2018高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标 精品
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答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．已知 M 点的极坐标为－5，π3，下列极坐标不能 表示点 M 的是( )
A.5，－π3 C.5，－23π
B.5，43π D.－5，－53π
解析：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)、(－ρ， 2kπ＋π＋θ)(k∈Z)表示同一个点，检验应选 A.
因为点(－1， 3)在第二象限，所以 θ＝23π， 故点(－1， 3)的极坐标为2，23π.(6 分)
(2)①x＝2cos π4＝ 2，y＝2sin π4＝ 2，故点2，π4的 直角坐标是( 2， 2)．(8 分)
②x＝4cos－π3＝2，y＝4sin－π3＝－2 3，故点 4，－π3的直角坐标是(2，－2 3)．(10 分)
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
[规范解答] (1)①ρ＝1，θ＝0，故点(1，0)的极坐标
为(1，0)．(2 分)
②ρ＝ 22＋22＝2 2，tan θ＝1， 因为点(2，2)在第一象限，所以 θ＝π4，
失分警示：若不说明点的象限扣1分.
故点(2，2)的极坐标为2
Fra Baidu bibliotek
2，π4.
(4 分)
③ρ＝ （－1）2＋（ 3）2＝2，tan θ＝ 3 ＝－ 3， －1
答案：A
3．极坐标系中，点 A(2 016，2 017π)的直角坐标为 ()
A．(2 016，π) B．(2 016，0) C．(0，2 016) D．(－2 016，0) 解析：因为 ρ＝2016，θ＝2017π，
所以 x＝ρcos θ＝2016cos π＝－2016，
y＝ρsin θ＝2016sin 2017π＝2016sin π＝2016×0＝0， 所以 A 点的直角坐标为(－2016，0)． 答案：D
[迁移探究] (变换条件，改变问法)(1)在极坐标系中，
已知
A
2，74π，B
2，π4，则
A、B
两点间的距离是
________．
(2)极坐标系中，点 A 的极坐标是3，π6(规定 ρ>0，θ ∈[0，2π))，则：
①点 A 关于极轴对称的点的极坐标是________； ②点 A 关于极点对称的点的极坐标是________；
(1)极坐标化直角坐标：xy＝＝ρρscions
θ， θ.
(2)直角坐标化极坐标：ρta2n＝θx＝2＋__y2_，___（x≠0）. 温馨提示 极坐标与直角坐标互化的前提条件是：① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与 x 轴非负半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)极轴是一条射线．( ) (2)极点的极坐标是(0，0)．( ) (3)点 M4，π4与点 N4，54π表示同一个点．( ) (4)动点 M(5，θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心，以 5 为半径的圆．( )
解析：设极点为 O，极轴就是射线 Ox.(1)正确，极点 O 的极径 ρ＝0，极角 θ 是任意实数，极点的极坐标应为 (0，θ)；(2)错误，点 M 与点 N 的极角分别是 θ1＝π4，θ2 ＝54π，两者的终边互为反向延长线；(3)错误，由于动点 M(5，θ)(θ∈R)的极径 ρ＝5，极角是任意角，故点 M 的 轨迹是以极点 O 为圆心，以 5 为半径的圆；(4)正确．
所以 A(5，0)，B2，π6，C4，π2，D5，34π，E(2，π)， F5，43π，G3.5，53π.
(2)根据极坐标(ρ，θ)与(ρ，2kπ＋θ)、(－ρ，2kπ＋π ＋θ)(k∈Z)在极坐标系中表示同一个点的规律，检验可知 只有2，－76π和－2，π6不是同一个点的极坐标．或者画 出点－2，π6在极坐标系中的位置，如图所示，对照选项 进行检验．
归纳升华 1．将点的极坐标转化为直角坐标时，要运用到求角 的正弦值和余弦值，应熟记特殊角的三角函数值，灵活运 用三角恒等变换公式．
2．点的直角坐标(x，y)转化为极坐标(ρ，θ)时，在 0≤θ<2π 的范围内，由 tan θ＝xy(x≠0)求 θ 时有两个解， 所以要根据点的直角坐标的符号特征判断点所在的象限， 从而求出 θ 的值．如果允许 θ∈R，那么再根据终边相同 的角的意义表示成 θ＋2kπ，k∈Z 即可．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
设 M 为平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫 作点 M 的极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为 终边的角 xOM 叫作点 M 的极角，记为 θ，有序实数对(ρ， θ)叫作点 M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)，一般地，不作特 殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数．
第一讲 坐标系
二、 极坐标
[学习目标] 1.了解极坐标的基本概念． 2.能在极 坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面 直角坐标系中刻画点的位置的区别(难点)． 3.能进行极 坐标与平面直角坐标的互化(重点)．
[知识提炼·梳理]
1．极坐标系的概念 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同 时确定一个长度单位和一个角度单位及其正方向(通常取 逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴)．
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
[变式训练] (1)把点 M 的极坐标2，34π化成直角坐 标；
(2)把点 P 的直角坐标(0，－2)化成极坐标． 解：(1)x＝2·cos 34π＝－ 2，y＝2·sin π4＝ 2. 故点2，34π的直角坐标为(－ 2， 2)．
(2)ρ＝ 0＋（－2）2＝2，θ＝32π， 故点 P(0，－2)的极坐标为2，32π.
