第二章刚体的定轴转动

第二章 刚体的定轴转动

教学要求：

一、理解刚体定轴转动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线量的关系。

二、理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。

三、了解力矩的功和转动动能的概念。

四、了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。

五、理解转动惯量的概念，能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴的转动惯量。

教学重点：刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律。 教学难点：难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。

物理学研究方法、思维方法：理想化模型-----刚体、研究刚体转动的物理量——角量的确定。

类比方法是本章学习和研究的主要方法。

教学方法：启发、类比、讨论

教学内容：

准备知识：

一、刚体：假定无论在多大的外力作用下，物体的形状和大小都保持不变，也就是物体内任何两质点之间的距离保持不变。这样的理想物体称为刚体。

刚体也是常用的力学理想模型。

二、平动与转动：当刚体运动时,如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动称为平动；

刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动称为转动。

如果刚体围绕的转轴的位置是固定不动的，这种转动称为刚体的定轴转动

§2-1 角速度和角加速度

一、 角位移、角速度和角加速度

1、角坐标：如图2-1所示，O 为转轴与转动平面的交点，

A 为刚体上的一个质点， A 在这一转动平面内绕O 点

做圆周运动， A 与转轴的距离为r 。t 时刻质点A 与转

轴O 距离的连线与基准方向ox 的夹角为θ，称θ为角

坐标或角位置。

2、定轴转动的运动学方程：刚体转动时，θ随时间变

化，它是时间t 的函数：

)(t θθ= （2-1）

上式称为刚体定轴转动的运动学方程. 图2—1角坐标和角速度

3、角位移：设t 时刻刚体上所取质点的角坐标是θ，经过一段时间 t ∆，即 t t ∆+时刻，该质点的角位置为 θθ∆+。我们把 θ∆称为A 在 t ∆时间内的角位移，θ∆也是刚体上每个质点的角位移。

在SI 中, 角位移的单位是弧度，符号为rad .

4、角速度：将角坐标θ对时间t 求导数，以描述刚体转动的快慢，称刚体转动的角速度，用符号ω表示：

ω = dt

d θ （2-2） 在SI 中，角速度的单位是弧度每秒,符号为1-⋅s rad .

5、角加速度： 将角速度ω对时间t 求导，以描述角速度变化的快慢程度，称为刚体定轴转动的角加速度，用符号α表示：

α=22dt d dt d θω= （2-3）

在SI 中，角加速度的单位是弧度每平方秒,符号为2-⋅s rad .

除了用角速度ω描述物体转动快慢的程度外，还可使用另一个量---旋转频率，通常用符号n 表示旋转频率，表示单位时间物体绕行的转数。旋转频率的单位是转每分，符号1min -⋅r ，1min -⋅r 是国家选用的非SI 单位之一.它是工程上常用的单位,与弧度每秒之间的换算关系为11min -⋅r =

30

π1-⋅s rad ) 二、 角量与线量的关系

设距转轴为R 处一质点的线速度为v ，切向加速度为t a ，法向加速度为n a （以上各量称为“线量”）。角速度ω,角加速度为α（以上各量称为“角量”）。下面我们来讨论线量与角量大小的关系。

用s 表示与质点的角位移θ相对应的圆轨道上的弧长，那么

R s =θ

将上式两边对时间求导数，由于线速度v =dt

ds ，角速度ω=dt d θ 则可得 ：

ωR v = （2-4）

将式（2-4）两边再对时间求导，由于上式中

t a =dt dv ， α =dt d ω，则可得 ： t a =R α （2-5）

利用n a = R

v 2

得法向加速度 ： n a = R 2ω （2-6）

例2-1已知刚体转动的运动学方程为 θ=A+B 3t ，式中A 为无量纲的常数,B

为有量纲的常数. 求: (1) 角速度；（2）角加速度；（3） 刚体上距轴为r 的一质点的加速度.

解: (1) 由角速度的定义式,得:

ω= dt

d θ = 3B 2t (2) 将ω对时间t 求导数,得角加速度

α= dt

d ω = 6Bt (3) 利用式(2—5)得距轴为r 的一点的切向加度为:

t a = αr =6Brt

根据式(2—6)得该质点的法向加速度为:

n a = r 2ω =92B r 4t

所以，加速度的大小是：a = 22t n

a a +=2242)6()9(Brt rt B + 设加速度a 与速度v 的夹角为Ф，则Ф满足下式tgn ϕ=

t n a a =32

3Bt

§2-2 力矩 转动定律 转动惯量

一、力矩

1、定义： 位矢r 与力F 的矢积为力F 对转轴的力矩，用M 表示。

数学表达式为 F r M ⨯= （2—7a ）

其大小为 θsin rF M = (2—7b)

M 的方向为F r ⨯的方向，按照右手螺旋定则判断。

一般是按照力矩的作用来判断力矩的正负：如力矩

的作用是使刚体逆时针转动，则力矩为正；如力矩的作

用是使刚体顺时针转动，则力矩为负。

在SI 中,力矩的单位是牛顿米,符号为m N ⋅.

2、意义： 力矩是改变物体转动状态的原因。

二、转动定律和转动惯量 图2—2 力矩