累次极限换序的一个充分条件.1pdf

定理３：设有一元函数列．厶（％），若满足条件 （１）２溉五（菇）＝Ａ。，（ｎ＝１、２、３、…）；
”～
（２）在ＸＯ的某一个去心邻域扩（省。，占）内，工（戈）一致收敛于极限函数“省），则 ｌｉｍｌｉｍｆ。（戈）＝ｌｉｍ Ｚｉｍｆ。（菇）．（证明略）
三、一致收敛定理的应用 （一）可用于证明二元函数八戈，Ｙ）的两个二阶混合偏导数相等
ＺＨＡＮＧ Ｓｈｏｕ．ｔｉａｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｗｅｉｆａｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｗｅｉｆａｎｇ Ｃｈｉｎａ，２６１０４３）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｅｄ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ｔｗｏ—ｖａｒｉａｂｌｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ａ ｓｕｒｆ ｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖ— ｅｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｌｉｍｉｔｓ．
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
张守田， ZHANG Shou-tian 潍坊学院,数学系,山东,潍坊,261043
潍坊学院学报 JOURNAL OF WEIFANG UNIVERSITY 2002，2(4) 0次
参考文献(3条) 1.刘玉琏.傅沛仁 数学分析讲义(下） 1992 2.华东师范大学数学系 数学分析(下） 1991 3.朱时 数学分析札记 1994
·
ｙ－’ｒｏ
切值一致收敛于极限函数９（菇）的充分必要条件是：对Ｖ ｅ＞０，ｊ ｄ＞０，当０＜Ｉ Ｙ—Ｙｏ ｌ＜艿，０＜ｌ Ｙ。一
Ｙ。｝＜艿，对于一切的茄∈ｘ，有ｉ以髫，ｙ）一八菇，），’）ｉ＜￡．
证明：（１）必要性、因为八戈，），）在ｘ上对菇的一切值一致收敛于极限函数妒（茄），所以Ｖ ｅ＞０，ｊ ｄ＞
０，当０＜Ｉ ｙ一，，ｏ｜＜艿，０＜ｌ ＹＩ—ｙｏ １＜ｄ，有Ｉ八菇，，，）一妒（石）Ｉ＜吾，Ｉ八菇，Ｙ’）一９（ｘ）Ｉ＜寺．
．·．Ｉ“菇，，，。）一八戈，Ｙ）｜ｓ ｆ（ｘ，ｙ’）一９（菇）｝＋Ｉ八菇，），）一９（菇）Ｉ＜￡． （２）充分性、因为Ｖ ｅ＞０，ｊ ８＞０，当０＜ｌ ｙ—Ｙｏ｝＜占，０＜Ｉ Ｙ’一Ｙｏ ｌ＜８，对一切的戈∈ｘ，有Ｉ厂
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以极限为工具,研究了函数列的极限函数可微性问题,改进了通常的导函数列是一致收敛的较强条件,得到了一个极限函数可微性的一个充分条件,并 扩大了其应用范围.
