利息理论

2.1 基本年金


2.1.3 递延年金 定义2.6 若年金现金流的首次发生是递延了一段时 间后进行的，则称这种年金为递延年金。 计算公式
m
an i amn i am i
v m an i
（试结合上述公式给出直观解释）
2.1 基本年金


2.1.4 永久年金 定义2.6 若年金的支付永远进行下去，没有结 束的日期，则称这种年金为永久年金。 计算公式

1.1 利率基本函数


定义1.3 设1货币单位的本金在t(t>0)是的价值为 a(t)，则当t变动时，称a(t)为累积函数。 定义1.4 给定时间区间[t1,t2]内总量函数的变化量 与期初货币量的比值称为在时间区间[t1,t2]内的利 率，记为 it1 ,t 2 ，即
it1 ,t 2 I t1 ,t 2 A(t 2 ) A(t1 ) A(t1 ) A(t1 )
a(t ) exp( s ds),t 0
0
t
1.1 利率基本函数

常见数量关系：
a (t ) e

t
e 1 i
In(1 i) Inv In(1 d )

单位计息期内，常数利息力，利息及贴现率大小：
d i
1.2 利率基本计算
价值方程：将调整到比较日的计算结果按照收支相 等原则列出的等式称为价值方程。 例1.3 某资金账户第1年初支出100元，第5年末支 出200元，第10年末也支出一笔资金；作为回报， 第8年末收回资金600元，假定半年换算名利率为 8%，试利用价值方程计算第10年末支出金额。 解答：（选不同比较日列出价值方程，并比较结果）
2.1 基本年金
n 1 v an| v v 2 ... v n i
2.1 基本年金

现金流

计算公式
n ( 1 i ) 1 n 1 n2 sn| (1 i) (1 i) ... (1 i) 1 i
2.1 基本年金

例2.1 现有10年期50万元贷款，年利率8%， 试计算以下三种还贷方式的应付利息。

常用数量关系
1 1 sn i an i (1 i ) , i an i s n i
n

s n i a n i (1 i ) , d an i sni
n


1
1
a n i (1 i)an i , a n i 1 an1 i


s n i (1 i)sn i , s n i sn1 i 1
1.1 利率基本函数

常见数量关系：
v (1 i) 1
d i i ,d 1 d 1 i
（贴现因子）
d iv, d 1 v, i d id
1.1 利率基本函数

( m) i /m 定义1.10 若在单位计息期内利息依利率 换算m次，则称 i ( m )为m换算名利率。
A:在第10年底一次付清； B:每年底偿还当年利息，本金最后一次付清； C:每年底偿还固定金额，10年还清。
2.1 基本年金

续例2.1 10 500000 ( 1 0 . 08 ) 500000 579462 .50 A: B: 500000 0.08 10 400000 C: 500000 10 500000 245145 .4 a10 0.08
2
i 0.073
1.2 利率基本计算
利率计算 线性插值或迭代法 例1.7 已知现在投入1000元，第3年底投入2000元， 第10年底全部收入为5000元，计算半年换算名利率 ( 2) ( 2) j i / 2 ，则有 解题：设半年换算名利率为 i ，令

1000 (1 j )20 2000 (1 j )14 5000
令 f (i) 1000(1 j)20 2000(1 j)14 5000 ，分别验证 f ( j0 ), f ( j1 ) 使得 f ( j0 ) f ( j1 ) 0，则有 f ( j0 )( j1 j0 ) 按照相同原则迭代出 j3 , j4 等 j2 j0
f ( j1 ) f ( j0 )

解法二：比较实际收益。
a A (5) 1.4106 aB (5) 1.4058
1.1 利率基本函数

定义1.11 设累积函数 a(t ) 为 t (t 0) 的连续可微函 数，则称函数 a ' (t )
t
a(t ) , (t 0)
为累积函数a(t ) 对应的利息力函数，并称其在各个 时刻的值为利息力。
a i lim an i
n

a i lim a n i
n

1 i 1 d
a n i a i v n a i
2.1 基本年金

2.1.4 永久年金 例2.2 某人留下遗产100000元，第一个10年将每年 的利息付给受益人甲，第二个10年将每年的利息付 给受益人乙，20年后将每年的利息付给受益人丙并 一直进行下去，均为年底支付，年利率7%，计算 三个受益人的相对收益比例。 7000 a10 0.07 解： 甲 乙 7000 (a20 0.07 a10 0.07 ) 丙 7000 (a a )
利息理论与实务分析
胡仕强 浙江财经大学金融学院
第一章 利息基本计算

定义1.1 设用A(t)表示原始投资A(0)经过时间t(t>0) 后的价值，则当t变动时称A(t)为总量函数 定义1.2 总量函数在时间[t1,t2]内的变化量（增量） 称为期初货币量A(t1)在[t1,t2]内的利息，记为， I t1 ,t2 即 I t1 ,t2 = A(t2)--A(t1)
结论1.6~1.8：
i (m) m 1 i (1 ) m
d ( p) p 1 d (1 ) p
i ( m) m d ( p) p (1 ) (1 ) m p
1.1 利率基本函数
例1.2 现有以下两种5年期投资方式： A:年利率7%，每半年计息一次； B:年利率7.05%，每年计息一次。请确定投资选择。 解法一：比较等价的年实利率。 iB 7.05% iA 7.1225 %
3
4.55%
4
4.35%
5
4.17%
6
4%
in
结论： 单利方式下实利率是逐年下降的。
1.1 利率基本函数

