离散数学习题课-谓词逻辑
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练习2 练习
(4) 没有不爱吃糖的人。 没有不爱吃糖的人。 是人， 设F(x): x是人，G(x): x爱吃糖 是人 爱吃糖 ¬∃x(F(x)∧¬ ∧¬G(x)) 或 ∀x(F(x)→G(x)) ¬∃ ∧¬ → (5) 任何两个不同的人都不一样高。 任何两个不同的人都不一样高。 F(x):x是人 是人, x与y相同 相同, x与y一样高 设F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高 →∀y(F(y)∧¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y))) ∀x(F(x)→∀ →∀ ∧¬ →¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y)) 或 ∀x∀y(F(x)∧F(y)∧¬ ∀ ∧ ∧¬ →¬ (6) 不是所有的汽车都比所有的火车快。 不是所有的汽车都比所有的火车快。 是汽车, 是火车, 设F(x):x是汽车 G(y):y是火车 H(x,y):x比y快 是汽车 是火车 比 快 ¬∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) ¬∀ ∀ ∧ → ∧¬H(x,y)) 或 ∃x∃y(F(x)∧G(y)∧¬ ∃ ∧ ∧¬
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习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
主要内容 一阶逻辑等值式
基本等值式，置换规则、换名规则、 基本等值式，置换规则、换名规则、代替规则
前束范式 推理的形式结构 自然推理系统N 自然推理系统 L
推理定律、 推理定律、推理规则
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习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
基本要求 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式 并能准确而熟练地应用它们． 并能准确而熟练地应用它们． 熟练正确地使用置换规则、换名规则、 熟练正确地使用置换规则、换名规则、代 替规则． 替规则． 能够理解公式的前束范式． 能够理解公式的前束范式． 深刻理解自然推理系统N 的定义，牢记N 深刻理解自然推理系统 L 的定义，牢记 L 中的各条推理规则，特别是注意使用∀− ∀−、 中的各条推理规则，特别是注意使用∀−、 条推理规则的条件． ∀+、∃+、∃− 4条推理规则的条件． 、 、 条推理规则的条件 能正确地给出有效推理的证明． 能正确地给出有效推理的证明．
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练习3 练习
3.构造下面推理的证明 构造下面推理的证明: 构造下面推理的证明 (1) 前提：∀x(F(x)→G(x)), ∀xF(x) 前提： → 结论： 结论：∀xG(x) 证明： 证明： ① ∀x(F(x)→G(x)) → 前提引入 ② F(y)→G(y) → ①∀− ③ ∀xF(x) 前提引入 ④ F(y) ③∀− ②④假言推理 ⑤ G(y) ②④假言推理 ⑥ ∀yG(y) ⑤ ∀+ ⑦ ∀xG(x) ⑥置换
求下述在I下的解释及其真值 求下述在 下的解释及其真值: 下的解释及其真值 ∀x∃y(F(f(x))∧G(y,f(a))) ∃ ∧ ⇔∀xF(f(x))∧∃ ∧∃yG(y,f(a)) 解 ⇔∀ ∧∃ ⇔F(f(2))∧F(f(3))∧(G(2,f(2))∨G(3,f(2))) ∧ ∧ ∨ ⇔1∧0∧(1∨0)⇔0 ∧ ∧ ∨ ⇔
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练习5 练习
5. 证明下列公式为永真式 证明下列公式为永真式: (1) (∀xF(x)→∃ ∀ →∃yG(y))∧∀ ∧∀xF(x)→∃ →∃yG(y) →∃ ∧∀ →∃ (A→B)∧A→B的代换实例 → ∧ → 的代换实例 (2) ∀x(F(x)→(F(x)∨G(x))) → ∨ 是任意的一个解释, 设I是任意的一个解释, 对每一个 ∈DI, 是任意的一个解释 对每一个x∈ F(x)→(F(x)∨G(x))恒为真 → ∨ 恒为真
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练习4 练习
4. 证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式 证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式: (1) ∀x(F(x)∨G(x)) ∨ (2) ∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) ∀ ∧ → 解： 1)解释 D1=N, F(x):x是偶数 G(x): x是奇数 真 解释1: 是偶数, 是奇数 解释 是偶数 解释2: 是负数, 解释 D2=N, F(x):x是负数 G(x): x是无理数 假 是负数 是无理数 2)解释 D1=Z, F(x):x是正数 G(x): x是负数 解释1: 是正数, 是负数, 解释 是正数 是负数 H(x,y):x>y 真 解释2: 是偶数, 是奇数, 解释 D2=Z, F(x):x是偶数 G(x): x是奇数 是偶数 是奇数 H(x,y):x>y 假
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练习1 练习
1. 给定解释 如下 给定解释I如下 如下: (1) 个体域 个体域D={2,3} (2) a = 2 (3) f ( x ) : f ( 2) = 3, f ( 3) = 2 (4) F ( x ) : F ( 2) = 0, F ( 3) = 1
