《复变函数与积分变换》(西安交大_第四版)课后答案

=
1 13
(3
−
2i)
所以
Re⎨⎧ ⎩3
1 +2
i
⎫ ⎬ ⎭
=
3 13
，
Im⎨⎧ ⎩3
1 + 2i
⎫ ⎬ ⎭
=
−
2 13
,
m 1 = 1 (3 + 2i) ， 1 = ⎜⎛ 3 ⎟⎞2 + ⎜⎛− 3 ⎟⎞2 = 13 ，
o 3+2i 13
3 + 2i ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ 13
Arg⎜⎛
网 c ⎝
2 ⎜⎜⎝⎛
1 −i 2
1 2
⎟⎟⎠⎞
= 2⎜⎛ cos π − isin π ⎟⎞
⎝4
4⎠
−i π
= 2e 4
( ) ( ) (( )) （6）
cos5ϕ + isin5ϕ cos3ϕ − isin3ϕ
2
=
3
ei5ϕ
2
/
e−i3ϕ
3 = ei10ϕ /e−i9ϕ = ei19ϕ
3
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13．如果 z = eit ，试证明
（1） zn
+
1 zn
= 2cos nt
；
（2） zn − 1 = 2 i sin nt zn
解 （1） zn + 1 = eint + e−int = eint + eint = 2sin nt zn
（2） zn
−
1 zn
= eint
− e−int
= eint
− eint
答 w 证明：| z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) + (z1 − z2 )(z1 − z2 )
= 2(z1 z1 + z2 z2 )
后 a = 2(| z1 |2 + | z2 |2) 课 d 其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。
m （2）原方程的特征方程 λ3 + 8 = 0 有根 λ1 = 1+ 3 i ， λ2 = −2 ， λ3 = 1− 3i ，故其 o 一般形式为
om 所以
= 1 − 4i + i = 1 − 3i
{ } { } Re i8 − 4i21 + i = 1, Im i8 − 4i21 + i = −3
网 c ⎜⎝⎛i8 − 4i21 + i⎟⎠⎞ = 1+ 3i ，| i8 − 4i21 + i |= 10 案 . ( ) ( ) Arg i8 − 4i21 + i = arg i8 − 4i21 + i + 2kπ = arg(1− 3i)+ 2kπ
6．当 | z |≤ 1 时，求 | zn + a | 的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。
解：由于
zn
+
a
≤ |z|n
+ |a| ≤ 1 + |a| ，且当
z
=
arg a i
en
时，有
om ( ) | zn + a|=
⎜⎜⎝⎛
i
e
arg n
a
⎟⎞n ⎟⎠
+ |a|eiarg a
=
1+ a
ei arg a
= 1 + |a|
网 c 故1+ | a | 为所求。
8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。
案 . （1）i； 答 w （4）1− cosϕ + isinϕ(0 ≤ ϕ ≤ π)；
（2）-1； （5） 2i ；
−1+ i
（3）1+ 3 i；
（6）((ccooss53ϕϕ
+ −
isin5ϕ isin3ϕ
= −arctan3 + 2kπ k = 0,±1,±2,".
答 w 2．如果等式 x +1+ i(y − 3) = 1+ i 成立，试求实数 x, y 为何值。 5 + 3i
后 a 解：由于
课 d x
+
1+ i(y
5 +Leabharlann 3i−3)=
[x
+1 + i(y − 3)](5 − (5 + 3i)(5 − 3i)
案网 .c =
32
⎡ ⎢⎣cos
⎛ ⎜⎝
−
5π 6
⎞ ⎟⎠
+
isin
⎛ ⎜⎝
−
5π 6
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
=
−16
3 −16i
答 ( ) w （2）(1+
i)6
=
⎡ ⎢
⎣
2
⎛ ⎜⎝
1+ 2
i 2
⎞⎤6 ⎟⎠⎥⎦
=
2eiπ /4 6 = 8e3πi/2 = −8i 。
后 a 1
( 课) （3） 6 −1 = eiπ+2kπ 6 = eiπ(2k+1)/6 ,k = 0,1,2,3,4, 5 。可知 6 −1 的 6 个值分别是
⎟⎞ ⎠
=
arg⎜⎛ ⎝
1 i
−
3i 1−
i
⎟⎞ ⎠
+
2kπ
w= −arctan 5 + 2kπ, 3
k = 0,±1,±2,".
