圆环面上测地线的稳定性 - 浙江大学数学科学学院

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图;
P 对 于测地线的一般情形 C设给定初值 9 设6 O #9 C不失一般性 1 TO O T C先讨论测 9 . #6 6 & 地线倾角 9 的变化 C 由 D 公式有 ! E F G = F H I + , 9 # ’ () * / + , 9 6 1 () * + , .
( H 线是首选的曲线 G 测地线 A我们指出加工型面上的测地线在缠绕时也存在不稳定性 A其次 %
可能产生搭桥现象 % 这又是另一类的测地线不稳定性 A 下面先讨论圆环面上的测地线 % 再讨 论它们的稳定性 A
E" 圆环面上测地线的性态
设圆环面方程
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IK L ’ MN O P Q : R ) P Q : S % ’ MN O P Q : R ) : 7 8 S % O : 7 8 R T ’ #U O UM ) 0
高 校应 用数学学报 !辑 " # # $ % $ & ’ ( ) * ( + $ ,( + -
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圆环面上测地线的稳定性
吴明华 % 梁友栋 % 余奕岳
浙江大学 数学系 % 浙江杭州 ? ’ $ # # " @ ) 摘 要* 通 过 讨 论 圆 环 面 上 的 测 地 线% 研究在纤维缠绕时测地线的稳定性问
E L E
高 校 应 用 数 学 学 报 M辑
第# N卷第 E期
情形 " 情形 # 的测地线全是不稳定的 %即使赤道大圆在 $ 两端点拉紧时 & 也易于打滑 % 所以圆环面上此类测地线 完全不适宜于纤维缠绕 % 测地线的第二类不稳定性源于缠绕曲线在曲面的 双 曲 点 和 抛 物 点 区 域 时& 当 纤 维 拉 紧 时& 可以致使纤维 架空搭桥而脱离曲面 & 即使是测地线也是如此 % 测地线 的单位主法向量 ’与曲面的单位法向量 ) 在不同区间 & 段可以同向或异向 %即 ) 或 -, 时& 当两端点有拉力时 & 就产生架空搭桥现象 & 这在 *’+, " $ 缠绕中也是不允许的 % 我们还是来考察圆环面上第二种情形 " 情形 . 的测地线 % 圆环面的第 $ 二基本形式 /
. . ! . 的 第二基本形式 / 取 01, 即得 " 解出 & 只要 初 CG$ 0156 & 5: & 7 8 9 CG3 =5< 3 9> H 1, ( (
题A 按传统观点 % 测地线在曲面上是最稳定的 % 其意为一条弹性柔软的细线 % 在给定 曲面上拉紧时 % 其形状应是测地线 % 且不会使曲线变形 A 上述提法仅在局部邻域中 成立 A 从整体角度分析 % 当拉紧弹性柔软细线时 % 将有两类不稳定测地线 A 第一类 不稳定产生于过两点可以有多条测地线 % 另一类是缠绕的测地线位于曲面的凹侧 % 此时就会产生搭桥现象 A 这两类不稳定性在纤维缠绕中有着现实的意义 % 文章将对 圆环面的测地线进行具体讨论 A 关键词 * 圆环面 B 测地线 B 稳定性 B 纤维缠绕 中图分类号 *C$ + & 文献标识码 * ! 文章编号 * $ # # # D ( ( " ( ’ " # # $ ) # ( D # ( + $ D # -
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0当 时 <% 0 + ) 当) 时= - ) ;) *7 * *; ) 1 + * *+ * 4 4 考虑倾角 ) 随角 .变化 = 由式 3 解出 4 8 9 6 ) 3 . 6/ > ? && ’ ( 2 & ’ ( .A @ "# $ 3 "# $ 6 & ’ ( ) *