定义1.5 若t时刻1个货币单位在0时刻的 1 1 a 价值记为 a (t ) ，则当t变动时， (t ) 称为 贴现函数。 单利下有： a 1 (t ) (1 it ) 1 复利下有： a 1 (t ) (1 i)t
现金流（现值）

计算公式
n 1 v n i 1 v v 2 ... v n1 a d
2.1 基本年金

现金流（终值）

n ( 1 i ) 1 计算公式 s n i (1 i) (1 i) 2 ... (1 i) n d
2.1 基本年金源自1.1 利率基本函数

例1.1 设年利率为5%,比较单利与复利的异同。 解：单利方式下有： a(t ) 1 0.05t , t 0 复利方式下有： a(t ) (1 0.05)t , t 0
t/年 0.1 0.3 1.015 1.0147 2 1.100 1.1025 0.5 1.025 1.0247 3 1.150 1.1576 0.7 1.035 1.0347 4 1.200 1.2155 0.9 1.045 1.0449 5 1.250 1.2763 a(t)单利 1.005 a(t)复利 1.0049 t/年 1
1.1 利率基本函数

定义1.6 计息期 [t1 , t2 ] 内的利息收入与期末货币 量的比值称为在时间 [t1, t2 ] 区间内的贴现率，记为 dt ,t ，即： A(t2 ) A(t1 ) I t ,t d t ,t A(t2 ) A(t2 ) 一般地，有：
1 2
1 2 1 2
第二章 年金



年金：以相等的时间间隔进行的一系列收付款行 为，是持续按期收付的定额款项。 应用： 养老金分期付款、按揭贷款、固定收益投 资和定期固定收入回报等。 确定年金：无条件确定发生的年金 未定年金：年金的发生是有条件的、不确定的。
2.1 基本年金

2.1.1 期末年金 定义2.1 若年金的现金流在第一个付款期末首次发 生，随后依次分期进行，则为期末年金。 定义2.2 若每次年金金额为1个货币单位，现金流 在第一个付款期末首次发生，共n期，则称为n期标 准期末年金。
例2.8 现有年利率i付款r次的年金，首次付款为第7 年底且金额为1元，然后，每三年付款一次且金额1 元，分别用期末和期初年金的形式表示这个年金的 现值。 7 3r 7 v v 7 10 7 3( r 1) v v ... v 解答：年金现值为 1 v3 a3r 7 i a7 i a 3r 7 i a 7 i a3 i a3 i
（利息的发生过程未予考虑）
2.1 基本年金


2.1.2 期初年金
定义2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立即产 生，随后依次分期进行，这种年金称为期初年金 定义2.4 若每次年金金额为1货币单位，在合同生效 时立即产生首次现金流，共计n次，则称这种年金 为n期标准期初年金

2.1 基本年金

0.07 20 0.07
2.2 广义年金


定义 付款周期和利息换算周期不同的年金， 我们称之为广义年金。 计算步骤1：将名利率调整到付款周期内的 实际利率。
i ( m) m i ( p) p (1 ) (1 ) m p 计算步骤2：用上式的实际利率按年金的现 金流计算现值。

2.2 广义年金
a(t)单利 1.050 a(t)复利 1.0500
1.1 利率基本函数

例1.1续. 比较两种方式下的利率水平。复利方式下的实利率 均为5%，而单利率方式下各年的实利率水平为：
i 5% in , n 1,2,... 1 i(n 1) 1 5%(n 1)
n 1
5%
2
4.76%
所以：
i ( 4) 4 j 0.0791
1.2 利率基本计算
利率计算 代数方法 例1.6 已知两年后的2000元和四年后的3000元的 现值之和为4000元，计算年利率。 解题：设年利率为i, 则价值方程为

4000 2000 v 2 3000 v4
解得 所以
v 0.868517
In A(n) A(n 1) dn A(n) A(n)
1.1 利率基本函数


实利率与贴现率比较 假设张三到一家银行以年实际利率6%向银行借100 元，为期1年。银行将付给张三100元，1年后，张三 将还给银行贷款本金100元，加6元利息，共106元。 如果是以贴现率6%向银行贷款，为期1年，则银行预 收6%（6元）的利息，仅付给张三94元。1年后，张 三还银行100元。 可见：实际利率是对期末支付的度量，而贴现率是对 期初支付利息的度量。

1.2 利率基本计算
利率的计算 价值方程的变换 例1.5 以什么样的季换算名利率，可以使得当 前的1000元在6年后的本利和为1600元？ ( 4) j i / 4 ，则价值方程为 解题：令

1000 (1 j)24 1600 j (1.6)1/ 24 1 0.019776
In A(n) A(n 1) in A(n 1) A(n 1)
1.1 利率基本函数

结论1.1 某个计息期内的利率为单位本金在该计 息期内产生的利息与期初资本量的比值，即 a(t2 ) a(t1 ) it1 ,t2 a(t1 )
结论1.2 在单利方式下有：a(t ) a it 结论1.3 在复利方式下有：a(t ) (1 i)t

2.2.1 付款周期为利息换算周期整数倍的年金 定义几号如下： k:每个付款周期内的利息换算次数； n:年金的付款总次数×k i:每个利息换算期内的实利率（名利率÷换算次数）
期末年金 现值 终值 期初年金
an i / sk i
an i / ak i
sn i / sk i
sn i / ak i
2.2 广义年金