[套卷]甘肃省民勤县第四中学2014届高三上学期第三次月考数学(文)试题

甘肃省民勤县第四中学2014届高三上学期第三次月
考数学（文）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则 （ ）
（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅
2.若1sin ,(,),cos 22
π
ααπα=∈=则（ ）
A
．B
C ．12
D ．12-
3. 已知向量(12)a = ，，(4)b x = ，，若向量a b //
，则x = （ ） A ．2 B ． 2- C ． 8 D ．8-
4．等差数列{}n a 中，若58215a a a -=+，则5a 等于 （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．下列函数图象中不正确．．．
的是（ ）
6.将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移
π
6
个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，0，则φ的一个可能取值是 ( )
A.π12
B.π6
C.5π6
D.7π12
7．“2a =”是 “函数()2x f x ax =-有零点”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8.已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A.c ≥b >a
B.a >c ≥b
C.c >b >a
D.a >c >b
9.已知奇函数()f x 在[0,)+∞单调递增，则满足2(21)(1)f x f x x -<-+的x 的取值范围是（ ）
A ．()(),12,-∞+∞ B. ()(),21,-∞--+∞ C. ()1,2 D. ()2,1--
10.已知向量(,1),(2,)a x z b y z =-=+
，且a b ⊥ ，若变量,x y 满足约束条件1325x y x
x y ≥-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
则z 的最大值为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 11．给出如下四个命题：
① 若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；
②若等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 则三点10100110(10,),(100,),(110,)10100110
S S S
共线;
③ “∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是 “∃x ∈R ，x 2＋1≤1”; ④ 在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件． 其中正确．．的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ．4
12．已知定义在R 上的可导函数()x f 的导函数为()x f '，满足()()x f x f <'，且()2+x f 为偶函数， ()14=f ，则不等式()x e x f <的解集为( )
A ． ()2,-+∞
B ．()0,+∞
C ．()1,+∞
D ．()4,+∞ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的体积是
________3m .
正视图 侧视图 俯视图
14.已知等比数列{}n a 中，81,341==a a ，若数列{}n b 满足n n a b 3log = ，则数
列 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n s = .
15.曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为______ __ 16.给出下列五个命题：
①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行； ②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行； ③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；
④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行； ⑤若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的无数多条直线平行.
其中正确命题的序号是__________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（本小题满分10分）
已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA (1) 求A
(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c
18（本小题满分12分） 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n
3
，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项；
(2)设b n ＝n a n
，求数列{b n }的前n 项和S n .
19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1
2AA 1，D 是棱AA 1的中点
(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
20．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，记f (x )的导数为f ′(x ).
(1)若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝2
3
时y ＝f (x )有极
值，求函数f (x )的解析式；
(2)在(1)的条件下，求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值.
21.已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x － 3a ＋1 <0， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x |x －a 2
－2x －a <0. (1)当a ＝1
2
时，求(∁U B )∩A ；
(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.
22．(本小题满分12分)坐标系与参数方程
B 1 C
B A D
C 1
A 1
已知曲线C
1的参数方程是
⎩
⎨
⎧x＝2cosφ
y＝3sinφ
(φ为参数)，以坐标原点为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
2
的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD
的顶点都在C
2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，
π
3
)
(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标；
(Ⅱ)设P为C
1
上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围.
高三上学期第二次月考数学（文）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-5B A A C D , 6-10 D A A A C ，11-12 B B
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.
11. ___4
3
_ ,12.
n
s=
1
n
n+
. (13) __3
4-
=x
y__;14. ___③⑤__.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = 3a sinC－c cosA
(3)求A
(4)若a=2，△ABC的面积为3，求b,c
18（本小题满分12分） 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32
a 3＋…＋3n －1
a n ＝n
3
，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项；
(2)设b n ＝n a n
，求数列{b n }的前n 项和S n . 18解 (1)∵a 1＋3a 2＋32
a 3＋…＋3n －1
a n ＝n 3
，
①
∴当n ≥2时，
a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝
n －1
3
， ②
①－②得3
n －1
a n ＝13，∴a n ＝13
n .
在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝1
3
n ，
∴a n ＝13n .
(2)∵b n ＝n a n
，∴b n ＝n ·3n
.
∴S n ＝3＋2×32
＋3×33
＋…＋n ·3n
，
③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1
. ④
④－③得2S n ＝n ·3
n ＋1
－(3＋32
＋33
＋ (3)
)，即2S n ＝n ·3
n ＋1
－3 1－3n
1－3
，
∴S n ＝ 2n －1 3n ＋1
4＋34
.
（19）（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，
AC=BC=1
2
AA 1，D 是棱AA 1的中点
(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
B 1
C B
A
D
C 1
A 1
20（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋bx ＋5，记f (x )的导数为f ′(x ).
(1)若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝2
3
时y ＝f (x )有极值，求函数
f (x )的解析式；
(2)在(1)的条件下，求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值.
解 (1)f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b .
依题意f ′(1)＝3，f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫23＝0， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
3＋2a ＋b ＝3，3·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4
3
a ＋
b ＝0，解之得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝－4.
所以f (x )＝x 3
＋2x 2
－4x ＋5.
(2)由(1)知，
f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2).
令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2
3
.
21.已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |
x －2
x － 3a ＋1 <0， B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x －a 2
－2x －a <0. (1)当a ＝1
2
时，求(∁U B )∩A ；
(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.
解 (1)当a ＝1
2
时，
A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x |x －2x －52<0＝⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x |2<x <52， B ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x －9
4x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94， ∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94. ∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |94
≤x <52.
(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2
＋2}.
①当3a ＋1>2，即a >1
3
时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}.∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤23a ＋1≤a 2
＋2，即13<a ≤3－52
.
②当3a ＋1＝2，即a ＝1
3时，A ＝∅，不符合题意；
③当3a ＋1<2，即a <1
3
时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，
由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤3a ＋1
a 2
＋2≥2
，∴－12≤a <1
3
.
综上所述，实数a 的取值范围是
⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤13，3－52. (22)(本小题满分10分)坐标系与参数方程
已知曲线C 1的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos φ
y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、
B 、
C 、
D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π
3
)
(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；
(Ⅱ)设P 为C
1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2
的取值范围.。