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收稿日期 * " # # $ D # " D " $ 基金项目 * 国家自然科学基金 ’ & # # @ ? # " ? )
万方数据
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高 校 应 用 数 学 学 报 _辑
第; V卷第 B期
& & & & & 其第一基本形式为 ! "#$ #’ )* / % ( + , . $ 0)*$ .1
. CG CG5 H 3 9 1F & 3 = < H ( ( (
@ 不甚大 与式 " 比 较 知& 初始角 I ! D . $ ? 1I & ? ? - & I 9 1, , , . 时& 测地线方向满足式" 即) 此时的纤维 ! D . $ & & ’同 向 & 缠绕即使是缠在圆环面上也要发生搭桥现象 %只有当 I , 适当大时 & 满足式 " 才保证缠绕正常进行 % ! D ! $ 下 面我们导出当初始缠绕角 I 缠绕测地线不发生搭桥现象 %由圆环面 ? 1I 9 1, , 多大时 %
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34 # () * + , .5 6 17# 6 1 38 # * 2 记9 为曲线正向与 0 曲线正向的交角 图 则有 : ’ ; / 1 0 + , 9 @$ # 1 $ % 34 ? $ . = > 9 # 1 % * A $ K L 其中 % 是曲线的弧长 C 在圆环面上的测地线有 D 公式 J ! E F G = F H I 34+ , 9 #M 1 其中 M为常数 C 现用 D 公式讨论测地线 1 记初始缠绕角为 9 两种 1 E F G = F H I 6 外大圆及纬圆 1 它们对应于 9 平凡测地线是内 N #9 #6或 O . #6 6 由D 公式有 ! 1 O #9 #6或 P 1 ’ )* / #Q P 9 E F G = F H I ( + , . + , 9 . #P 6 为使此式成 立 仅当 及 或 时 为 外 大 圆S ’ Q* / 2 1 R 6 R 6 ( . 9 P P 有 或仅当 . 当9 34 RP及 9 R6或 P时为内大圆 C #Q 时 1 6 & $ 0 P 因 345 6 故 只有 9 有! 1 RQ C再由式’ & 2 < / # #6 1 + , 9 $ % & + , 9 即0 此测地线为 . 曲线 C R 常数 1 : R6 1 34
D . 2 H E( F G )
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KL 圆环面上测地线的稳定性
现讨论测地线的稳定性问题 在纤维缠绕加工过程中 缠绕机的吐丝嘴与工件型值点间 的纤维是强力拉紧的 = 在局部 在两端拉紧的软线是测地线 = 在纤维可缠绕的背景下 测地 线有两类不可缠绕的情况 也就是测地线有两类不稳定情况 I 第一类测地线的不稳定性是随着在型面上缠绕的 最终缠出 的型线 不 是 测地 线 = 从 型 值点的 变化而 改变 整 体观点 看 过 曲面 两点可能有 多条测 地 线 相连 = 如 圆 柱面上直母线 上两点 可用该 直母线 相连 也可 以 用 不同 螺旋升角的螺旋线相连 =在圆环面上任两点可用初始倾 角) 如图 4 有 =在整体微分几何中 * 决定的测地线相连 多条测地线相连两固定点 =M’ 在连 P N O Q F G ’ R 定理表明 I
. . . 0 1 )2 3 415 6 7 8 9 " :; < 6 7 8 9 $ 3 = 5< 3 9 > ( . ( ( ( ( ( (
图!