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Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｉｔｅｒａｔｅｄ ｌｉｍｉｔ；Ｌｉｍｉｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｕｎｉｆｏｒｍ ｅｏｌｌｖｅｒｇｅｌｌｅｅ ｏｆ ｓｅｑｕｃｒｌｃｅ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｆｕｎｃ。
ｔｉｏｎｓ．
责任编辑：ｉｌｌ坤
·３０ 万·方数据
累次极限换序的一个充分条件
作者： 作者单位： 刊名：
参考文献：
［１］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（下）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９２．
［２］华东师范大学数学系．数学分析（下）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９１．
［３］朱时．数学分析札记．［Ｍ］贵阳：贵州教育出版社，１９９４．
Ａ ＳｕＩ畸ｃｉｅｎｔ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｉｔｅｒａｔｅｄ Ｌｉｍｉｔｓ ｔｏ Ｃｈａｎｇｅ Ｏｒｄｅｒ ｏｆ Ｌｉｍ ｉｔｓ
设二元函数八菇，），）在点ｐ（并。，Ｙｏ）的邻域ｕ（ｐ，口）内存在一阶偏导数Ｚ及Ｚ和二阶混合偏导数厶
（省，ｙ）及丘（髫，Ｙ）．令
Ｆ（髫，ｙ）：丛鱼二羔丛遣』Ｌ』鱼虫筮±上Ｌ』鱼ｄ！』鱼二丛鱼型．由二阶混合偏导数的定 ｘｙ
义，姆蚜Ｆ（戈，），）＝厶（Ｘ０ ｙ。），鲫蚜Ｆ（石，），）＝厶（ｍ舶）－
要证明厶（菇。，Ｙ。）＝厶（菇。，Ｙ。），只须证明Ｆ（菇，Ｙ）的累次极限可以换序即可．由定理２可得到判别二元
定理２：设八石，，，）定义在Ｄ＝Ｘ×Ｙ，Ｘ与ｌ，各有聚点Ｘｏ与ｙ０（有限或无穷） （１）若对ｌ，中的每一个Ｙ值存在极限函数ｌｉｍ八戈，Ｙ）＝９（Ｙ）；
（２）当），一‰时，八菇，，，）在ｘ内对戈的一切值一致收敛于妒（菇），则 ｌｉｍｌｉｍｆ（戈，Ｙ）＝ｌｉｍｌｉｍｆ（戈，Ｙ）．
证明：显然，根据一致收敛的定义，若．厂（菇，Ｙ）满足定理中的条件（２），则对ｘ中的每一个石值，有 ｌｉｍｆ（ｘ，Ｙ）＝妒（戈）． 广％
下载时间：2010年8月9日
函数两个二阶混合偏导数相等的如下定理．
令ｍ，ｙ）：丛旦型立丛燮咤上监垫丛型 定理４设八菇，ｙ）在点ｐ（ｘ。，舶）的邻域ｖ（ｐ，ｏ）内存在二阶混合偏导数厶（菇，，，）及厶（石，），）．
如果当），一。时，Ｆ（石，），）对ｖ ｘＥ（一ｏ，０）ｕ（ｏ，口）一致收敛于９（算），（其中Ｐ（戈）＝÷［Ｚ（戈ｏ＋并，Ｙｏ）
函数列‘（石）的极限函数的三个重要性质（连续性，积分号下取极限，微分号下取极限）成立的前提 就是厶（彤）一致收敛于极限函数，可见它们都是上述定理３的特例，不必特别的给予证明． （三）在含参变量无穷积分上的应用．
