北京四中初二函数初步

函数初步

编稿：龚剑均审稿：李岩责编：高伟

知识要点梳理

有关概念

1.变量与常量.

2.函数：变化与对应，存在和唯一.

3.函数与函数值的区别.

自变量的取值范围

1.使函数解析式有意义：如整式可取任意实数；分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；0的0次幂无意义等.

2.使实际问题有意义：如时间非负等.

函数的表达形式

1.解析式法

2.列表格

3.图象法，且三种表达形式可以相互转化.

函数图象的画法

1.描点法：列表——描点——连线.

2.图象变换：平移、翻折.

3.识图：观察图象，分析数据，发现规律.

4.点在函数的图象上点的坐标满足解析式.

经典例题分析

类型一：有关变量与常量问题

典型问题：

问题1：汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为千米，行驶时间为小时.请先填写下表：

/时

/千米

用含的式子表示，则=________．

问题2：每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张票，日场售出205张票，晚场售出310张票．三场电影的票房收入分别为________、________、________元．设一场电影售出张票，票房收入(元)，用

含的式子表示，则________．

问题3：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律，如果弹簧原长10，每1重物使弹簧伸长O.5，用含重物质量()的式子表示受力后的弹簧长度，则________．

问题4：要画一个面积为的圆，圆的半径应取________，若圆的面积为，则圆的半径应取________，用含圆面积的式子表示圆半径，则=________.

问题5：用10长的绳子围成矩形，试改变矩形边的长度，观察矩形的面积如何变化，设矩形的长为，面积为，用含的式子表示，则=________.

知识点探讨与归纳：

根据上述问题，你发现了什么?

这些问题反映了某一变化过程中，有些量是按某种规律变化的，有些量保持不变，而有些量的值随着一个量的值的改变而改变.

因此，在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量，数值始终保持不变的量叫常量.

特别地，是一个常数.

巩固提高：

练习1：分别写出下列各问题中的变量与常量：

(1)球的表面积与球半径的关系式是.

(2)以固定的速度抛出一个小球，小球的路程与小球运动的时间之间的关系式是

.

解：(1)、是变量，是常量

(2)、是变量，，4，9是常量

易错点：误认为是变量，其实是一固定的速度，是常量.

练习2：下面表格记录了我国几个城市在2008年8月8日的最高气温

这不是表示两个变量之间关系的表格，请你根据影响气温的主要因素，把这个表格改为在一定程度上表示两个变量之间关系的表格，并回答下列问题.

(1)这里的两个变量各是什么？

(2)一个变量是怎么随另一个变量而变化的？

分析：影响气温的因素比较多，在通常情况下，季节和纬度对气温的影响更大些.在题目中，所给数据是几个沿海城市在同一天的最高气温，这几个城市都处于夏季，排除了季节对气温的影响，所以我们应该注意到纬度对这几个城市气温的影响.为此，可以查阅有关资料(或登录互联网)，明确所涉及到的几个沿海城市的纬度.

解：

(1)列表如下：

(2)①这里的两个变量是纬度数和最高气温数；②随着纬度数逐渐减小，最高气温逐渐升高.

类型二：有关函数概念、函数值及其解析式的问题：

典型问题：

问题1：汽车离开站5以后以40的平均速度行驶了，汽车离开站所走的路程为()，填写如下表格：

观察填出的表格，你会发现：每当行驶时间取定一个值，汽车离开站所走的路程就________．

问题2：小明用40元钱购买6元／件的某种商品，考查他剩余的钱(元)与购买这种商品(件)的关系．当

时，________元，当时，________元．可以看出，每当小明购买这种商品数量取定一个值时，他剩余的钱(元)就________，________．

问题3：如图1是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，则所用的火柴棍的根数与所摆图案的层数之间的关系可通过填表来探究．

每当所摆图案的层数取定一个值时，所用火柴棍的根数就随之________，________.

问题4：如图2所示是武汉地区十月某天24小时气温变化图．

看图回答下列问题：

(1)这天的5时、13时和16时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，你能说出这一时刻的气温吗?

(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低？

(4)这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这天的气温变化规律的?

知识点探讨与归纳：

这些问题反映了在某一变化过程中的两个变量是互相联系的，当其中一个变量取一个值时，另一个变量就随之确定一个值.图表中对于一个变量的第一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的对应值.

因此，一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，就说是自变量，是的函数。如果当时，，那么叫做当自变量的值为时的函数值.

巩固提高：

练习1：公路上依次有、、三个汽车站，上午8时，小明骑自行车从、两站之间离站8千米处出发，向站匀速前进，他骑车的速度是每小时16.5千米．

(1)在小明骑车用去的时间与所走的路程这两个变量中，哪个变量取一确定值，另一变量就随之确定一个值?

(2)设小明出发小时后，离A站的路程为千米，请写出与之间的关系式．

(3)若、两站间的路程是26千米，、两站间的路程是15千米，那么小明在上午9时是否已经经过了站？

(4)小明大约在什么时间能够到达站?

分析：

(1)小明骑车前进的速度是一个确定的值，他所走过的路程完全是由时间决定的，时间变化，所走过的路程也随着变化；

(2)可以看作是如下两部分的和：一是小明在上午8时到A站的路程；二是他骑车所走的路程；

(3)需要计算在上午9时小明所走过的路程，然后与、两站之间的路程进行比较；