G ( x , y ) : G ( 2,2) = G ( 2,3) = G ( 3,2) = 1, G ( 3,3) = 0
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练习2 练习
2.求下述公式的前束范式 求下述公式的前束范式: 求下述公式的前束范式 →∃y(G(x,y)∧H(x,y)) ∀xF(x)→∃ →∃ ∧ 使用换名规则, 解 使用换名规则 →∃y(G(x,y)∧H(x,y)) ∀xF(x)→∃ →∃ ∧ →∃y(G(x,y)∧H(x,y)) ⇔ ∀zF(z)→∃ →∃ ∧ ⇔ ∃z(F(z)→∃ →∃y(G(x,y)∧H(x,y)) ∧ →∃ ⇔ ∃z∃y(F(z)→(G(x,y)∧H(x,y))) ∃ → ∧
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练习4 练习
4. 在自然推理系统 L 中，构造推理的证 在自然推理系统N 明． 人都喜欢吃蔬菜． 人都喜欢吃蔬菜．但不是所有的人都喜欢吃 所以, 鱼．所以 存在喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼的 人． 为人， 喜欢吃蔬菜， 解 令F(x): x为人，G(x): x喜欢吃蔬菜，H(x): 为人 喜欢吃Байду номын сангаас菜 x喜欢吃鱼． 喜欢吃鱼． 喜欢吃鱼 前提： ¬∀x(F(x)→H(x)) 前提：∀x(F(x)→G(x)), ¬∀ → → 结论： ∧¬H(x)) 结论：∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧ ∧¬
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
主要内容 个体词、谓词、 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L： 原子公式、 一阶语言 ：项、原子公式、合式公式 公式的解释
量词的辖域、指导变元、 量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约 束出现、闭式、 束出现、闭式、解释
公式的类型
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练习3 练习
3. 给定解释 I 如下 如下: (a) 个体域 个体域D=N (b) a=2 (c) f(x,y)=x+y, g(x,y)=x⋅y ⋅ (d) F(x,y):x=y 下的涵义,并讨论真值 说明下列公式在 I 下的涵义 并讨论真值 (1) ∀xF(g(x,a),x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x))
4
练习2 练习
2. 在一阶逻辑中将下列命题符号化 (1) 大熊猫都可爱。 大熊猫都可爱。 为大熊猫， 设F(x): x为大熊猫，G(x): x可爱 为大熊猫 可爱 ∀x(F(x)→G(x)) → (2) 有人爱发脾气。 有人爱发脾气。 是人， 设F(x): x是人，G(x): x爱发脾气 是人 爱发脾气 ∃x(F(x)∧G(x)) ∧ (3) 说所有人都爱吃面包是不对的。 说所有人都爱吃面包是不对的。 是人， 设F(x): x是人，G(x): x爱吃面包 是人 爱吃面包 ¬∀x(F(x)→G(x)) 或 ∃x(F(x)∧¬ ∧¬G(x)) ¬∀ → ∧¬
永真式(逻辑有效式 、矛盾式(永假式 永假式)、 永真式 逻辑有效式)、矛盾式 永假式 、可满足式 逻辑有效式
1
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
基本要求 准确地将给定命题符号化 理解一阶语言的概念 理解一阶语言的解释 熟练地给出公式的解释 记住闭式的性质并能应用它 深刻理解永真式、矛盾式、 深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概 念, 会判断简单公式的类型
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练习3 练习
(1)∀xF(g(x,a),x) ∀ ∀x(2x=x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → ∀x∀y(x+2=y→y+2=x) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ ∀x∀y∃z(x+y=z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ ∃x∀y∀z(y+z=x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x)) ∃x(x+x=x⋅x) ⋅ 假 假 真 假 真
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练习2 练习
使用代替规则 →∃y(G(x,y)∧H(x,y)) ∀xF(x)→∃ →∃ ∧ →∃y(G(z,y)∧H(z,y)) ⇔ ∀xF(x)→∃ →∃ ∧ →∃y(G(z,y)∧H(z,y)) ⇔ ∃x(F(x)→∃ →∃ ∧ ⇔ ∃x∃y(F(x)→(G(z,y)∧H(z,y))) ∃ → ∧
3
练习1(续 练习 续)
(2) 存在数 ，使得 x+7=5 存在数x， ： 解 设H(x)：x+7=5 (a) ∃xH(x) (b) ∃xH(x) (c) 又设 又设F(x)：x为实数 ： 为实数 ∃x(F(x)∧H(x)) ∧
假 真 真
本例说明：不同个体域内， 本例说明：不同个体域内，命题符号化形式可 能不同（也可能相同），真值可能不同（ ），真值可能不同 能不同（也可能相同），真值可能不同（也可 能相同） 能相同）.