对于含参变量的无穷积分９（ｕ）＝ｆ八菇，Ｍ）ｄｘ，ｕ６［口，卢］．按照无穷积分的定义，若令９（Ｍ，秽）＝
第２卷第４期
Ｖ０１．２ Ｎｏ．４
潍坊学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｗｅｉｆａＩｌｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
２００２年７月 Ｊｕｌ．２００２
累次极限换序的一个充分条件
张守田＋
（潍坊学院数学系，山东潍坊２６１０４３）
摘要：本文对于二元函数的累次极限的换序给出了一致收敛这一充分条件。
关键词：累次极限；极限函数；一致收敛
（戈，ｙ）一／－（石，ｙ’）Ｉ ＜ｅ．
将上式令／一ｙ０两边取极限，有Ｉ八菇，），）一妒（茗）Ｉ≤ｓ，即“戈，），）在ｘ上对菇的一切值一致收敛
于极限函数妒（茗）．
＊收稿日期：２０吆—㈣２
作者简介：张守田（１９４５一），男，山东寿光市人，潍坊学院数学系副教授。
·２８·
万方数据
第４期
张守田：累次极限换序的一个充分条件
Ｙ＇Ｙｏ
ｌ／ｍ缈（Ｙ）＝Ａ
（Ｃ）
广托
因为ｌ ９（ｚ）一Ａ １≤ｌ ９（ｘ）一八菇，Ｙ）Ｉ＋Ｉ ｆ（菇，Ｙ）一缈（ｙ）１＋Ｉ
９（Ｙ）一Ａ Ｉ对于（Ａ）式固定戈的
值，令Ｙ’一ｙ。，由条件（２），有
Ｉ妒（戈）一以戈，Ｙ）｛≤￡
（Ｄ）
对于（剐式，固定，，（满足条件０＜ｊ Ｙ—Ｙｏ Ｊ＜毋），当令ｙ’一如时，由（Ｃ）式可得到ＩＡ一缈（，，）Ｉ≤￡（Ｅ）
２、若八菇，），）的两个累次极限存在且相等，亦即ｚ溉ｚ溉八菇，Ｙ）＝ｌｋｎｌｉｒａ以菇，），），则称两个累次极限可以
ｒ％７一～
５’～，’％
换序．
定义２：设八茄，），）定义在Ｄ＝ｘ Ｘ Ｙ，Ｙｏ为Ｙ的聚点（设Ｙｏ为有限数）．
１、若以戈，Ｙ）当ｙ一蛳时有一个有穷的极限函数ｌ／ｍｆ（菇，Ｙ）＝Ｐ（石），ｚ∈ｘ；
』厂（髫，Ⅱ）ｄｘ，秽≥口，则含参变量的无穷积分可以表示为
９（ｕ）Ｊ．厂（％，ｕ）ｄｘ＝ｌｉｍ』．“菇，ｕ）ｄ蓐＝Ｚｉｍ４，（１Ｉ，＂），
则等式ｌｉｍ９（ｎ）＝ｌｉｍｌｉｎｔ９（Ｍ，＂）＝ｌｉｒａ ｆ厂（菇，ｕ）ｄｘ＝ｆ ｌｉｍ八髫，ｕ）出，即妒（“，移）累次极限的换序ｌｉｍ
旷’～
“呻ｌ‘ｏ‘广’帕
一Ｚ（菇。＞Ｙ。）］，则必有厶（石。，Ｙ。）＝厶（戈。，Ｙ。）．
万方数据
·２９·
潍坊学院学报
２００２年７月
当菇一Ｏ时，如果Ｆ（茁，），）对ＶｙＥ（一。，０）ｒｓ（ｏ，口）一致收敛于９（ｙ），结论也成立． （二）在函数列及函数项级数方面的应用．
由于函数列的极限函数与函数项级数的和函数是同一个问题的两种表达形式，所以我们只就函数 列的问题讨论即可．
１、对），内的任一固定的，，，当茹一菇。时，ｌ／ｍｆ（石，Ｙ）＝≯（Ｙ）．而驴（），）在），一），。时有ｌ／ｍ妒（，，）＝Ａ（Ａ为有
限或无穷）．则称４为八石，，，）先对搿后对，，的累次极限，记为ｌ／ｍ ｚｉ，ｎｆ（省，Ｙ）＝Ａ．
类似的可以定义另一种次序的累次极限ｌ／ｍ ｌｉ，ｎｆ（石，Ｙ）＝Ｂ．
７＋勺厂’％
对于适合０＜Ｉ Ｙ—Ｙ。Ｉ＜占的Ｙ的任意固定值，由定理中的条件（１），对于上述的同一个￡＞０，ｊ艿，＞
０，当０＜Ｉ菇一菇。ｌ＜艿。时，有Ｉ“戈，Ｙ）一９（Ｙ）ｌ＜ｅ
（Ｆ）
于是，当０＜Ｉ菇一‰Ｉ＜艿时，由（Ｄ）、（Ｅ）、（Ｆ）三式可得到Ｉ ９（石）一Ａ Ｉ＜３ｅ．
