重力场的基本知识
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ω为地球的自转角速度；
r为A点到地球自转轴的垂直距离。
为了简单化，常把单位质量所受到的重 力——重力场表示为重力，其中
F
G
M ρ2
C ω2r
2
当物体仅受到重力作用时，就会自由下落， 下落的加速度就称为重力加速度g ，即
P=mg
m为物体的质量，P也就是人们常说的物体 的重量。
为方便比较重力场中各点重力值的大小，
大地水准面与参考椭球面差异不是均匀分 布的，最大的差异可达 117 m，它与地球表 面地形以及地下物质分布有关。
由于大多数地区大地水准面与参考椭球面 差异不大，因此在很多情况下，可将两者 视为相同，这时，天文纬度近似等于地理 纬度。
高程异常图
1971年第15届国际大地测量和地球物理协会 决定采用有关地球形状的参数是：赤道半
总是采用单位质量在重力场中所受的重力 大小来度量，这即是场论中的重力场强度。
P／m=g
该式表明：重力场强度与重力加速度无论在数值 上还是单位的量纲上都是相同的。
通常所说的重力，实际上是指单位质量所受的力， 在数值上等于重力加速度。
3、重力单位
衡量重力大小的单位有两个系统，一个是高斯制 （CGSM)，另一个是国际制（SI）。
当不考虑其它天体对地球的作用时，重力g 的形成是由两部分组成：
即整个地球质量对地表物体产生的引力 F 和因地球自转而产生的惯性离心力C的 矢 量和。
g FC
由牛顿万有引力定律，所有物体所受的万 有引力为：
F G Mm
2
物体所受惯性离心力
C mω2r
其中G为万有引力常数，根据实验，其数值 近似为6.67×10-11 m3 /(kg·s 2 ）。
迅速发展与研究，又使用毫伽的千分之一 作单位，称为“微伽” 。它们与法定计量 单位制中的m／s2（米／秒2）有如下换算关 系：
1Gal＝1cm／ s2
1mGal＝10-5 m／ s2
1μGal＝10-8 m／ s2
规定 1m／ s2的10-6 为国际通用重力单位 （grative unit），简写称g.u.,即
5、重力测量的基本原理
从原则上说，凡是与重力有关的物理现象， 如物体的自由降落、摆的摆动、弹簧在重 物作用下的伸长等，都可以用来测量重力 值，把它们归结起来可以分两个方面，即 重力绝对值的测定和重力相对值的测定。
重力勘探所采用的是相对值的测定。
在相对重力测量中，为了获得某一点的重 力值，必须有一个点的绝对重力值是已知 的，作为相对测量的起始点。
世界上公认的起始点位于德国波茨坦，称 为波茨坦重力基点。（1906年）
其重力值为
g=9812742.0±30g.u.
各国都以这一点为原点，用相对测量的方 法，测出各国的重力基点的绝对重力值。
其重力相对测量基本原理如下:
如图所示，它是一个由弹簧悬挂着一个重 荷 m 的弹簧秤，当重力有变化时，重荷将 发生相应的位移，其位移的大小正比于重 力大小。
1m／ s2 ＝106 g.u.
1Gal = 104 g.u.
1mGal＝ 10 g.u.
