积分中值定理

第一章 积分中值定理

一、本章有一个按序排列而成的定理系列，即罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理和泰勒定理。由于它们都拥有一个“微分中值点ξ”，故有时也将其统称为微分中值定理，该定理系列在微分学的理论中起着极为重要的作用，故需要大家学习时要格外重视。在应用这些定理时，要特别注意“点ξ”，定理只告诉了我们//的存在性，并未指出它的确切位置（实际上，许多情况下我们并不需要知道它的确切位置，只要知道//存在就足够了），若忽视了这一点，在作题的过程中就容易出错或无法达到目的。如设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内有二阶导数，证明存在//，使得

)(4

)()()2(2)(2

ξf a b a f b a f b f ''-=++-。 分析：根据给出的条件以及要证明的表达式，我们往往联想采用如下的方法

)()2

(

2)(a f b a f b f ++- )]()2

([)]2()([a f b a f b a f b f -+-+-= （*） )]()([2

21ξξf f a b '-'-= )()(2

21ξξξf a b ''--= （1212,2ξξξξξ<<<<+<

21a b -=-ξξ，也就达不到题目的要求。但是，这种尝试给了我们有益的启示：我们把（*）每一个方括号内的值看成一个函数的函数值，从而（*）表达式即可视为某函数在一个区间的两个端点的函数值之差，在此基础上再使用中值定理，问题就可以解决。

证明：令

)()2()(x f a b x f x --+=ϕ， 则)(x ϕ在区间]2

,[b a a +上可以使用拉格朗日中值定理，故有

)(2

)()2(

1ξϕϕϕ'-=-+a b a b a )]()2([211ξξf a b f a b '--+'-= )22(11b a b b a a <-+<+<

<ξξ 再在]2

,[11a b -+ξξ上对)(x f '应用拉格朗日中值定理（因为)(x f 在),(b a 内有二阶导数），则存在),()2

,(11b a a b ⊂-+∈ξξξ，使得 )(2

)()2(11ξξξf a b f a b f ''-='--+'， 从而问题得证。

二、用罗必达法则求不定式的极限，由于分类清楚、规律性强且可以连续进行运算，故在求极限时经常用到。但需要注意法则的使用需要满足相应的条件，尤其要注意以下几点：

1．罗必达法则的条件是充分的，也就是说，如果L x g x f →'')()(（或∞），则L x g x f →)

()(（或∞）。但是如果

)

()(x g x f ''振荡发散，)()(x g x f 仍可以有极限，这一点需要引起大家的注意。例如求 x

x x x 2sin 1

sin

lim 20→， 这是00型未定式，极限明显存在，但使用一次罗必达法则后，就会出现振荡发散的情形，从而问题就变的无法解决。

正确的解法应为

原式=01sin 21lim 1sin 2sin lim 00=⋅⋅=⋅⋅→→x

x x x x x x x 。 2．不是未定式，也去使用罗必达法则。例如求

1

lim +++∞→xt xt x e B Ae ，A 与B 是常数。 这是含参变量的极限，应该清楚，这样的极限往往与参变量是有关系的。但我们大多数同学在处理时会不加区别的使用罗必达法则，从而出现如下的错误：

1lim +++∞→xt xt x e B Ae A te Ate xt

xt

x ==+∞→lim 。 实际上，上面的过程只有在0>t 时才是正确的！而0=t 及0

3．不能灵活使用罗必达法则，而是视其为万能的，以至有时会陷入“泥潭”。例如求 )cot 1(1lim 0x x

x x -→。 这是一个未定式的极限，可以使用罗必达法则进行计算。但需要注意的是，若不假思索的直接使用罗必达法则，计算起来就会很繁琐。比较合理的办法是先进行有理运算，然后进行化简或利用等价无穷小代换，最后再使用罗必达法则就简单多了。解法如下：

原式3

020cos sin lim sin cos sin lim

x x x x x x x x x x x -=-=→→ 31sin lim 313sin cos cos lim 020==+-=→→x x x x x x x x x 。 教材中有类似的例题及练习题，希望大家在学习是认真体会。

三、泰勒公式是本章的一大难点，大家在学习时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式。实际上，泰勒公式在证明、极限计算等方面有着广泛而独到的应用，大家可以通过多做一些相应的练习题来体会。

四、关于函数性态的研究应注意以下几点：

1．若)(x f 为),(b a 内的严格单调增加函数，且在),(b a 内可导，则必有0)(>'x f 。 这一结论是不正确的。例如函数3

)(x x f =在区间)1,1(-内的点0=x 就不满足结论。

2．若0)(='x f ，则0x 必为)(x f 的极值点（或曰驻点一定为极值点）。

此结论同样错误。当然，结论的逆命题也不正确。教材中有相应的例子，相信大家会很容易理解。所以在实际求极值时，除了驻点外还需要格外注意导数不存在的点。

3．极大值必大于极小值。

由于极值是函数在某点邻域内的局部性质，因而极大值与极小值没有必然的大小关系。也就是说，函数在某区间内的极大值不一定大于其在该区间内的极小值。

五、不等式的证明

本章的内容进一步丰富了不等式的证明方法。

1．中值定理。由于中值定理中//是存在于区间之内的值，很明显把//用区间的两个不同端点去代换时，必然产生不等式，这就为不等式的证明提供了一种方法，实际上中值定理确