2
练习1 练习
在分别取个体域为 (a) D1=N (b) D2=R (c) D3为全总个体域 为全总个体域 的条件下, 将下面命题符号化， 的条件下 将下面命题符号化，并讨论真值 (1) 对于任意的数 ，均有 2-4)=(x-2)(x+2) 对于任意的数x，均有(x (2) 存在数 ，使得 x+7=5 存在数x， 解：(1) 设G(x): (x2-4)=(x-2)(x+2) 假 (a) ∀xG(x) 真 (b) ∀xG(x) (c) 又设 又设F(x):x是实数 是实数 真 ∀x(F(x)→G(x)) →
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练习3（ 练习 （续）
(2) 前提：∀x(F(x)∨G(x)), ¬∃ 前提： ¬∃xG(x) ∨ 结论： 结论：∃xF(x) 证明： 证明：用归谬法 ¬∃xF(x) ① ¬∃ 结论否定引入 ② ∀x¬F(x) ¬ ①置换 ¬∃xG(x) ③ ¬∃ 前提引入 ④ ∀x¬G(x) ¬ ③置换 ⑤ ∀x(F(x)∨G(x)), ∨ 前提引入 ⑥ ¬F(c) ②∀− ⑦ ¬G(c) ④∀− ⑧ F(c)∨G(c) ∨ ⑤∀− ⑥⑧析取三段论 ⑨ G(c) ⑥⑧析取三段论 ⑦⑨合取引入 ⑩ ¬G(c)∧G(c) ∧ ⑦⑨合取引入
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练习4（ 练习 （续）
证明： 证明：用归谬法 (1) ¬∃ ¬∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ∧ ∧¬ (2) ∀x¬(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ¬ ∧ ∧¬ (3) ¬(F(y)∧G(y)∧¬ ∧ ∧¬H(y)) ∧¬ (4) G(y)→ ¬F(y)∨H(y) → ∨ (5) ∀x(F(x)→G(x)) → (6) F(y)→G(y) → (7) F(y) → ¬F(y)∨H(y) ∨ 论 结论否定引入 (1)置换 置换 (2)∀− ∀− (3)置换 置换 前提引入 (5)∀− ∀− (4)(6)假言三段 假言三段
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练习3（ 练习 （续）
(3)前提：∀x(F(x)→G(x)), ∀x(G(x)→H(x)) 前提： 前提 → → 结论： →∀xH(x) 结论：∀xF(x)→∀ →∀ 证明: 证明 用附加前提法 ① ∀xF(x) 附加前提引入 ② F(x) ①∀− → 前提引入 ③ ∀x(F(x)→G(x)) ④ F(x)→G(x) → ③∀− ⑤ ∀x(G(x)→H(x)) → 前提引入 ⑥ G(x)→H(x) → ⑤∀− ④⑥假言三段论 ⑦ F(x)→H(x) → ④⑥假言三段论 ②⑦假言推理 ⑧ H(x) ②⑦假言推理 ⑨ ∀xH(x) ⑧ ∀+
练习2 练习
(4) 没有不爱吃糖的人。 没有不爱吃糖的人。 是人， 设F(x): x是人，G(x): x爱吃糖 是人 爱吃糖 ¬∃x(F(x)∧¬ ∧¬G(x)) 或 ∀x(F(x)→G(x)) ¬∃ ∧¬ → (5) 任何两个不同的人都不一样高。 任何两个不同的人都不一样高。 F(x):x是人 是人, x与y相同 相同, x与y一样高 设F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高 →∀y(F(y)∧¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y))) ∀x(F(x)→∀ →∀ ∧¬ →¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y)) 或 ∀x∀y(F(x)∧F(y)∧¬ ∀ ∧ ∧¬ →¬ (6) 不是所有的汽车都比所有的火车快。 不是所有的汽车都比所有的火车快。 是汽车, 是火车, 设F(x):x是汽车 G(y):y是火车 H(x,y):x比y快 是汽车 是火车 比 快 ¬∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) ¬∀ ∀ ∧ → ∧¬H(x,y)) 或 ∃x∃y(F(x)∧G(y)∧¬ ∃ ∧ ∧¬
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习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
主要内容 一阶逻辑等值式
基本等值式，置换规则、换名规则、 基本等值式，置换规则、换名规则、代替规则
前束范式 推理的形式结构 自然推理系统N 自然推理系统 L
推理定律、 推理定律、推理规则
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习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