目前，最好的重力仪测量精度可达到微伽 级。
4
重力加速度并不是一个恒量，在空间上和 时间上都存在着一定的变化，只是这种变 化相对重力全值(约9.8m/s2)来说太小了， 因而需要专门设计的仪器—重力仪才能可 靠地测量出这些变化来。
该面又处处与重力方向垂直，测量学上又 称作水准面，因为此时水不会流动而静止 下来。
由于 积分常数有无数多个，因而重力等位 面也有无数多个。
等位面是一个曲面，任意一个等位面上重 力位处处相等，但重力不一定相等，而重 力处处与等位面垂直，即为其内法线方向。
任何平静的水面为一个等位面。
（二）参考椭球面与大地水准面
从以上讨论可知，地球表面正常重力场的 基本特征是：
(1)正常重力是人们根据需要而提出来的， 不同的计算公式对应不同参数的地球模型， 反映的是理想化条件下地球表面重力变化 的基本规律，所以它不是客观存在的；
(2)正常重力值只与纬度有关，在赤道上最 小，两极处最大，相差约50000g.u.；
(3)正常重力值随纬度变化的变化率，在纬 度45°处达到最大，而在赤道和两极处为
a=6378.136 km
Equatorial Radius (a) = 6378.136 km
c=6356.751 km
Polar Radius (c) = 6356.751 km 地球扁 α＝a－c／a=1／298.25
Polar flattening α = (a-c)/a = 1/298.257
当弹簧秤位于测点A时，则根据虎克定律有 如下的关系：
mg A lA l0
式中 m－重荷的质量; τ－弹簧的弹性系数; lA－ 弹簧在重荷作用下的长度; l0－弹簧不受重荷作用时的原始长度。
当弹簧秤移到B点时，得到
mg B lB l0
以上两式相减后有
mgAB mgA gB lA lB l
由于地球内部物质存在不均匀，地球表面 也不光滑，准确地计算地球的引力是不可 能的。若把地球内部物质分布和表面形状 理想化，即假设
1）地球是一个两极压扁的旋转椭球体且表 面光滑；
2）地球内部物质密度均匀，或呈层状均匀 （层面共焦点，层内均匀）；
3）地球是一个刚性球体，内部各质点位置 不变；
4）地球的质量、自转角速度不变。
固体地球形变而造成地表同一点出现重力 随时间的微小变化， 就称为重力固体潮， 其变化幅度约2－3g.u.，因而在高精度重力 测量中必须考虑这一因素的影响。
重力勘查无论是研究构造还是寻找各种矿 产资源以及近年来在水、工、环中的应用 与研究， 都是利用地下物质密度分布不均
匀这一点所引起的重力微小变化来达到其 目的，因而其它因素的影响就被当作干扰 而要引入相应的校正予以消除。
1
1
8
2
1
4
α为地球几何扁度。 从 和 个β上 方1，式程似可便乎以可有看解三出 得个， 。不其同中纬有度三的个实未测知值数建ge立、三β
但实际上，由于地球表面海陆分布和地形 等巨大差异，要能获得最有代表性的gp和ge， 需要覆盖全球表面上尽可能多的实测重力 值，经 最小二乘处理，最后才能求取较合 理的ge、β和β1。
在以上假设下，利用实际观测结果，可以 导出一个近似公式，称为参考椭球面（大 地水准面）上正常重力公式，即
g0 () ge (1 sin 2 1sin 2 2)
式中g0(φ)为正常重力值，其随纬度φ变化；
ge ，gp 分别称为赤道处和两极处重力平均
值；β称为地球重力扁度[ (gp – ge) / ge] ；
若把地球近似当作一个正球体时，其平 均半径:
R=6371 km
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三、正常重力与重力异常
（一） 正常重力的概念
现在人类居住的地球，其表面形状十分复 杂，地壳内的密度分布又很不均匀，既然 我们需要的仅仅是密度分布不均匀产生的 重力的变化，很自然地就会提出：假如地 球是一个形状规则且内部密度均匀情况下 地表各处的重力分布是什么样子这一问题 了，这就提出了“正常重力” 这一概念。