ww（3）
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)
=
(3
+
4i)(2 − (2i)(−
5i)(− 2i)
2i)
=
(26
−
7i)(−
4
2i)
= −7 − 26i = − 7 −13i
2
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习题一解答
1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
（1） 1 ； （2）1 − 3i ； （3） (3 + 4i)(2 − 5i) ；
3 + 2i
i 1−i
2i
（4）i8 − 4i 21 + i
解
（1）
1 3 + 2i
=
(3
+
3 − 2i
2i)(3 −
2i)
或
⎧ 5x + 3y = 38 ⎩⎨− 3x + 5y = 52
解得 x = 1, y = 11 。
ww3．证明虚单位i 有这样的性质：-i=i-1= i 。
4．证明
1) | z |2 = zz
#
6) Re(z) = 1 (z + z), Im(z) = 1 (z − z )
2
2i
2
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(3
+
4
i)(2
2i
−
5
i)⎤
⎥⎦
=
arg⎢⎣⎡
(3
+
4
i)(2
2i
−
5
i)⎤
⎥⎦
+
2kπ
=
2
arctan
26 7
−
π
+
2kπ
= arctan 26 + (2k −1)π ,
7
k = 0,±1,±2," .
( ) ( ) （4） i8 − 4i21 + i = i2 4 − 4 i2 10i + i = (−1)4 − 4(− )1 10i + i
12．证明下列各题：
h 1）任何有理分式函数 R(z) = P(z) 可以化为 X + iY 的形式，其中 X 与Y 为具 Q(z)
k 有实系数的 x 与 y 的有理分式函数；
. 2）如果 R(z) 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 R(z ) = X − iY ；
3）如果复数 a + ib 是实系数方程
d eiπ/6 = 3 + i , eiπ/2 = i ， eii5π/6 = − 3 + i
h2 2
22
kei7π/6 = − 3 − i ， ei3π/2 = − i ， ei11π/4 = 3 − i 。
22
22
1
. ( ) （4）
(1
−
i
)1 3
=
⎡ ⎢
⎣
2 ⎜⎜⎝⎛
1− 2
i 2
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤ 3
= cos19ϕ + isin19ϕ
9．将下列坐标变换公式写成复数的形式：
1）平移公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 y1
+ +
a1, b1;
2）旋转公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 x1
cosα sin α
− +
y1 y1
sinα , cos α .
