2020高考复习 专题习题与解析 导数及其应用

专题03 导数及其应用

【知识再现】

1. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 2.几种常见函数的导数

(1) 0='C （C 为常数）. (2) '1

()()n n x nx n Q -=∈.

(3) x x cos )(sin ='. （4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln =

'；e a x

x

a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 3.导数的运算法则

（1）'

'

'

()u v u v ±=±. （2）'

'

'

()uv u v uv =+. （3）''

'2

()(0)u u v uv v v v -=

≠. 4.复合函数的求导法则

设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''

()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''

x u x y y u =⋅，或写作

'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.

5.曲线的切线问题

①求曲线在某点的切线：先求出曲线在该点的导数即为切线的斜率，再用点斜式求出切线方程. ②求曲线过某点的切线：先设出切点的坐标，求出曲线在切点的导数，利用切线过已知点，求出切点坐标，从而求出切线方程. 6.函数的单调性问题

（1）函数的单调性与导数的关系

设函数()y f x =在某个区间内可导，若()0f x '>，则()f x 为增函数；若/

()0f x <，则()f x 为

减函数.

（2）用导数函数求单调区间方法

求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，

解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论； (3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题

先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加. 7.函数的极值与最值问题 （1）函数极值的概念

设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数

()f x 的一个极大值，记作y 极大值=0()f x ；

设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数

()f x 的一个极小值，记作y 极小值=0()f x .

注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极限值;极值点不能在函数端点处取. （2）函数极值与导数的关系

当函数()y f x =在0x 处连续时，若在0x 附近的左侧/

()0f x >，右侧/

()0f x <，那么0()f x 是极大值；若在0x 附近的左侧/

()0f x <，右侧/

()0f x >，那么0()f x 是极小值.

注意：①在导数为0的点不一定是极值点，如函数3

y x =，导数为/2

3y x =，在0x =处导数为0，

但不是极值点； （3）函数的极值问题

①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0时，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点去极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；

②已知极值，求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；

③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围. 8.最值问题 （1）最值的概念

对函数()y f x =有函数值0()f x 使对定义域内任意x ，都有()f x ≤0()f x （()f x ≥0()f x ）则称

0()f x 是函数()y f x =的最大（小）值.

注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值.

②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值. （2）函数最问题

（1）对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；（2）对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式()f x ≤（≥）()g a （x 是自变量，a 是参数）恒成立问题，()g a ≥max ()f x （≤

min ()f x ），转化为求函数的最值问题，注意函数最值的区别于联系.

9.导数的综合问题

（1）对不等式的证明问题，先根据题意构造函数，再利用导数研究函数的单调性与最值，利用函数的单调性与最值证明不等式；注意应用前面小题结论；

（2）对含参数的恒成立问题、存在成立问题，常通过参变分离，转化为含参数部分大于另（小于）一端不含参数部分的最大值（最小值）问题，再利用导数研究函数的最值，若参变分离后不易求解，就要从分类讨论和放缩方面入手解决，注意恒成立与存在成立问题的区别. 10. 定积分

（1）定积分的几何意义

若y =()f x （()f x ≥0），则积分()b

a

f x dx ⎰

的几何意义是直线x =a ，x =b ，x 轴及曲线y =()

f x 围成的曲边梯形的面积. (2)定积分的性质 ①

()b

a

kf x dx ⎰

=()b

a

k f x dx ⎰，