g AB
m
l
Cl
上式中C是仪器常数，它与弹簧的性能、重 荷的质量有关。
它表示重荷移动单位长度时相应的重力值 的变化，称之为重力仪的格值。
测定格值的方法是借已知重力变化Δg来观 测重荷移动后弹簧长度的相应变化ΔZ，从 而求得格值。
C g l
由此可见，已知格值就可以通过测量Δ Z来 确定任意测点间的重力Δ g。
在漫长的地球演化史中，长期的地质构造 运动与岩浆活动等，造成自地表直至上地 幔内物质密度分布的不均匀。
第五，太阳与月球的引力
从时间上来说，由于太阳、月亮与地球之 间的相对位置存在一定周期的变化，造成 海洋潮汐及固体地球的弹性形变等一系列 地球物理现象。
这种由于太 阳、月亮对地球引力的变化使
1、大地水准面 我们将其中一个与平均的海洋面(在陆地上
是它的顺势延伸而构成封闭的曲面）重合 的那个重力等位面称为大地水准面。
大地水准面是海拔高程的起算面。
在重力测量学和大地测量学中，都是以该 面作为地球的基本形状来研究的。
2、参考椭球面
由于地球是一个两极压扁的椭球体，斯托 克斯在理论上证明了如果地球表面重力已 知，可以推导出地球表面理论公式，即与 地球表面最接近的重力等位面方程——参 考椭球面。
二、大地水准面与地球形状
（一）重力位与重力等位面 1、 重力位 重力位是一个标量函数，可由重力各分量
沿着力的方向积分得到，即
W G dm 1 2r 2 V (x, y, z) U (x, y, z)
V 2 其中V称引力位，U称离心力位。函数W就
叫作重力位。
在一般情况下，第一项所表示的引力位， 它占总重力位的绝大部分，而第二项所表 示的离心力位，计算表明，它仅是第一项 引力位的 1／300。
根据参考椭球面，可以建立经纬度系统， 以致地球上任何一点的位置可以用经纬度 来描述。
经度线：过地轴的平面与参考椭球面之交 线。
纬度线：垂直地轴的平面与参考椭球面之 交线。
纬度的不同定义：
地理纬度： 地面任意一点上参考椭球面法 线与赤道面之夹角。
地心纬度： 地面任意一点与地心连线与赤 道面之夹角。
它沿某个方向求偏导数就恰好等于重力在 该方向上的分量，这是重力位的一个重要 性质，它的引入使我们的计算也大为方便。
2、重力等位面 下面我们来看两种特殊情况下引出的结论。
当沿垂直重力g的方向l求偏导数时，显然应 为：
W 0 l
W(x,y,z)=C(常数)
上式代表了空间的一个曲面，该面上重力 位处处相等，故叫作重力等位面。
重力场的基本知识
重力，即地球引力，它是物质万有引力的 一种体现。
重力方法是一种重要地球物理方法，主要 用来直接计算和确定地球内部的密度分布， 同时对地球形状 的确定具有重要意义。
一、地球重力场的基本特征
1、重力 一切物体都有重量，重量是物体受重力作
用的结果，这是人们最为熟悉的一种物理 现象。 重力场：存在重力作用的空间称为重力场。 地球重力场：地球内部(地心处除外)、表面 及附近空间存在重力作用的范围称为地球 重力场。
历史上使用的是C.G.S.制，它是为了纪念第一个 测定重力加速度值的意大利著名物理学家伽利略 (G.Galieo)，取1cm/s2作为重力的一个单位，称作 “伽”(Gal)。
实用中是取它的 千分之一即“毫伽”作常 用单位。
近二十年来随着高精度重力测量，特别是 在水文、工程、 环境勘查中微重力测量的
卡西尼1930公式：
g0 9.780490 (1 0.0052884 sin2 0.0000059 sin2 2 ) m/s 2
1979年国际地球物理和大地测量联合会颁布 的公式：
g0 9.780327 (1 0.0053024 sin 2 0.000005 sin2 2 ) m/s 2
天文纬度： 地面任意一点上铅垂线（大地 水准面法线）与赤道面之夹角。
3、垂线偏差与高程异常
大地水准面与参考椭球面并不完全重合， 反映在法线方向上的差异称为垂线偏差， 反映在垂向距离的差异称为高程异常。