B2，－π6，求 A，B 两点间的距离； (2)设点 A2，π3，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直
线，分别求出点 A 关于极轴、直线 l、极点的对称点的极 坐标(限定 ρ>0，－π<θ≤π)．
解：(1)法一 如下图所示，
因为∠AOB＝π3，又 OA＝OB＝2， 所以△ABO 为等边三角形．所以 AB 的长度为 2.
1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单 位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．
2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确 定极径，最终确定点的位置．
3．极坐标与直角坐标的互化． ①写极坐标时要注意顺序，极径 ρ 在前，极角 θ 在 后，不能把顺序弄清了．
②点的极坐标是不唯一的，但若限制 ρ>0，0≤θ<2π， 则除极点外，点的极坐标唯一确定．
③点 A 关于直线 θ＝π2的对称点的极坐标是_______． 解析：(1)如图所示，△OAB 为等腰直角三角形， 斜边 AB＝ （ 2）2＋（ 2）2＝2.
(2)如图所示．
①关于极轴对称点为 B3，116π. ②关于极点对称点 C3，76π. ③关于直线 θ＝π2的对称点为 D3，56π.
答案：(1)2 (2)①3，116π ②3，76π ③3，56π
[变式训练] 在极坐标系中与点 A6，43π重合的点
是( )
A.6，π3 C.－6，π3
B.6，73π D.－6，23π
解析：在极坐标系中作出点 A，如图所示，再结合选 项可得出答案．
答案：C
类型 2 极坐标系中的对称问题和距离问题(互动探
究) [ 典 例 2] (1) 在 极 坐 标 系 中 ， 已 知 A 2，π6 ，
答案：(1)A(5，0)，B2，π6，C4，π2，D5，34π， E(2，π)，F5，43π，G3.5，53π (2)B
归纳升华 1．确定点 M 的极坐标的方法：①定极径 ρ，即|OM| 的值，它是一个非负数．②定极角 θ，它有无数个，可任 选其一．若限定 0≤θ<2π，则 θ 值唯一确定．
2．已知点 M 的极坐标在极坐标系中确定点 M 的方 法：①以极点为圆心，极径 ρ 为半径画圆；②以极轴为始 边，根据角的旋转定义作出极角 θ 的终边；③圆与极角终 边的交点即为极坐标(ρ，θ)的对应点 M.
③直角坐标化极坐标时，要先判断点所在象限再求 极角．
温馨提示 (1)极点的极径 ρ＝0，极角 θ 可取任意 值．(2)极坐标系下的点与它的极坐标不是一一对应关系， 一个点可以有多个极坐标．
3.直角坐标和极坐标的互化
如图所示，把直角坐标系的原点作为 极点，x 轴的正半轴作为极轴，且两种坐标 系中的长度单位相同，设平面内任意一点 M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
类型 3 极坐标与直角坐标的互化(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 10 分)(1)把平面直角坐标系中 的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，把下列点的直 角坐标化为极坐标．
①(1，0)；②(2，2)；③(－1， 3)． (2)把平面直角坐标系中的原点作为极点，x 轴的正半 轴作为极轴，把下列各点的极坐标化为直角坐标． ①2，π4；②4，－π3.
