数，要求出当 t 取何 值时，Q(t)达到最大值. 这是求二次函数最大值问题.
3. 模型建立和求解
（1）如果 则当
rp (0) gw (0) c 0
t rp (0) gw (0) c 2 gr
(2.3.4) (2.3.5)
第2章
wenku.baidu.com
数学建模概述
2.3节
生猪出售时机
1. 问题提出
农场每天投入 3.2 元资金用于饲料、 设备和人力， 估计可使一头 90 公斤重的生猪每天增重 1 公斤. 现在 生猪出售的市场价格为 12 元/公斤，但是预测每天会 降低 0.08 元/公斤. 问应该什么时候出售生猪？ 如果上述估计或预测的数据发生变化，对结果有 多大影响呢？
2
Q(t)达到最大值 Q m a x

rp (0)
g w ( 0 ) c 4 gr
(2.3.6)
模型假设的具体数值满足(2.3.4)式，算得 t=10， Q m a x 8 . （2）如果 r p ( 0 ) g w ( 0 ) c 0 ，则当 t=0 时 Q(t) 取得最大值 0，即与其继续饲养，不如立即出售.
2. 问题分析
投入资金可使生猪体重随时间增加，但预测生猪 出售的市场价格随时间下降，应该存在一个最佳的出 售时机，使获得的利润最大. 所以本题属于优化问题.
2. 问题分析
实际上，在较短的时段内农场每天投入的成本大 致是保持不变的，而生猪每天增加的体重也较容易得 到准确的估计值，但是生猪出售的市场价格会经常发 生波动. 按照题意，可以先假设农场每天投入的成本、生 猪每天增加的体重和生猪出售的市场价格的每天的 降幅都是常数，建立和求解数学模型，得到生猪出售 的最佳时机，然后讨论参数变化对模型解答的影响， 最后讨论模型解答对模型假设的依赖性.
代入具体数值，可算出 S(t,r)=6.5.
4. 灵敏度分析
定义 t 对 g 的灵敏度为 S ( t , g )
t t g g
(2.3.11)
由(2.3.11)式数值计算得到的结果见表 2.4. 表 2.4 数值计算 t 对 g 的灵敏度（g=0.08,t=10） g+Δg 0.0808 0.084 0.088
5. 强健性分析
更实际的模型应考虑非线性和不确定性，则所求 的优化目标函数可以写成 (2.3.15) Q ( t ) p ( t ) w ( t ) C ( t ) p (0 ) w (0 ) 假设(2.3.15)式中的所有函数均可导，于是求导可得
Q ( t ) p ( t ) w ( t ) p ( t ) w ( t ) C ( t )
（ 1） g=0.08, rp(0)-gw(0)-c>0 8 7 6 -1.5 5 4 3 2 -4 1 0 -4.5 -5
Q Q
（ 2） g=0.1, rp(0)-gw(0)-c<0 0 -0.5 -1
-2 -2.5 -3 -3.5
0
5 t
10
15
0
2 t
4
6
图2.5
4. 灵敏度分析
灵敏度分析，就是分析数学模型的某个参数变化 时模型的解答的变化程度. 可以在其它参数固定不变 的情况下，考察某个参数发生微小变化时模型解答所 发生的变化. 这里所说的变化是相对变化，即改变量 与原值的比值. 本案例要求评估参数 g 或 r 的变化对模型解答的 影响.
（ 2） t是 g的 减 函 数
50
60
50 40 40 30
t
t
30 20 10 0 1 r 2 3 0 0.04
20
10
0
0.06 g
0.08
0.1
图2.6
5. 强健性分析
强健性分析，就是分析模型假设相对于实际情况 的精确程度对模型解答的影响. 本案例假设饲养生猪每天的投入 c、生猪每天增 加的体重 r 和出售价格每天的降低 g 都是常数，由此 得到的生猪体重函数 w(t)和生猪出售价格函数 p(t)都 是线性函数，从而纯利润函数是二次函数，这是对现 实情况的简化，而且只适用于较短的时段内. 例如现在生猪出售价格为 12 元/公斤，预测每天 降低 0.08 元/公斤，照这样 150 天之后价格变成 0 了.
g g
(%)
t+Δt
t t
(%)
S (t , g )
t t g g
1 5 10
9.4554 -5.4455 7.381 -26.19 5 -50
-5.4455 -5.2381 -5
4. 灵敏度分析
重新定义 t 对 g 的灵敏度为 S ( t , g ) 注意 t 是 g 的减函数： t 了使 t>0，g 应该满足 r p ( 0 )
5. 强健性分析
本案例中， p ( t ) g ， w ( t ) r 是根据估计或预 测确定的，灵敏度分析说明，只要它们在未来不长的 一段时间内变化不太大，由于假设它们是常数而导致 的最佳出售时机的误差就不会太大，所以可以认为我 们的模型是强健的. 由于本案例的模型只适用于较短的时段内，因此 在应用这个数学模型的时候，最好是每隔一周，重新 估计模型的各个参数，用模型重新计算.
3. 模型建立和求解
t ～ 从现在开始计算的饲养生猪的天数， t 0 C(t) ～ 农场在未来 t 天内累计投入的资金（元） c ～ 农场每天投入的资金（元） w(t) ～ 生猪在第 t 天的体重（公斤） r ～ 生猪体重每天的增加值（公斤/天） p(t) ～ 在第 t 天的生猪出售的市场价格（元/公斤） g ～ 生猪出售市场价格每天的降低值（元/公斤/天） R(t) ～ 在 t 天之后出售生猪的收入（元） Q(t) ～ 在 t 天之后出售比现在多赚的纯利润（元）.
dt