现在对人造卫星观测资料的研究，可以获 得更为精确的大地水准面形状。
下图是夸大了它与参考椭球体的差异而绘 制的，在南极要凹进去约30m，而北极附近 则凸出10m，中纬度地区偏差7.5m，是 一 个不规则的形状复杂的曲面。
也因科技的不断进步而对地球形状的认识 不断有所修正，因而α的选取极具时代的烙 印。
鉴于上述原因，正常重力公式先后有数十 个之多，它们共同点是理论与实践的综合 成果， 彼此间存在一定的差异。
赫尔默特1919公式：
g0 9.780520 (1 0.005285 sin2 0.000007 sin2 2 ) m/s 2
就空间而言，造成重力变化的原因有：
第一，地球的形状——扁椭球体引力
地球本身并不是一个正圆球体 ，而是一个 近于两极压扁的扁球体，因而地心到地表 的距离并不处处一样；
第二，地球自转——惯性离心力
地球在不停地绕自转轴旋转，因而不同纬 度处的回转半径也不同；
第三，地球表面起伏不平，形态复杂；第 四，地球内部物质密度分布不均匀；
r为A点到地球自转轴的垂直距离。
为了简单化，常把单位质量所受到的重 力——重力场表示为重力，其中
F
G
M ρ2
C ω2r
2
当物体仅受到重力作用时，就会自由下落， 下落的加速度就称为重力加速度g ，即
P=mg
m为物体的质量，P也就是人们常说的物体 的重量。
为方便比较重力场中各点重力值的大小，
大地水准面与参考椭球面差异不是均匀分 布的，最大的差异可达 117 m，它与地球表 面地形以及地下物质分布有关。
由于大多数地区大地水准面与参考椭球面 差异不大，因此在很多情况下，可将两者 视为相同，这时，天文纬度近似等于地理 纬度。
高程异常图
1971年第15届国际大地测量和地球物理协会 决定采用有关地球形状的参数是：赤道半
总是采用单位质量在重力场中所受的重力 大小来度量，这即是场论中的重力场强度。
P／m=g
该式表明：重力场强度与重力加速度无论在数值 上还是单位的量纲上都是相同的。
通常所说的重力，实际上是指单位质量所受的力， 在数值上等于重力加速度。
3、重力单位
衡量重力大小的单位有两个系统，一个是高斯制 （CGSM)，另一个是国际制（SI）。
当不考虑其它天体对地球的作用时，重力g 的形成是由两部分组成：
即整个地球质量对地表物体产生的引力 F 和因地球自转而产生的惯性离心力C的 矢 量和。
g FC
由牛顿万有引力定律，所有物体所受的万 有引力为：
F G Mm
2
物体所受惯性离心力
C mω2r
其中G为万有引力常数，根据实验，其数值 近似为6.67×10-11 m3 /(kg·s 2 ）。
迅速发展与研究，又使用毫伽的千分之一 作单位，称为“微伽” 。它们与法定计量 单位制中的m／s2（米／秒2）有如下换算关 系：
1Gal＝1cm／ s2
1mGal＝10-5 m／ s2
1μGal＝10-8 m／ s2
规定 1m／ s2的10-6 为国际通用重力单位 （grative unit），简写称g.u.,即
5、重力测量的基本原理
从原则上说，凡是与重力有关的物理现象， 如物体的自由降落、摆的摆动、弹簧在重 物作用下的伸长等，都可以用来测量重力 值，把它们归结起来可以分两个方面，即 重力绝对值的测定和重力相对值的测定。
重力勘探所采用的是相对值的测定。
在相对重力测量中，为了获得某一点的重 力值，必须有一个点的绝对重力值是已知 的，作为相对测量的起始点。
世界上公认的起始点位于德国波茨坦，称 为波茨坦重力基点。（1906年）
其重力值为
g=9812742.0±30g.u.
各国都以这一点为原点，用相对测量的方 法，测出各国的重力基点的绝对重力值。
其重力相对测量基本原理如下:
如图所示，它是一个由弹簧悬挂着一个重 荷 m 的弹簧秤，当重力有变化时，重荷将 发生相应的位移，其位移的大小正比于重 力大小。
1m／ s2 ＝106 g.u.
1Gal = 104 g.u.
1mGal＝ 10 g.u.