A________ B________ C________ D________
E________ F________ G________
(2) 与 极 坐 标 －2，π6 不 表 示 同 一 个 点 的 极 坐 标 是
()
A.2，76π
B.2，－76π
C.－2，－116π
D.－2，136π
解析：(1)根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为 终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
2．已知 M 点的极坐标为－5，π3，下列极坐标不能 表示点 M 的是( )
A.5，－π3 C.5，－23π
B.5，43π D.－5，－53π
解析：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)、(－ρ， 2kπ＋π＋θ)(k∈Z)表示同一个点，检验应选 A.
因为点(－1， 3)在第二象限，所以 θ＝23π， 故点(－1， 3)的极坐标为2，23π.(6 分)
(2)①x＝2cos π4＝ 2，y＝2sin π4＝ 2，故点2，π4的 直角坐标是( 2， 2)．(8 分)
②x＝4cos－π3＝2，y＝4sin－π3＝－2 3，故点 4，－π3的直角坐标是(2，－2 3)．(10 分)
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
[规范解答] (1)①ρ＝1，θ＝0，故点(1，0)的极坐标
为(1，0)．(2 分)
②ρ＝ 22＋22＝2 2，tan θ＝1， 因为点(2，2)在第一象限，所以 θ＝π4，
失分警示：若不说明点的象限扣1分.
故点(2，2)的极坐标为2
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2，π4.
(4 分)
③ρ＝ （－1）2＋（ 3）2＝2，tan θ＝ 3 ＝－ 3， －1
答案：A
3．极坐标系中，点 A(2 016，2 017π)的直角坐标为 ()
A．(2 016，π) B．(2 016，0) C．(0，2 016) D．(－2 016，0) 解析：因为 ρ＝2016，θ＝2017π，
所以 x＝ρcos θ＝2016cos π＝－2016，
y＝ρsin θ＝2016sin 2017π＝2016sin π＝2016×0＝0， 所以 A 点的直角坐标为(－2016，0)． 答案：D
[迁移探究] (变换条件，改变问法)(1)在极坐标系中，
已知
A
2，74π，B
2，π4，则
A、B
两点间的距离是
________．
(2)极坐标系中，点 A 的极坐标是3，π6(规定 ρ>0，θ ∈[0，2π))，则：
①点 A 关于极轴对称的点的极坐标是________； ②点 A 关于极点对称的点的极坐标是________；
(1)极坐标化直角坐标：xy＝＝ρρscions
θ， θ.
(2)直角坐标化极坐标：ρta2n＝θx＝2＋__y2_，___（x≠0）. 温馨提示 极坐标与直角坐标互化的前提条件是：① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与 x 轴非负半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)极轴是一条射线．( ) (2)极点的极坐标是(0，0)．( ) (3)点 M4，π4与点 N4，54π表示同一个点．( ) (4)动点 M(5，θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心，以 5 为半径的圆．( )
解析：设极点为 O，极轴就是射线 Ox.(1)正确，极点 O 的极径 ρ＝0，极角 θ 是任意实数，极点的极坐标应为 (0，θ)；(2)错误，点 M 与点 N 的极角分别是 θ1＝π4，θ2 ＝54π，两者的终边互为反向延长线；(3)错误，由于动点 M(5，θ)(θ∈R)的极径 ρ＝5，极角是任意角，故点 M 的 轨迹是以极点 O 为圆心，以 5 为半径的圆；(4)正确．
所以 A(5，0)，B2，π6，C4，π2，D5，34π，E(2，π)， F5，43π，G3.5，53π.
(2)根据极坐标(ρ，θ)与(ρ，2kπ＋θ)、(－ρ，2kπ＋π ＋θ)(k∈Z)在极坐标系中表示同一个点的规律，检验可知 只有2，－76π和－2，π6不是同一个点的极坐标．或者画 出点－2，π6在极坐标系中的位置，如图所示，对照选项 进行检验．
归纳升华 1．将点的极坐标转化为直角坐标时，要运用到求角 的正弦值和余弦值，应熟记特殊角的三角函数值，灵活运 用三角恒等变换公式．
2．点的直角坐标(x，y)转化为极坐标(ρ，θ)时，在 0≤θ<2π 的范围内，由 tan θ＝xy(x≠0)求 θ 时有两个解， 所以要根据点的直角坐标的符号特征判断点所在的象限， 从而求出 θ 的值．如果允许 θ∈R，那么再根据终边相同 的角的意义表示成 θ＋2kπ，k∈Z 即可．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
设 M 为平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫 作点 M 的极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为 终边的角 xOM 叫作点 M 的极角，记为 θ，有序实数对(ρ， θ)叫作点 M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)，一般地，不作特 殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数．
第一讲 坐标系
二、 极坐标
[学习目标] 1.了解极坐标的基本概念． 2.能在极 坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面 直角坐标系中刻画点的位置的区别(难点)． 3.能进行极 坐标与平面直角坐标的互化(重点)．
[知识提炼·梳理]
1．极坐标系的概念 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同 时确定一个长度单位和一个角度单位及其正方向(通常取 逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴)．
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
[变式训练] (1)把点 M 的极坐标2，34π化成直角坐 标；
(2)把点 P 的直角坐标(0，－2)化成极坐标． 解：(1)x＝2·cos 34π＝－ 2，y＝2·sin π4＝ 2. 故点2，34π的直角坐标为(－ 2， 2)．
(2)ρ＝ 0＋（－2）2＝2，θ＝32π， 故点 P(0，－2)的极坐标为2，32π.