r
. . 为
dr t 的增函数： t p ( 0 ) g w ( 0 ) c 1 2g 2g r
gw (0) c 0 .
了使 t>0，r 应该满足 r p ( 0 )
S (t , r )
所以 (2.3.10)
gw (0) c rp (0) gw (0) c
S (t , g )
rp (0 ) c 2r
dt dg
1 g

g t
. . 为
w (0) 2r
gw (0) c 0 .
所以 (2.3.14)
c rp (0) rp (0) gw (0) c
代入具体数值，可算出 S ( t , g )
5 .5 .
4. 灵敏度分析
3. 模型建立和求解
模型假设： （1）农场每天投入的资金 c 为常数，c=3.2 元， 即
C (t ) c t
（2）现在生猪出售的市场价格为 p(0)=12 元/公 斤，价格每天的降低值 g 为常数，g=0.08 元/公斤/天， 于是 (2.3.1) p (t ) p (0 ) g t （3） 现在生猪的体重为 w(0)=90 公斤， 体重每天 的增加值 r 为常数，r=1 公斤/天，于是 (2.3.2) w (t ) w (0 ) rt
所以如果 Q(t)在 t 取得极值，t 应该满足 (2.3.16) 在经济学上，出售的最佳时机恰好在单位时间内 增加的出售收入等于单位时间内增加的投入的时候.
p ( t ) w ( t ) p ( t ) w ( t ) C ( t )
5. 强健性分析
以上所讨论的更一般的数学模型应用在实际当 中，遇到的困难是难以获得模型中的那些函数的准确 形式，而且讨论在数学上是任意非负实数的出售时机 t 和价格 p(t)也不一定有实际意义. 依据近期的生猪的 饲养情况和市场价格的走势，给出未来不长的一段时 间内关于 p ( t ) 、 w ( t ) 和 C ( t ) 的估计值或者预测值， 并且简化为常数， 从而采用确定性的、 线性化的模型， 这应该是可行而合理的建模方法.
t t r r
1 5 10
6.4356 30.952 59.091
6.4356 6.1905 5.9091
4. 灵敏度分析
令 Δr→0，就有 S ( t , r )
t t r r t r r t dt dr r t
， 所
以我们重新定义 t 对 r 的灵敏度为 S ( t , r ) 注意 t 是 r
4. 灵敏度分析
首先以 r 为例，研究 r 的变化对最佳出售时机 t 的影响. 可以考虑如果 r 发生的相对变化为 r r ，则 t 发生的相对变化 t t 是 r r 的多少倍， 即定义 t 对 r 的灵敏度为
S (t , r ) t t r r
(2.3.7)
解释成：如果 r 增加 1%，则 t 变化的百分比是 1%的 S(t,r)倍. 如果 S(t,r)很小，则 t 对 r 不灵敏；反之，则 t 对 r 灵敏，r 的微小变化会带来 t 的较大的变化.
4. 灵敏度分析
在实践中，由(2.3.7)式定义的灵敏度需要数值计 算得到列表的结果（见表 2.3）. 表 2.3 数值计算 t 对 r 的灵敏度（r=1,t=10） r+Δr 1.01 1.05 1.1
r r
(%)
t+Δt 10.644 13.095 15.909
t t
(%)
S (t , r )