2021-2022年高三第一次模拟考试数学含答案

2021年高三第一次模拟考试数学含答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1．设集合，集合，若，则 ▲ . 答案：1

2．若复数（其中为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 ▲ . 答案：－1

3．在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差是 ▲ . 答案：

4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下和棋的概率为，则乙获胜的概率为 ▲ .

答案：

解读：为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。 5．若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 ▲ . 答案：

6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ . 答案：42

解读：此题的答案容易错为22。

7．若变量满足202300x y x y x -≤⎧⎪

-+≥⎨⎪≥⎩

，则的最大值为 ▲ .

答案：8

8．若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为 ▲ . 答案：

9．若函数()sin()(0)6

f x x π

ωω=+

>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象

关于点成中心对称，，则 ▲ . 答案：

10．若实数满足，且，则的最小值为 ▲ . 答案：4 11．设向量，，则“”是“”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、

“充

第6题图

要”、“既不充分也不必要”) . 答案：必要不充分 12．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则 ▲ . 答案：

解读：方法1：（平面向量数量积入手）

2

2

2

2532553924416

4416OC OA OB OA OA OB OB

⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：222225159

+cos 16816

r r r AOB r =∠+，整理化简得：，过点作的垂线交于，则

23

cos 2cos 15

AOB AOD ∠=∠-=-，得，又圆心到直线的距离为，所以

22

2212cos 5OD AOD r r ∠===，所以，.

方法2：（平面向量坐标化入手）设，,,由得，，

则

22

222222121211112222

5

35325251525251544441616816168x y x x y y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

由题意得，()2

221122252515

16168

r r r x y x y =

+++，

联立直线与圆的方程，由韦达定理可解得：. 方法3：（平面向量共线定理入手）由得，设与交于点，则三点共线。由与互补结合余弦定理

可求得，过点作的垂线交于，根据圆心到直线的距离为，得，解得，. 13．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数. 如果对于，，使得，则实数的取值范围是 ▲ . 答案：

14．已知数列满足，，，若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为 ▲ .

答案：（ 说明：本答案也可以写成21

,3

21,3

n n

n n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数）

二、解答题：

15．在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射

线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 记. （1）求函数的值域； （2）设的角所对的边分别为，

若，且，，求. 解：（1）由题意，得12sin ,sin()cos 2

y y π

ααα==+

=， ………4分

所以()sin cos )4

f π

αααα=+=

+， ………………6分

因为，所以，故. ………………8分

第15题图

第17题图（2）因为()sin()

4

f C C

π

=+=………………10分在中，由余弦定理得，即，

解得. ………………

14分

（说明：第（2）小题用正弦定理处理的，类似给分）

16．(本小题满分14分)

如图，在正方体中，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

证明（1）：连接，设，连接，………2分

因为O，F分别是与的中点，所以，且，

又E为AB中点，所以，且，

从而，即四边形OEBF是平行四边形，

所以，……………6分

又面，面，

所以面. ……………8分

（2）因为面，面，

所以，…………10分

又，且面，，

所以面，…………12分

而，所以面，又面，

所以面面. ………14分

17．在平面直角坐标系中，椭圆的右

准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为

的直线经过点，且点到直线的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）将直线绕点旋转，它与椭圆相交于另一点，当

三点共线时，试确定直线的斜率.

解：（1）由题意知，直线的方程为，即，……………2分

右焦点到直线的距离为，，……………4分

又椭圆的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，，

椭圆的方程为；……………6分

（2）由（1）知，，直线的方程为，……………8分

联立方程组22

1)

1

43

y x

x y

⎧=-

⎪

⎨

+=

⎪

⎩

，解得

8

5

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

或（舍），即，…………12分直线的斜率

0(

5

82

2

5

k

-

==

-

. ……………14分其他方法：

B

A

C

D

B1

A1

C1

D1

E

F

O

B

A

C

D

B1

A1

C1

D1

E

第16题图

O

1

D

第16题图