B2，－π6，求 A，B 两点间的距离； (2)设点 A2，π3，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直
线，分别求出点 A 关于极轴、直线 l、极点的对称点的极 坐标(限定 ρ>0，－π<θ≤π)．
解：(1)法一 如下图所示，
因为∠AOB＝π3，又 OA＝OB＝2， 所以△ABO 为等边三角形．所以 AB 的长度为 2.
1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单 位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．
2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确 定极径，最终确定点的位置．
3．极坐标与直角坐标的互化． ①写极坐标时要注意顺序，极径 ρ 在前，极角 θ 在 后，不能把顺序弄清了．
②点的极坐标是不唯一的，但若限制 ρ>0，0≤θ<2π， 则除极点外，点的极坐标唯一确定．
③点 A 关于直线 θ＝π2的对称点的极坐标是_______． 解析：(1)如图所示，△OAB 为等腰直角三角形， 斜边 AB＝ （ 2）2＋（ 2）2＝2.
(2)如图所示．
①关于极轴对称点为 B3，116π. ②关于极点对称点 C3，76π. ③关于直线 θ＝π2的对称点为 D3，56π.
答案：(1)2 (2)①3，116π ②3，76π ③3，56π
[变式训练] 在极坐标系中与点 A6，43π重合的点
是( )
A.6，π3 C.－6，π3
B.6，73π D.－6，23π
解析：在极坐标系中作出点 A，如图所示，再结合选 项可得出答案．
答案：C
类型 2 极坐标系中的对称问题和距离问题(互动探
究) [ 典 例 2] (1) 在 极 坐 标 系 中 ， 已 知 A 2，π6 ，
答案：(1)A(5，0)，B2，π6，C4，π2，D5，34π， E(2，π)，F5，43π，G3.5，53π (2)B
归纳升华 1．确定点 M 的极坐标的方法：①定极径 ρ，即|OM| 的值，它是一个非负数．②定极角 θ，它有无数个，可任 选其一．若限定 0≤θ<2π，则 θ 值唯一确定．
2．已知点 M 的极坐标在极坐标系中确定点 M 的方 法：①以极点为圆心，极径 ρ 为半径画圆；②以极轴为始 边，根据角的旋转定义作出极角 θ 的终边；③圆与极角终 边的交点即为极坐标(ρ，θ)的对应点 M.
③直角坐标化极坐标时，要先判断点所在象限再求 极角．
温馨提示 (1)极点的极径 ρ＝0，极角 θ 可取任意 值．(2)极坐标系下的点与它的极坐标不是一一对应关系， 一个点可以有多个极坐标．
3.直角坐标和极坐标的互化
如图所示，把直角坐标系的原点作为 极点，x 轴的正半轴作为极轴，且两种坐标 系中的长度单位相同，设平面内任意一点 M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
类型 3 极坐标与直角坐标的互化(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 10 分)(1)把平面直角坐标系中 的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，把下列点的直 角坐标化为极坐标．
①(1，0)；②(2，2)；③(－1， 3)． (2)把平面直角坐标系中的原点作为极点，x 轴的正半 轴作为极轴，把下列各点的极坐标化为直角坐标． ①2，π4；②4，－π3.
A________ B________ C________ D________
E________ F________ G________
(2) 与 极 坐 标 －2，π6 不 表 示 同 一 个 点 的 极 坐 标 是
()
A.2，76π
B.2，－76π
C.－2，－116π
D.－2，136π
解析：(1)根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为 终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．