切比雪夫不等式的推广及应用

编号

毕业论文

（ 2013 届本科）

题目：切比雪夫不等式的推广及应用

学院：数学与统计学院

专业：数学与应用数学

作者姓名：

指导教师：职称：

完成日期： 2013 年 5 月 24 日

二○一三年五月

切比雪夫不等式的推广及应用

摘要本文给出切比雪夫不等式的三种形式的推广,并利用契比雪夫不等式研究随机变量落入某一区域的概率,求解证明概率方面的不等式,证明切比雪夫大数定理和特殊不等式等四个方面的应用.

关键词切比雪夫不等式;推广;应用;实例.

中图分类号O211.1

The promotion and application of chebyshev inequality

Song Qiaoguo Instructor Zhu Fuguo

(No.25,Class 1 of 2013,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,

Hexi University,Zhangye,Gansu,734000)

Abstract:Chebyshev inequality is presented in this paper the three forms of promotion, and use the chebyshev inequality study random variables into the probability of a certain area, solving the probability of inequality, prove chebyshev theorem of large number and the application of the four aspects, such as special inequalities.

Abstract: chebyshev inequality;Promotion;Applications;The instance

1引言

概率论是一门研究随机现象数量规律的科学,而切比雪夫不等式又是概率论中介绍的极少数的重要不等式之一,尤其是在分布未知时某些事件的概率上下界常用切比雪夫不等式.又如大数定理是概率论极限理论的基础,而切比雪夫不等式又是证明它的重要途径.作为一种理论工具,切比雪夫不等式不等式有很高的地位.虽然它的证明其理论成果相对比较完善,但一般的概率论与数理统计教材对大数定律的介绍篇幅较少,但不够广泛. 我们知道,数学的各门分支之间都是有一定联系的,若我们在学习中能把这些联系点找出来并加以对比分析与应用,则既加深了对知识的理解,贯通了新旧知识的联系,又拓宽了知识的应用范围,同时也活跃了思维,无论从深度上还是从广度上都是一个飞跃.对切比雪夫不等式的应用问题的推广也是一项非常

有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对切比雪夫不等式的理解,而且能使之更为有效的应用其他知识领域中.

2 预备知识

定义1[]1 (切比雪夫不等式)若随机变量X 有数学期望()E X 和方差()D X ,则对于任意的正数0ε>, 总有:

{}2

()

()D X P X E x ε

ε

-≥≤

.

定义2

[]

2 如果函数()f x 和()g x 对于一切12,x x 均成立

1212(()())(()())0f x f x g x g x

--≥,则称()f x 与()g x 成似序；倘若反向的不等式成立,则称()f x 与()g x 成反序.

定义3[]3 设连续型随机变量X 的概率密度函数为()f x ,若积分()x f x dx +∞

-∞

⎰收

敛,则称()xf x dx +∞-∞

⎰为X 的数学期望,则22()()()D X E X E X =-为X 的方差.

3 主要结论及证明

定理1[]2 切比雪夫不等式积分形式

如果连续函数()f x 与()g x 在区间[],a b 上成似序,则成立如下不等式

()()()()()b

b b

a

a

a

f x dx

g x dx b a f x g x dx ≤-⎰

⎰⎰

相反,如果()f x 与()g x 成反序,则不等号反向.

证明 引入辅助函数

()()()()()()t

t

t

a

a

a

F t t a f x g x dx f x dx g x dx =--⎰⎰⎰,

()F t 求导得

'()()()()()()()()()()t t t

a

a

a

F t f x g x dx t a f t g t f t g x dx g t f x dx =+---⎰⎰⎰

[]()()()()()()()()t

a f x g x f t g t f t g x g t f x dx =+--⎰

[][]()()()()t

a

f x f t

g x g t dx =--⎰.

由于()f x 与与()g x 在区间[],a b 上成似序,故有

[][]()()()()0f x f t g x g t --≥,

于是'()0F t ≥,因此()F t 在[],a b 上单调递增, 又()0,()0F a F b =∴≥,即

()()()()()0b

b

b

a

a

a

b a f x g x dx f x dx g x dx --≥⎰⎰⎰,

()()()()()b b b

a

a

a

f x dx

g x dx b a f x g x dx ∴≤-⎰⎰⎰.

同理反序成立.

定理2[]4 切比雪夫不等式有限形式

若12(,,,)n l l l l = 和12(,,,)n m m m m = 是两个实序列,且满12n l l l ≤≤≤ ,

12n m m m ≤≤≤ ,或12n l l l ≥≥≥ ,12n m m m ≥≥≥ ,则成立如下不等式

111

111()()n n n

i i i i i i i l m l m n n n ===≥∑∑∑. 证明 设12,,,n l l l ,12,,,n m m m 为两个有相同次序的序列,有排序不等式得

11221122n n n n l m l m l m l m l m l m ++=+++ , 112212231n n n l m l m l m l m l m l m ++≥+++ , 112213242n n n l m l m l m l m l m l m ++≥+++ ,

11221211n n n n n l m l m l m l m l m l m -++≥+++ ,

将这n 个式子相加得到

1

1

1

()()n

n

n

i i i i i i i n l m l m ===≥∑∑∑,

不等式两边同时除以2n ,得