目前，最好的重力仪测量精度可达到微伽 级。
4
重力加速度并不是一个恒量，在空间上和 时间上都存在着一定的变化，只是这种变 化相对重力全值(约9.8m/s2)来说太小了， 因而需要专门设计的仪器—重力仪才能可 靠地测量出这些变化来。
该面又处处与重力方向垂直，测量学上又 称作水准面，因为此时水不会流动而静止 下来。
由于 积分常数有无数多个，因而重力等位 面也有无数多个。
等位面是一个曲面，任意一个等位面上重 力位处处相等，但重力不一定相等，而重 力处处与等位面垂直，即为其内法线方向。
任何平静的水面为一个等位面。
（二）参考椭球面与大地水准面
从以上讨论可知，地球表面正常重力场的 基本特征是：
(1)正常重力是人们根据需要而提出来的， 不同的计算公式对应不同参数的地球模型， 反映的是理想化条件下地球表面重力变化 的基本规律，所以它不是客观存在的；
(2)正常重力值只与纬度有关，在赤道上最 小，两极处最大，相差约50000g.u.；
(3)正常重力值随纬度变化的变化率，在纬 度45°处达到最大，而在赤道和两极处为
a=6378.136 km
Equatorial Radius (a) = 6378.136 km
c=6356.751 km
Polar Radius (c) = 6356.751 km 地球扁 α＝a－c／a=1／298.25
Polar flattening α = (a-c)/a = 1/298.257
当弹簧秤位于测点A时，则根据虎克定律有 如下的关系：
mg A lA l0
式中 m－重荷的质量; τ－弹簧的弹性系数; lA－ 弹簧在重荷作用下的长度; l0－弹簧不受重荷作用时的原始长度。
当弹簧秤移到B点时，得到
mg B lB l0
以上两式相减后有
mgAB mgA gB lA lB l
由于地球内部物质存在不均匀，地球表面 也不光滑，准确地计算地球的引力是不可 能的。若把地球内部物质分布和表面形状 理想化，即假设
1）地球是一个两极压扁的旋转椭球体且表 面光滑；
2）地球内部物质密度均匀，或呈层状均匀 （层面共焦点，层内均匀）；
3）地球是一个刚性球体，内部各质点位置 不变；
4）地球的质量、自转角速度不变。
固体地球形变而造成地表同一点出现重力 随时间的微小变化， 就称为重力固体潮， 其变化幅度约2－3g.u.，因而在高精度重力 测量中必须考虑这一因素的影响。
重力勘查无论是研究构造还是寻找各种矿 产资源以及近年来在水、工、环中的应用 与研究， 都是利用地下物质密度分布不均
匀这一点所引起的重力微小变化来达到其 目的，因而其它因素的影响就被当作干扰 而要引入相应的校正予以消除。
1
1
8
2
1
4
α为地球几何扁度。 从 和 个β上 方1，式程似可便乎以可有看解三出 得个， 。不其同中纬有度三的个实未测知值数建ge立、三β
但实际上，由于地球表面海陆分布和地形 等巨大差异，要能获得最有代表性的gp和ge， 需要覆盖全球表面上尽可能多的实测重力 值，经 最小二乘处理，最后才能求取较合 理的ge、β和β1。
在以上假设下，利用实际观测结果，可以 导出一个近似公式，称为参考椭球面（大 地水准面）上正常重力公式，即
g0 () ge (1 sin 2 1sin 2 2)
式中g0(φ)为正常重力值，其随纬度φ变化；
ge ，gp 分别称为赤道处和两极处重力平均
值；β称为地球重力扁度[ (gp – ge) / ge] ；
若把地球近似当作一个正球体时，其平 均半径:
R=6371 km
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三、正常重力与重力异常
（一） 正常重力的概念
现在人类居住的地球，其表面形状十分复 杂，地壳内的密度分布又很不均匀，既然 我们需要的仅仅是密度分布不均匀产生的 重力的变化，很自然地就会提出：假如地 球是一个形状规则且内部密度均匀情况下 地表各处的重力分布是什么样子这一问题 了，这就提出了“正常重力” 这一概念。
g AB
m
l
Cl
上式中C是仪器常数，它与弹簧的性能、重 荷的质量有关。
它表示重荷移动单位长度时相应的重力值 的变化，称之为重力仪的格值。
测定格值的方法是借已知重力变化Δg来观 测重荷移动后弹簧长度的相应变化ΔZ，从 而求得格值。
C g l
由此可见，已知格值就可以通过测量Δ Z来 确定任意测点间的重力Δ g。
在漫长的地球演化史中，长期的地质构造 运动与岩浆活动等，造成自地表直至上地 幔内物质密度分布的不均匀。
