第11章 压杆稳定

第十一章 压杆稳定

11-1 图示压杆在主视图a 所在平面内，两端为铰支，在俯视图b 所在平面内，两端为固定，材料的为Q235钢，弹性模量GPa 210=E 。试求此压杆的临界力。

(a )

(b )

解：

在主视图所在平面内，如图(a)所示，压杆的柔度为

6.1386240

323212

13=⨯==⨯=

=h l bh

bh l i l a a a μλ 在俯视图所在平面内，如图(b)所示，压杆的柔度为

9.1034240

3312

5.03=⨯===

=b l bh

hb l i l b b b μλ ∵ 100p ≈>>λλλb a ，∴为大柔度压杆，且失稳时在主视图平面内

失稳

故压杆的临界力为

kN 9.258N 40606.1381021023

222cr =⨯⨯⨯⨯=

=πλπA E F a

11-2 两端固定的矩形截面细长压杆，其横截面尺寸为

m m 60=h ，m m 30=b ，材料的比例极限MPa 200p =σ，弹性模量GP a 210=E 。试求此压杆的临界力适用于欧拉公式时的最小长度。

解：

由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在惯性矩最小的平面内失稳，即压杆的横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转动。

3

2123

min

min b bh hb A

I i ===

欧拉公式适用于max λp λ≥，即 m i n

m a x i l

μλ=p

σπ

E

≥

由此得到

=≥P E i l σμπm i n m 76.1m 10

200102105

.0321030326

9

3p =⨯⨯⨯⨯⨯=

-π

σμπE b 故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m 。

11-3 图示No20a 工字形截面杆在温度C T 20=时进行安装，此时杆不受力。试求当温度升高到多少度时，杆将失稳？已知工字钢的弹性模量G P a 210=E ，比例极限MP a 200=P σ，线膨胀系数

6 105.12-⨯= α

解： 8.101200

102103

=⨯==πσπ

λP

P E

查表得 cm 12.2min =i 杆的柔度为 p 2

m i n

m a x 1421012.26

5.0λμλ>=⨯⨯=

=

-i l

，为大柔度杆

∴ 22cr λ

πσE

=

当温度增加T ∆时，有

l E

Tl l σ

α=∆=∆

即杆内的应力为 TE ∆= ασ

当cr σσ=时，杆件将失稳，即有

2

2

λπαE

TE =∆ C T

4.39

5.141105.12 2

62

22

=⨯⨯==

∆-πλαπ ∴ 当温度升至

C T T T 4.59=∆+='

时，杆将失稳。

11-4 某钢材的比例极限M P a

230p =σ，屈服应力M P a 274s =σ，弹性模量GPa 200=E ，MPa 331=a ，MPa 09.1=b 。试求p λ和0λ，并绘出临界应力总图（1500≤≤λ)。

解：

6.92230

102003

p p =⨯==πσπλE

3.5209

.1274

3310=-=-=

b a s σλ

临界应力总图

11-5 图示铰接杆系ABC 由两根截面和材料均相同的细长杆组成。若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起毁坏，试确定载荷F 为最大时的θ角（假设2/0πθ<<）。

解：

最合理的情况为AB 、BC 两杆同时失稳，此时F 最大。

βππθ22222cr cos cos AC AB AB l EI

l EI F F ===

β

ππθ2

222

2cr sin sin AC

BC

BC l EI

l EI

F F =

==

两式相除得到 βθ2

c o t t a n = 即 (

)

βθ2

cot arctan =

11-6 图示为由五根直径m m 50=d 的圆形钢杆组成边长为m 1=a 的正方形结构，材料为Q235钢，比例极限MPa 200p =σ，屈服应力MPa 235s =σ，弹性模量GPa 200=E 。试求该结构的许用载荷][F 。 解：

1．受力分析

由结构和载荷的对称性，可知：AB 、AD 、BC 、DC 四杆的轴力相同，且为压杆，BD 杆为拉杆 由结点C 的平衡可求得压杆中的轴力 ()

245cos 2N F

F F ==

由结点B 的平衡可求得拉杆中的轴力

F F F ==' 45cos 2N N

2．求结构的临界载荷 对拉杆，

MPa 235cr =='s σσ 对压杆， 3.99200

10

2003

p

p =⨯==π

σπ

λE

6.6112.1235

3040=-=-=

b a s σλ 804/50101143

=⨯⨯===d a i l μμλ 故p 0λλλ<<，为中柔度杆，

MPa 4.2148012.1304=⨯-=-=λσb a cr

∴ 比较拉杆和压杆的临界应力可知cr cr σσ>'，即此结构的强度受拉杆控制，即结构的许用载荷为

kN 4.471N 4

50235235][2

cr

=⨯=='='=πσA A F F cr