基本要求 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式 并能准确而熟练地应用它们． 并能准确而熟练地应用它们． 熟练正确地使用置换规则、换名规则、 熟练正确地使用置换规则、换名规则、代 替规则． 替规则． 能够理解公式的前束范式． 能够理解公式的前束范式． 深刻理解自然推理系统N 的定义，牢记N 深刻理解自然推理系统 L 的定义，牢记 L 中的各条推理规则，特别是注意使用∀− ∀−、 中的各条推理规则，特别是注意使用∀−、 条推理规则的条件． ∀+、∃+、∃− 4条推理规则的条件． 、 、 条推理规则的条件 能正确地给出有效推理的证明． 能正确地给出有效推理的证明．
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练习3 练习
3.构造下面推理的证明 构造下面推理的证明: 构造下面推理的证明 (1) 前提：∀x(F(x)→G(x)), ∀xF(x) 前提： → 结论： 结论：∀xG(x) 证明： 证明： ① ∀x(F(x)→G(x)) → 前提引入 ② F(y)→G(y) → ①∀− ③ ∀xF(x) 前提引入 ④ F(y) ③∀− ②④假言推理 ⑤ G(y) ②④假言推理 ⑥ ∀yG(y) ⑤ ∀+ ⑦ ∀xG(x) ⑥置换
求下述在I下的解释及其真值 求下述在 下的解释及其真值: 下的解释及其真值 ∀x∃y(F(f(x))∧G(y,f(a))) ∃ ∧ ⇔∀xF(f(x))∧∃ ∧∃yG(y,f(a)) 解 ⇔∀ ∧∃ ⇔F(f(2))∧F(f(3))∧(G(2,f(2))∨G(3,f(2))) ∧ ∧ ∨ ⇔1∧0∧(1∨0)⇔0 ∧ ∧ ∨ ⇔
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练习5 练习
5. 证明下列公式为永真式 证明下列公式为永真式: (1) (∀xF(x)→∃ ∀ →∃yG(y))∧∀ ∧∀xF(x)→∃ →∃yG(y) →∃ ∧∀ →∃ (A→B)∧A→B的代换实例 → ∧ → 的代换实例 (2) ∀x(F(x)→(F(x)∨G(x))) → ∨ 是任意的一个解释, 设I是任意的一个解释, 对每一个 ∈DI, 是任意的一个解释 对每一个x∈ F(x)→(F(x)∨G(x))恒为真 → ∨ 恒为真
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练习4 练习
4. 证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式 证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式: (1) ∀x(F(x)∨G(x)) ∨ (2) ∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) ∀ ∧ → 解： 1)解释 D1=N, F(x):x是偶数 G(x): x是奇数 真 解释1: 是偶数, 是奇数 解释 是偶数 解释2: 是负数, 解释 D2=N, F(x):x是负数 G(x): x是无理数 假 是负数 是无理数 2)解释 D1=Z, F(x):x是正数 G(x): x是负数 解释1: 是正数, 是负数, 解释 是正数 是负数 H(x,y):x>y 真 解释2: 是偶数, 是奇数, 解释 D2=Z, F(x):x是偶数 G(x): x是奇数 是偶数 是奇数 H(x,y):x>y 假
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练习1 练习
1. 给定解释 如下 给定解释I如下 如下: (1) 个体域 个体域D={2,3} (2) a = 2 (3) f ( x ) : f ( 2) = 3, f ( 3) = 2 (4) F ( x ) : F ( 2) = 0, F ( 3) = 1
G ( x , y ) : G ( 2,2) = G ( 2,3) = G ( 3,2) = 1, G ( 3,3) = 0
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练习2 练习
2.求下述公式的前束范式 求下述公式的前束范式: 求下述公式的前束范式 →∃y(G(x,y)∧H(x,y)) ∀xF(x)→∃ →∃ ∧ 使用换名规则, 解 使用换名规则 →∃y(G(x,y)∧H(x,y)) ∀xF(x)→∃ →∃ ∧ →∃y(G(x,y)∧H(x,y)) ⇔ ∀zF(z)→∃ →∃ ∧ ⇔ ∃z(F(z)→∃ →∃y(G(x,y)∧H(x,y)) ∧ →∃ ⇔ ∃z∃y(F(z)→(G(x,y)∧H(x,y))) ∃ → ∧
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练习4 练习
