2.2.2-反证法-课件

∴ {cn}不是等比数列 .
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第二章
推理与证明
【名师点评】
(1)当结论为否定形式的命题时 ,通过反设 ,
转化为肯定性命题 .可作为条件应用进行推理 ,因此对此类 问题用反证法很方便 . (2)用反证法证明问题的一般步骤: ①假设命题的结论不成立 ,即假设结论的反面成立 ; ②从这个假设出发 ,经过推理论证 ,得出矛盾; ③从矛盾判定假设不正确 ,从而肯定命题的结论正确 .
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推理与证明
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例1 设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列 ,cn＝an＋bn,
证明:数列 {cn}不是等比数列 .
【证明】 假设 {cn}是等比数列 , 则当 n≥ 2 时 ,(an＋ bn)2＝ (an－1＋bn－ 1)· (an＋1＋bn＋ 1). 2 ∴ a2 ＋ 2 a b ＋ b n n n n ＝ an－ 1an＋ 1＋ an－ 1bn＋1＋bn－ 1an＋ 1＋bn－1bn＋ 1. 设 {an},{bn}的公比分别为 p,q(p≠ q).
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2.(1)证明:方程2x＝3有且只有一个根.
(2)证明:两条相交直线有且只有一个交点. 证明:(1)∵2x＝3,∴x＝log23.这说明方程有一个根.
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.
假设方程2x＝3有两个根b1,b2(b1≠b2), 则2b1＝3,2b2＝3.两式相除,得2b1－b2＝1.
【名师点评】
能扩大).
(1)要想得到原命题的反面,必须先弄清
原命题的含义,即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不
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(2)“至多”、“至少”、“都”等词语的否定形式 “至多”、“至少”、“都”等词语 至多有n个(即x≤n,n∈N*) 至少有n个(即x≥n,n∈N*) 否定形式 至少有n＋1个(即 x>n⇔x≥n＋1,n∈N*) 至多有n－1个(即 x<n⇔x≤n－1,n∈N*) n个不都是(即至少有1 个不是) 某个 某些 至少有2个 至多有0个,即一个也 没有
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方法感悟
用反证法证题时要把握三点: (1) 必须先否定结论 , 对于结论的反面出现的多种可能 , 要 逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件 进行论证 , 否则 ,仅否定结论 , 不从结论的反面所以结论成立,即两条相交直线有且只有一个交点.
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题型三
用反证法证明(或解答)“至多”或“至
少”类命题
例3 (2013· 临沂高二检测 )已知 a、 b、 c∈ (0,1),求证 :(1－
1 a)b,(1－b)c,(1－c)a 中至少有一个不大于 . 4 1 【证明】 假设三式同时大于 , 4 1 1 1 即 (1－a)b＞ ,(1－b)c＞ ,(1－ c)a＞ , 4 4 4 三式相乘 ,得 1 (1－a)a· (1－b)b· (1－ c)c＞ . 64
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n个都是
任意 所有的
至多有1个
特例 至少有1个
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3.(2013· 杭州高二检测)用反证法证明:关于 x 的方程 x2＋ 4ax－4a＋3＝0,x2＋(a－1)x＋ a2＝0,x2＋2ax－2a＝0,当 a≤ 3 － 或 a≥－1 时,至少有一个方程有实数根. 2
证明:假设三个方程都没有实数根 ,则由判别式都小于零得
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若n＞m,则f(n)＞f(m),即0＞0,矛盾;
若n＜m,则f(n)＜f(m),即0＜0,矛盾. 因此假设不正确,即f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.
【名师点评】 证明“有且只有一个”的问题 ,需要证明两
个命题 ,即存在性和唯一性 .本例用直接证法中的综合法证 明了存在性,反证法证明了唯一性 .
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题型二
用反证法证明唯一性命题
例2 若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的图象连续不断开 , 且 f(a)＜0,f(b)＞0,且f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x)在(a,b) 内有且只有一个零点. 【证明】由于 f(x) 在 [a,b] 上的图象连续不断开 , 且 f(a) ＜ 0,f(b)＞0,即f(a)· f(b)＜0, 所以 f(x)在 (a,b) 内至少存在一个零点 ,设零点为 m,则 f(m) ＝0, 假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,即f(n)＝0, 则n≠m.
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a1＝ 2＋ 1， 【解】 (1)由已知得 3a1＋ 3d＝9＋ 3 2，
∴ d＝ 2,故 an＝ 2n－ 1＋ 2,Sn＝ n(n＋ 2). Sn (2)证明:由(1)得 bn＝ ＝ n＋ 2 n 假设数列 {bn}中存在三项 bp、 bq、br(p、q、 r 互不相等 )成 等比数列 ,则 b2 q＝bpbr, 即 (q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2), ∴ (q2－pr)＋ (2q－p－ r) 2＝0.
