相似三角形等积式比例式

专题：相似三角形的判定

相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下良好基础。

我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。

一、等积式、比例式的证明：

等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。

（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。

等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。

例1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，

交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF。

分析：我们将此等积式变形改写成比例式得：，由等式左边得到

△CDF，由等式右边得到△EDC，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。因为∠CDE是公共角，只需证明∠DCE=∠F就可证明两个三角形相似。

证明略（请同学们证明）提示:D为直角三角形斜边AB的中点,所以AD=DC, 则∠DCE=∠A.

（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。

例2．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。

求证：BP2=PE·PF。

分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了。

证明：

例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。

求证：。

分析：比例式左边AB，AC在△ABC中，右边DF、AF在△ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。

证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=900，

∴∠1+∠2=900，∠2+∠C=900，

∴∠1=∠C，∴△ABD∽△CAD，∴，

又∵E是AC中点，∴DE=EC，

∴∠3=∠C，又∵∠3=∠4，∠1=∠C，

∴∠1=∠4，又有∠F=∠F，

∴△FBD∽△FDA，

∴，∴（等比代换）

二、双垂直条件下的计算与证明问题：

“双垂直”指：“Rt△ABC中，∠BCA=900，CD⊥AB于D”，（如图）在这样的条件下有下列结论：（1）△ADC∽△CDB∽△ACB

（2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD （3）

由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB （4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB （5）由面积得AC·BC=AB·CD （6）勾股定理我们应熟记这些结论，并能灵活运用。例4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长：

（1）AC=3，BC=4；

（2）AC= ，AD=2；

（3）AD=5，DB= ；

（4）BD=4，AB=29。

分析：运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理，已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。

解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

（1）∵AC=3，BC=4，由勾股定理得AB= =5，∵AC2=AD·AB，∴AD= = ，

∴BD=AB-AD=5- = ，

∵CD·AB=AC·BC，

∴CD= （或利用CD2=AD·BD来求）

（2）∵AC= ，AD=2，AC2=AD·AB，

∴CD= ，

∵BD=AB-AD，∴BD= -2= ，

∵BC2=BD·AB，且BC>0，

∴BC=

（3）∵AD=5，DB= ，且CD2=AD·BD，

∴CD= =12

AB=AD+BD=

∵AC2=AD·AB，

∴AC= =13

∵BC2=BD·AB，

∴BC=

（4）BD=4，AB=29，BC2=BD·AB，

∴BC= =2 ，

∴AD=AB-BD=29-4=25，

∵AC2=AD·AB，

∴AC= =5 ，

∵CD2=AD·BD，

∴CD= =10

例5．已知：如图，矩形ABCD中，AB：BC=5：6，点E在BC上，点F在CD上，EC= BC，FC= CD，FG⊥AE于G。

求证：AG=4GE。

分析：图中有直角三角形，充分利用直角三角形的知识，设AB=5k，BC=6k

(k>0)，则EC= BC=k, FC= CD= AB=3k，得DF=2k，由勾股定理可得

AE2=AB2+BE2=50k2，EF2=EC2+FC2=10k2，AF2=AD2+DF2=40k2，所以AE2=EF2+AF2由勾股定理逆定理得Rt△AFE，又因为FG⊥AE，具备双垂直条件，问题的解决就有了眉目。

证明：∵AB：BC=5：6，

∴设AB=5k, BC=6k (k>0),

∴在矩形ABCD中，有

CD=AB=5k, BC=AD=6k, ∠B=∠C=∠D=900,

∵EC= BC, ∴EC= ×6k=k, ∴BE=5k,

∵FC= CD, ∴FC= ×5k=3k, ∴DF=CD-FC=2k，

在Rt△ADF中，由勾股定理得

AF2=AD2+DF2=36k2+4k2=40k2，

同理可得AE2=50k2, EF2=10k2，

∴AF2+EF2=40k2+10k2=50k2=AE2,

∴△AEF是Rt△（勾股定理逆定理），

∵FG⊥AE，∴△AFE∽△FGE，

∴EF2=GE·AE，∵AE= =5 k

∴GE= = k, ∴4GE=4 k,

∴AG=AE-GE=5 k- k=4 k,

∴AG=4GE.

例6．已知：如图，Rt△ABC中,∠ACB=900，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。

求证：AE·BF·AB=CD3。