解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有 1） z = z1 + A ；2） z = z1(cosα + i sinα ) = z1eiα 。
w a0zn + a1zn−1 +" + an−1z + an = 0
w 的根，那么 a − ib 也是它的根。
w证 1） R(z) = P(z) = P(z)Q(z) = Re(P(z)Q(z)) + Im(P(z)Q(z)) ;
Q(z) Q(z)Q(z)
q(x, y)
q(x, y)
2）
R(z )
故 n = 4k, k = 0, ±1, ±2,"。
16．（1）求方程 z3 + 8 = 0 的所有根 （2）求微分方程 y'''+8y = 0 的一般解。
( )1
π i
(1+
2k
)
解 （1） z = −8 3 = 2e 3 ，k=0,1,2。
即原方程有如下三个解：
1 + i 3, −2, 1 − i 3 。
2sin 2
ϕ 2
+ i2sin
ϕ 2
ϕ cos
2
=
2sin
ϕ 2
⎛ ⎜⎝
sin
ϕ 2
+
ϕ icos
2
⎞ ⎟⎠
w=
2sin
ϕ
⎜⎛ cos
π
−ϕ
+ isin
π
−ϕ
⎟⎞
=
2sin
ϕ
i π−ϕ
e2
, (0
≤ϕ
≤
π)
；
2⎝ 2
2⎠
2
w（5） 2i = 1 2i(−1− i) = 1− i = w −1+i 2
−
3i 1−i
⎫ ⎬ ⎭
=
3 2
,
hIm⎩⎨⎧1i
−
3i 1−
i
⎫ ⎬ ⎭
=
−
5 2
k ⎜⎛1 − 3i ⎟⎞ = 3 + i 5 ， 1 − 3i = ⎜⎛ 3 ⎟⎞2 + ⎜⎛− 5 ⎟⎞2 = 34 ，
⎝ i 1−i⎠ 2 2 i 1−i ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2
. Arg⎜⎛ ⎝
1 i
−
3i 1−i
2
所以
Re⎨⎧ (3
+
4i)(2
−
5i)⎫
⎬
=
−
7
，
⎩ 2i ⎭ 2
Im⎨⎧ ⎩
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎫
⎬ ⎭
=
−13
，
1
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⎡ ⎢ ⎣
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎤
⎥ ⎦
=
−
7 2
+
l3i
(3 + 4i)(2 − 5i) = 5 29 ，
2i
2
Arg⎢⎣⎡
3i)
h= 5(x +1)+ 3(y − 3)+ i[− 3(x +1)+ 5(y − 3)] 34
k = 1 [5x + 3y − 4]+ i(− 3x + 5y −18) = 1+ i 34
. 比较等式两端的实、虚部，得
⎧ 5x + 3y − 4 = 34
w ⎩⎨− 3x + 5y −18 = 34
⎝ 12
12 ⎠
6 2ei5π / 4 = 6 2⎜⎛ cos 5π + i sin 5π ⎟⎞ 。
⎝4
4⎠
15．若 (1+ i)n = (1− i)n ，试求 n 的值。
5
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解 由题意即 ( 2eiπ / 4 )n = ( 2e−iπ / 4 )n , einπ / 4 = e−inπ / 4 ， sin n π = 0 ， 4
=
P(z ) Q(z )
=
P(z) Q(z)
=
⎛ ⎜ ⎝
P(z) Q(z)
⎞ ⎟ ⎠
=
X
+ iY
=
X
− iY
;
3）事实上
( ) P z = a0 z n + a1z n−1 +" + an−1z + an
4
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= a0 + a1z + a2z2 + " + an zn = P(z)
= 2 i sin nt
14．求下列各式的值
( ) m （1） 3 − i 5 ； （2） (1+ i)6 ； （3） 6 −1 ；
1
（4） (1 − i)3
( ) o ( ) 解
（1）
3 − i 5 = ⎢⎢⎣⎡2⎜⎜⎝⎛
3 2
−
i 2
⎟⎟⎠⎞⎥⎥⎦⎤5
=
2e−iπ / 6 5 = 32e−i5π / 6
m 10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？
o ( ) 解：设复数 z =| z | eiArgz ，则 z − i
=|
z
|
ei Arg z
⋅
−i π
e2
i⎜⎛ Arg z− π
= |z|e ⎝ 2
⎟⎞ ⎠
，可知复数的模不变，
网 c 辐角减少π 。 2
案 . 11．证明：| z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = 2(| z1 |2 + | z2 |2 ) ，并说明其几何意义。
)2 )3
后 a 解：（1）i
=
cos
π
+
isin
π
=
π i
e2
；
2
2
课 d （2） −1 = cosπ + isinπ = eiπ
h （3）1 + i
3
=
2⎜⎜⎝⎛
1 2
+
i
3 2
⎟⎞ ⎟⎠
=
2⎜⎛ cos ⎝
π 3