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2 ∵ a2 ＝ a · a , b bn＋ 1, － ＋ n n 1 n 1 n＝ bn－ 1· ∴ 2anbn＝ an－1bn＋ 1＋ bn－ 1an＋ 1 an bn ＝ · b · q＋ · a · p, p n q n q p ∴ 2＝ ＋ , p q q p q p q p ∴当 p≠ q 时 , ＋ ＞ 2 或 ＋ ≤－ 2 与 ＋ ＝ 2 矛盾 , p q p q p q
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2.2.2 反证法
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新知初探思维启动
1.反证法
不成立 即在原命题的条件下,结论不成立), 假设原命题_______( 假设 错误, 经过正确的推理 ,最后得出矛盾 ,因此说明 _______ 原命题 成立,这种证明方法叫做反证法. 从而证明了_________
想一想 1. 用反证法证明命题“若 p, 则 q”时 , 为什么证出 ﹁q 假 , 就说明“若p,则q”就真？ 提示 :“若 p, 则 ﹁q”是“若 p, 则 q”的否定 , 二者一真一 假,所以“若p,则﹁q”为假从而说明“若p,则q”为真.
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2.“反证法”与“证逆否命题”有什么主要区别？ 提示 :(1) 两种证法的逻辑原理不同 .“反证法”的原理 是命题与命题的否定一真一假 ,“证逆否命题”的原理
想一想 3.用反证法证明命题“如果 a＞b,那么 a＞ b”时 ,假设 的内容是什么？ 3 3 3 3 3 3 提示: 对 a ＞ b的否定是 a不大于 b即 a ≤ b ,故假
设的内容应是 a≤ b.
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3
3
3
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典题例证技法归纳
题型探究 题型一 用反证法证明否(肯)定式命题
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1－a＋a 2 1 又 (1－a)a≤ ( )＝ . 2 4 1 1 同理(1－ b)b≤ ,(1－ c)c≤ . 4 4 以上三式相乘得 1 (1－a)a(1－ b)b(1－ c)c≤ , 64 1 这与(1－ a)a(1－b)b(1－ c)c＞ 矛盾 , 64 故结论得证 .
2 Δ ＝ 4 a ＋4 4a－3＜ 0， 1
Δ2＝ a－1 2－4a2＜0， Δ3＝ 2a 2－4×－2a＜0，
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1 3 则 a＞ 或 a＜－ 1，解得－ ＜ a＜－ 1， 3 2 －2＜a＜0，
3 1 － ＜ a＜ ， 2 2 3 与 a≤－ 或 a≥－ 1 矛盾 ,故原命题成立 . 2
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2 4.已知数列{an}和 {bn}满足:a1＝λ,an＋ 1＝ an＋n－4,其中 λ 为 3 实数,n 为正整数.对任意实数 λ,证明数列{an}不是等比数列.
证明:假设存在一个实数 λ,使 {an}是等比数列 ,则有 a2 2＝ a1a3, 2 4 4 4 即 ( λ － 3)2＝ λ( λ－ 4)⇔ λ2－ 4λ＋ 9＝ λ2－ 4λ⇔ 9＝ 0,矛盾 . 3 9 9 9 所以对任意实数 λ,{an}不是等比数列 .
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1. 已 知三个 正数 a,b,c 成 等比数 列 , 但 不成等 差数列 , 求 证: a, b, c不成等差数列.
证明:假设 a, b, c成等差数列 , 则 a＋ c＝2 b,即 a＋ c＋ 2 ac＝ 4b, 而 b2＝ ac,即 b＝ ac, ∴ a＋ c＋ 2 ac＝ 4 ac, ∴ ( a－ c)2＝ 0. 即 a ＝ c, 从而 a＝b＝ c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾 , 故 a, b, c不成等差数列 .
如果b1－b2＞0,则2b1－b2＞1,这与2b1－b2＝1相矛盾;
如果b1－b2＜0,2b1－b2＜1,这也与2b1－b2＝1相矛盾. 所以方程2x＝3有且只有一个根.
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(2)假设结论不成立,即有两种可能:
无交点;不只有一个交点. ①若直线 a,b 无交点 , 那么 a ∥ b 或 a,b 是异面直线 , 与已知 矛盾; ②若直线 a,b 不只有一个交点 , 则至少有两个交点 A 和 B, 这样同时经过点A,B就有两条直线,这与“经过两点有且 只有一条直线”相矛盾.
(3) 推导出来的矛盾可能多种多样 , 有的与已知矛盾 , 有的 与假设矛盾 , 有的与定理、公理相违背等 , 但推导出的矛
盾必须是明显的.
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反证法在数列中的应用 例4
等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn,a1＝ 1＋ 2,S3 ＝ 9＋
3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn＝ (n∈ N*),求证:数列 {bn}中任意不同的三项都不 n 可能成为等比数列.
q －pr＝0， * ∵ p、 q、 r∈ N ,∴ 2q－ p－ r＝ 0，
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2
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推理与证明
p＋ r 2 ∴( ) ＝pr,(p－ r)2＝0,∴p＝ r. 2 这与 p≠ r 矛盾. ∴数列 {bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列 .
信息提炼 层层剖析
用待定系数法求出公差,然后求 an 和 Sn. 写出{bn}的通项公式是证明(2)的基础 . 正确假设(否定原命题结论)是反证法的关键. 推出矛盾,得出结论.
是命题与其逆否命题的等价性(即同真假).
(2)两种证明的推理形式不同,证明逆否命题实际上就是 从结论的反面出发,推出条件的反面成立.而反证法一般 是假设结论的反面成立,然后通过推理导出矛盾.
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第二章
推理与证明
2.反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 ,这个矛盾可 以是与已知条件、公理、定义、定理及明显成立的事 实或自相矛盾等.