第五，太阳与月球的引力
从时间上来说，由于太阳、月亮与地球之 间的相对位置存在一定周期的变化，造成 海洋潮汐及固体地球的弹性形变等一系列 地球物理现象。
这种由于太 阳、月亮对地球引力的变化使
1、大地水准面 我们将其中一个与平均的海洋面(在陆地上
是它的顺势延伸而构成封闭的曲面）重合 的那个重力等位面称为大地水准面。
大地水准面是海拔高程的起算面。
在重力测量学和大地测量学中，都是以该 面作为地球的基本形状来研究的。
2、参考椭球面
由于地球是一个两极压扁的椭球体，斯托 克斯在理论上证明了如果地球表面重力已 知，可以推导出地球表面理论公式，即与 地球表面最接近的重力等位面方程——参 考椭球面。
二、大地水准面与地球形状
（一）重力位与重力等位面 1、 重力位 重力位是一个标量函数，可由重力各分量
沿着力的方向积分得到，即
W G dm 1 2r 2 V (x, y, z) U (x, y, z)
V 2 其中V称引力位，U称离心力位。函数W就
叫作重力位。
在一般情况下，第一项所表示的引力位， 它占总重力位的绝大部分，而第二项所表 示的离心力位，计算表明，它仅是第一项 引力位的 1／300。
根据参考椭球面，可以建立经纬度系统， 以致地球上任何一点的位置可以用经纬度 来描述。
经度线：过地轴的平面与参考椭球面之交 线。
纬度线：垂直地轴的平面与参考椭球面之 交线。
纬度的不同定义：
地理纬度： 地面任意一点上参考椭球面法 线与赤道面之夹角。
地心纬度： 地面任意一点与地心连线与赤 道面之夹角。
它沿某个方向求偏导数就恰好等于重力在 该方向上的分量，这是重力位的一个重要 性质，它的引入使我们的计算也大为方便。
2、重力等位面 下面我们来看两种特殊情况下引出的结论。
当沿垂直重力g的方向l求偏导数时，显然应 为：
W 0 l
W(x,y,z)=C(常数)
上式代表了空间的一个曲面，该面上重力 位处处相等，故叫作重力等位面。
重力场的基本知识
重力，即地球引力，它是物质万有引力的 一种体现。
重力方法是一种重要地球物理方法，主要 用来直接计算和确定地球内部的密度分布， 同时对地球形状 的确定具有重要意义。
一、地球重力场的基本特征
1、重力 一切物体都有重量，重量是物体受重力作
用的结果，这是人们最为熟悉的一种物理 现象。 重力场：存在重力作用的空间称为重力场。 地球重力场：地球内部(地心处除外)、表面 及附近空间存在重力作用的范围称为地球 重力场。
历史上使用的是C.G.S.制，它是为了纪念第一个 测定重力加速度值的意大利著名物理学家伽利略 (G.Galieo)，取1cm/s2作为重力的一个单位，称作 “伽”(Gal)。
实用中是取它的 千分之一即“毫伽”作常 用单位。
近二十年来随着高精度重力测量，特别是 在水文、工程、 环境勘查中微重力测量的
卡西尼1930公式：
g0 9.780490 (1 0.0052884 sin2 0.0000059 sin2 2 ) m/s 2
1979年国际地球物理和大地测量联合会颁布 的公式：
g0 9.780327 (1 0.0053024 sin 2 0.000005 sin2 2 ) m/s 2
天文纬度： 地面任意一点上铅垂线（大地 水准面法线）与赤道面之夹角。
3、垂线偏差与高程异常
大地水准面与参考椭球面并不完全重合， 反映在法线方向上的差异称为垂线偏差， 反映在垂向距离的差异称为高程异常。
现在对人造卫星观测资料的研究，可以获 得更为精确的大地水准面形状。
下图是夸大了它与参考椭球体的差异而绘 制的，在南极要凹进去约30m，而北极附近 则凸出10m，中纬度地区偏差7.5m，是 一 个不规则的形状复杂的曲面。
也因科技的不断进步而对地球形状的认识 不断有所修正，因而α的选取极具时代的烙 印。
鉴于上述原因，正常重力公式先后有数十 个之多，它们共同点是理论与实践的综合 成果， 彼此间存在一定的差异。
赫尔默特1919公式：
g0 9.780520 (1 0.005285 sin2 0.000007 sin2 2 ) m/s 2
就空间而言，造成重力变化的原因有：
第一，地球的形状——扁椭球体引力
地球本身并不是一个正圆球体 ，而是一个 近于两极压扁的扁球体，因而地心到地表 的距离并不处处一样；
第二，地球自转——惯性离心力
地球在不停地绕自转轴旋转，因而不同纬 度处的回转半径也不同；
第三，地球表面起伏不平，形态复杂；第 四，地球内部物质密度分布不均匀；