因此ｌｉｒａＰ（戈）＝Ａ，从而ｌｉｒａｌｉｒａｆ（茗，Ｙ）＝ｌｉｍｌｉｒａｆ（茗，，，）．
２、对Ｖ￡＞０，了艿＞ｏ，对于一切的菇∈Ｘ，当０＜Ｉ），一Ｙｏ Ｉ＜艿时，有Ｉ八菇，），）一≯（算）Ｉ＜ｅ，则称八ｚ，
），）当），一），。时对Ｘ中的戈值一致收敛于极限函数９（菇）．
当Ｙｏ为无穷时，可以相应的将上述的“ｅ一占”语言改为“￡一ｘ”语言即可．
二、二元函数累次极限的换序定理
定理１：设当ｙ一），。时，八髫，ｙ）有极限函数９（菇），即旒人菇，Ｙ）＝Ｐ（菇）．则八菇，ｙ）在ｘ内对菇的一
（自然科学版）2000,23(2)
在分析学中,讨论函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参积分这三类函数的分析性质必定要遇到和处理的是分析运算的换序问题.但其实 质皆为累次极限的存在且相等问题.我们从累次极限换序定理出发来综合讨论分析运算换序定理,以便对这类问题有较为深刻的认识.
3.期刊论文 沈晓斌.SHEN Xiao-bin 二重极限与一致收敛的等价性 -泉州师范学院学报(自然科学)2005,23(4)
“一～“
４‘ｒ’～
“’～
Ｚｉｍ弘，（ｕ，”）＝ｌｉｒａｌｉｍ妒（Ｍ，移）．
１厂＋∞ｔｒ—’∞旷＋Ｉｈ
关于含参变量的无穷积分的连续性、实际上就是二元函数累次极限的换序问题．至于积分号下可积
分，积分号下可微分，其结果成立的前提也都是一致收敛，所以这些定理当然可以看作上述定理的特例．
在换序定理的保证下，这些结论的成立是很自然的事情了．
通过研究二重极限与累次极限、一致收敛与累次极限的关系,证明了二重极限存在与一致收敛在一定条件下的等价性.利用等价性,得到了一个与<高 等几何>类似的对偶原理,并且利用对偶原理采用两种不同的方法讨论了极限函数的一些分析性质.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_wfxyxb200204010.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：a392b6eb-685d-4d10-9f74-9dcd0159f8d3
对Ｖ ｅ＞０，ｊ占＞０，当０＜Ｉ Ｙ—Ｙｏ Ｉ＜占，０＜Ｉ Ｙ’一Ｙｏ Ｉ＜ｄ，对Ｖ菇∈Ｘ，且Ｙ，Ｙ’∈ｙ，有Ｉ ｆ（菇，Ｙ’）
一以戈，），）Ｊ＜￡
源自文库
（Ａ）
固定Ｙ，Ｙ’（适合条件０＜Ｉ Ｙ—Ｙ。Ｉ＜艿、０＜ｌ Ｙ’一Ｙ。Ｉ＜ｄ），当菇一菇。时，对于（Ａ）式取极限，有ｌ ９
（Ｙ。）９（Ｙ）【≤ｅ
（Ｂ）
对于函数９（Ｙ），由函数极限的柯西收敛准则ｌ／ｍ９（ｙ）存在，记为
中图分类号：０１７１
文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—４２８８（２００２）０４—００２８—０３
在二元函数的极限运算中，累次极限能否换序是十分重要的．累次极限若能换序，将给极限运算提 供简便而有效的方法．在什么条件下累次极限能换序呢？下面给出一个换序的充分条件。 一、几个有关的定义
定义１：设函数八髫，），）定义在平面域Ｄ＝ｘ×Ｙ，石∈ｘ，），∈Ｙ．Ｘ有聚点‰，Ｙ有聚点Ｙ。，且Ｙ。∈Ｙ．