4. 在自然推理系统 L 中，构造推理的证 在自然推理系统N 明． 人都喜欢吃蔬菜． 人都喜欢吃蔬菜．但不是所有的人都喜欢吃 所以, 鱼．所以 存在喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼的 人． 为人， 喜欢吃蔬菜， 解 令F(x): x为人，G(x): x喜欢吃蔬菜，H(x): 为人 喜欢吃Байду номын сангаас菜 x喜欢吃鱼． 喜欢吃鱼． 喜欢吃鱼 前提： ¬∀x(F(x)→H(x)) 前提：∀x(F(x)→G(x)), ¬∀ → → 结论： ∧¬H(x)) 结论：∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧ ∧¬
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
主要内容 个体词、谓词、 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L： 原子公式、 一阶语言 ：项、原子公式、合式公式 公式的解释
量词的辖域、指导变元、 量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约 束出现、闭式、 束出现、闭式、解释
公式的类型
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练习3 练习
3. 给定解释 I 如下 如下: (a) 个体域 个体域D=N (b) a=2 (c) f(x,y)=x+y, g(x,y)=x⋅y ⋅ (d) F(x,y):x=y 下的涵义,并讨论真值 说明下列公式在 I 下的涵义 并讨论真值 (1) ∀xF(g(x,a),x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x))
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练习2 练习
2. 在一阶逻辑中将下列命题符号化 (1) 大熊猫都可爱。 大熊猫都可爱。 为大熊猫， 设F(x): x为大熊猫，G(x): x可爱 为大熊猫 可爱 ∀x(F(x)→G(x)) → (2) 有人爱发脾气。 有人爱发脾气。 是人， 设F(x): x是人，G(x): x爱发脾气 是人 爱发脾气 ∃x(F(x)∧G(x)) ∧ (3) 说所有人都爱吃面包是不对的。 说所有人都爱吃面包是不对的。 是人， 设F(x): x是人，G(x): x爱吃面包 是人 爱吃面包 ¬∀x(F(x)→G(x)) 或 ∃x(F(x)∧¬ ∧¬G(x)) ¬∀ → ∧¬
永真式(逻辑有效式 、矛盾式(永假式 永假式)、 永真式 逻辑有效式)、矛盾式 永假式 、可满足式 逻辑有效式
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习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
基本要求 准确地将给定命题符号化 理解一阶语言的概念 理解一阶语言的解释 熟练地给出公式的解释 记住闭式的性质并能应用它 深刻理解永真式、矛盾式、 深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概 念, 会判断简单公式的类型
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练习3 练习
(1)∀xF(g(x,a),x) ∀ ∀x(2x=x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → ∀x∀y(x+2=y→y+2=x) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ ∀x∀y∃z(x+y=z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ ∃x∀y∀z(y+z=x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x)) ∃x(x+x=x⋅x) ⋅ 假 假 真 假 真
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练习2 练习
使用代替规则 →∃y(G(x,y)∧H(x,y)) ∀xF(x)→∃ →∃ ∧ →∃y(G(z,y)∧H(z,y)) ⇔ ∀xF(x)→∃ →∃ ∧ →∃y(G(z,y)∧H(z,y)) ⇔ ∃x(F(x)→∃ →∃ ∧ ⇔ ∃x∃y(F(x)→(G(z,y)∧H(z,y))) ∃ → ∧
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练习1(续 练习 续)
(2) 存在数 ，使得 x+7=5 存在数x， ： 解 设H(x)：x+7=5 (a) ∃xH(x) (b) ∃xH(x) (c) 又设 又设F(x)：x为实数 ： 为实数 ∃x(F(x)∧H(x)) ∧
假 真 真
本例说明：不同个体域内， 本例说明：不同个体域内，命题符号化形式可 能不同（也可能相同），真值可能不同（ ），真值可能不同 能不同（也可能相同），真值可能不同（也可 能相同） 能相同）.
