机械动力学的有限元分析

机械分社
结构动力学问题是研究结构受动力载荷或基础运动作用产生 的动力响应。
结构的振动分析涉及到模态分析、瞬态动力学分析、简谐 响应分析、随机分析等方面，其中结构的模态分析（有频率和振 型）是所有振动分析的基础。
I t2 Ldt t1
L T (物体的动能) Π(物体的势能)
d dt
L (• qi
集中质量矩阵
M e Al 0 0 0 0 2 0 0 1 0
0 0 0 0
3）平面3节点三角形单元
一致质量矩阵
2 0 1 0 1 0
0 2 0 1 0 1
Me
At
1
0
2
0
1
0
12 0 1 0 2 0 1
1 0 1 0 2 0
0 1 0 1 0 2
8.1动力学方程
机械分社
（3）常用单元的质量矩阵
ε(t) Bqe (t)
σ(t) DBqe (t) Sqe (t)
•
•e
••
••e
q(t) N q (t) q(t) N q (t)
代入
••
•
(Dijklijkl ui ui v ui )d SP pi uidA Xi uid 0
Me
••e
q
(t)
Ce
•e
q
(t)
K
Me
At 36
0 1
2 0
0 2
4 0
0 4
2 0
0 2
1 0
0 1 0 2 0 4 0 2
2 0 1 0 2 0 4 0
0 2 0 1 0 2 0 4
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
Me
At 4
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
x x
yx y
zx z
X
x
2u t 2
vx
u t
0
xy x
y y
zy z
Y
y
2v t 2
vy
v t
0
xz x
yz y
Z z
Z
z
2w t 2
vz
w t
0
8.1动力学方程
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（1）基本方程
q(t 0) q
•
•
q(t 0) q
分别表示结构在初始时 刻时的位移和速度状态。
将单元的各个矩阵进行装配，可形成系统的整体有限元
方程：
••
•
M q Cq Kq P
1) 静力学情形 由于与时间无关，式退化为：
Kq P 结构静力分析的整体刚度方程
2) 无阻尼情形
v0
••
M q Kq P
3) 无阻尼自由振动
v 0, P 0
••
M q Kq 0
振动形式叫做自由振动，该方程解的形式为：
1）杆单元
一致质量矩阵
M e
e
N T Nd
Al
6
2 1
1 2
对称正定矩阵
一致质量矩阵：由形状函数矩阵推导出来的质量矩阵。
“一致”是指推导质量矩阵时所使用的形状函数矩阵与推
导刚度矩阵时所使用的形状函数矩阵相“一致”。
集中质量矩阵
Me
Al
2
1 0
0 1
将一致质量矩阵中各行(或各行)的元素相加后直接放
平衡方程及力边界条件的等效积分形式:
••
•
(ij, j Xi ui v ui ) uid SP (ijnj pi ) uidA 0
右端的第一项进行分部积分，经整理后有：
••
•
(Dijklijkl ui ui v ui )d SP pi uidA Xi uid 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
q qˆ eiωt 简谐振动的形式
8.1动力学方程
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（2）有限元分析形式
q qˆ eiωt 代入
••
M q Kq 0
( 2 Mqˆ Kqˆ) eiωt 0
(K 2M )qˆ 0
(K M )qˆ 0
方程有非零解的条件是
| K 2M | 0 或 | K M | 0
特征方程
在对角元素上。
对应于各个自由度的质量系数相互独立，相互之间无
耦合。
8.1动力学方程
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（3）常用单元的质量矩阵
2）梁单元 一致质量矩阵
156 22l 54 13l
Me
Al
22l
4l 2
13l
3l
2
420 54 13l 156 22l
13l 3l 2 22l
4l 2
1 0 0 0
)
L qi
0
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弹簧—质量系统
动能 势能
T
1 2
m1
•
x12
1 2
m2
•
x22
代入
Π
1 2
k1x12
1 2
k2 ( x2
x1 )2
d dt
(
L
•
)
qi
L qi
0
d dt
L ( •) x1
L x1
m1
••
x1
k1x1
k2 (x2
x1 )
0
d dt
(
L
•
)
x2
L x2
m2
••
x2 k2 (x2
x1) 0
矩阵表示式
m1
0
0 m2
••
x1
••
x2
k1 k2 k2
k2 k2
x1
x2
0
••
M x Kx 0
8.1动力学方程
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所有的变量都将是时间的函数：
（1）基本方程
达朗贝尔原理(D’Alembert principle)将惯性力和阻尼力等效到静力 平衡方程中有：
动力学问题的虚位移方程或虚功原理。
（2）有限元分析形式
单元节点的位移列阵可表述为：
qe (t) u1(t) v1(t) w1(t) | | une (t) vne (t) wne (t)
8.1动力学方程
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（2）有限元分析形式
单元内的位移插值函数为：
q(t) Nqe (t)
将相关的物理量表示为节点位移的关系为：
代入 (K 2M )qˆ 0
8.1动力学方程
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（2）有限元分析形式
| K 2M | 0 或
| K M | 0
qˆiT Mqˆ j 0 qˆiT Kqˆ j 0
i j
为了保证解的唯一性，通常要对特征向量进行规范化处 理:
qˆiTMqˆ j 1
8.1动力学方程
机械分社
（3）常用单元的质量矩阵
eq(t)
Pe
(t)
qe
(t)
0
上式消去微小项后，有
••e
•e
Me q (t) Ce q (t) Keq(t) Pe (t)
M e N T Nd
C e vN T Nd e
K e BTDBd e
P e N Tbd N T pdA
e
Sp
8.1动力学方程
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（2）有限元分析形式
3）平面3节点三角形单元
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
集中质量矩阵
Me
At
0
0
1
0
0
0
3 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
Байду номын сангаас
4）平面4节点矩形单元
0 0 0 0 0 1
一致质量矩阵
集中质量矩阵
4 0 2 0 1 0 2 0
0 4 0 2 0 1 0 2
2 0 4 0 2 0 1 0