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练习1 练习
在分别取个体域为 (a) D1=N (b) D2=R (c) D3为全总个体域 为全总个体域 的条件下, 将下面命题符号化， 的条件下 将下面命题符号化，并讨论真值 (1) 对于任意的数 ，均有 2-4)=(x-2)(x+2) 对于任意的数x，均有(x (2) 存在数 ，使得 x+7=5 存在数x， 解：(1) 设G(x): (x2-4)=(x-2)(x+2) 假 (a) ∀xG(x) 真 (b) ∀xG(x) (c) 又设 又设F(x):x是实数 是实数 真 ∀x(F(x)→G(x)) →
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练习3（ 练习 （续）
(2) 前提：∀x(F(x)∨G(x)), ¬∃ 前提： ¬∃xG(x) ∨ 结论： 结论：∃xF(x) 证明： 证明：用归谬法 ¬∃xF(x) ① ¬∃ 结论否定引入 ② ∀x¬F(x) ¬ ①置换 ¬∃xG(x) ③ ¬∃ 前提引入 ④ ∀x¬G(x) ¬ ③置换 ⑤ ∀x(F(x)∨G(x)), ∨ 前提引入 ⑥ ¬F(c) ②∀− ⑦ ¬G(c) ④∀− ⑧ F(c)∨G(c) ∨ ⑤∀− ⑥⑧析取三段论 ⑨ G(c) ⑥⑧析取三段论 ⑦⑨合取引入 ⑩ ¬G(c)∧G(c) ∧ ⑦⑨合取引入
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练习4（ 练习 （续）
证明： 证明：用归谬法 (1) ¬∃ ¬∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ∧ ∧¬ (2) ∀x¬(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ¬ ∧ ∧¬ (3) ¬(F(y)∧G(y)∧¬ ∧ ∧¬H(y)) ∧¬ (4) G(y)→ ¬F(y)∨H(y) → ∨ (5) ∀x(F(x)→G(x)) → (6) F(y)→G(y) → (7) F(y) → ¬F(y)∨H(y) ∨ 论 结论否定引入 (1)置换 置换 (2)∀− ∀− (3)置换 置换 前提引入 (5)∀− ∀− (4)(6)假言三段 假言三段
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练习3（ 练习 （续）
(3)前提：∀x(F(x)→G(x)), ∀x(G(x)→H(x)) 前提： 前提 → → 结论： →∀xH(x) 结论：∀xF(x)→∀ →∀ 证明: 证明 用附加前提法 ① ∀xF(x) 附加前提引入 ② F(x) ①∀− → 前提引入 ③ ∀x(F(x)→G(x)) ④ F(x)→G(x) → ③∀− ⑤ ∀x(G(x)→H(x)) → 前提引入 ⑥ G(x)→H(x) → ⑤∀− ④⑥假言三段论 ⑦ F(x)→H(x) → ④⑥假言三段论 ②⑦假言推理 ⑧ H(x) ②⑦假言推理 ⑨ ∀xH(x) ⑧ ∀+