" ! > 源自文库 $
( ( @ 任一曲线有 ( 34 曲 面上处于 ? 即) 而曲线段处于 @-? ? - 时& * .-, & & ? -@时 & 9 ) ’异向 % 9 . . 3 A ( ( ( ( 0 即) 得 & *’1 +, & ) ’同向 & B
E$ 引
言
树脂基复合材料有质轻 F 高强度 F 阻燃 F 耐腐蚀诸优点 % 在航天 F 化工 F 环保等领域有广泛
$ ,? H 应用 A 树脂基纤维计算机辅助缠绕成型是其重要的加工工艺 G 在纤维缠绕时要求缠绕的 A
型线在被加工工件表面上应当分布均匀 F 无空隙 F 稳定和无搭桥 A 为保证缠绕时不打滑 % 测地
3 4 2 B 6
显 然是 .的 以 4 结合对称性 ) 得到 ) 3 6 3 %. 6 /) 3 #. 6 3 6 / ) . 0为 周 期 的 周 期 函 数 0 0 . 即 是 的偶函数 = 3 6 . 3 4 %. 6 /) 3 %. 6 - ) . ) 0 考虑角 C 随角 .变化 2 由
若测地线 在参数 ’ 处 的 切 方向 平 行 于 0 曲线1 则此 测地线 只能在 区 域 O 1 : O 0 . . \/
吴明华等 I 圆环面上测地线的稳定性 #$ 情形 ! 当 " 时则测地线在 . 即 & ’ ( ) /0处有倾角 ) * +, 1" %$ "# $ & ’ ( ) & ’ ( ) 2 1 / * "% $ 当& 的极大值 8再由式 3 分别有 7*时 4 8 9 6 4 8 : 6 ’ ( ) & ’ ( ) * 1 为式 3 *+ ) ;) 1 ; ) *+
)* 情形 Z 当 ( 时1 存在角 . 使9 + , 9 [P 1 / 1 O #6或 P C 这只需由式 ( P 6 W; \ ]’ . #. \ ( [* )* )* / + , . ( + , 9 \ #Q’ 6 解出即得如下定理 C 定理 证 内C XO . \O 由D 公式 ! ’ )* / #’ )* 2 E F G = F H I ( + , . + , 9 ( + , . + , 9 \/ \ #M 当9 时1 有M 故6 即! 所以 O 56 1 T+ T; 2 )* W( )* O XO C , 9 ( + , . + , . . . \ #6 \ \O 当 9 时1 即测地线切方向与 0 曲 线 反 向C 有 M 故[; 同样得 ( : T6 1 T+ T6 1 ) , 9 \ #P 证毕 C W( )* O XO 1 * + , . + , . . . \ C 从而也得 O \O 万方数据 此定理揭示此种测地线并不缠绕于圆环面上 1 而是附在圆环面的某一区域上 S
’ & U V /
当+ 有+ 即有 ! 56时 1 W+ 56 1 O O XO O 1 , 9 , 9 , 9 9 9 6 6 6
’ & 2 Y /
这表明测地线的倾角 9 将分别在上述区域内变化 1 且+ 与初值 + , 9 , 9 6 同号 C 再 从考虑测地线随 .角的变化 1 仍由式 ’ 的右边的绝对值大于等于 ;及小于 ;来区 & U V / 别两种情形的测地线 C
4 $& ’ ( D C ) / 3 4 2 , * 6 D . E ( F G ) 可知其右边函数是角 .的以 4 当角 .每增加一个周期 4 角C 将增 0为周期的周期函数 0时 -
加常值 C 其中 C 11 /
再由式 3 右边函数是 .的偶函数 有C 是 .的奇函数 = 再由周期性有结论 I 若测 4 8 , * 6 3 6 . 地 线上的点的参数为 3 则参数 3 也为测地线上对应于 4 6 4 %. %) 6 % .的 点 . C ) 0 C 0 1 %C 参数 3 也表示测地线上的点的参数 = 这表明测地线 的参数 = 再由周期性 #4 #J 6 . 0 J C C ) 1在圆环面上反复周期地延伸 =
图4
9 T 通 完 备 度 量 空 间 上 任 两 点 能 由 最 小 测 地 线 连 接S 如 圆 柱 面U 锥 8而 纤 维 缠 绕 常 用 的 曲 面 -
面U 圆环面等都是连通完备度量曲面 = 这样 在圆环面上第一种情形 3 情形 , 的测地线在固 6 定两端点时可以是稳定的 = 可是就整体而言 两端点固定时 只有极小测地线是稳定的 = 再 从纤维缠绕角度 端点却在不断移动 = 当两端点中有一端点 V延伸变动到新点 W 时原来的 万方数据 极小测地线就不成为起始点 与新点 的极小测地线 如图 L 在圆环面上的第一种 = 这样 -
3 9 3 = 相应地 & 当) 有 & ’异向时 & 3 9 + 3 =
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这种情况下 & 在圆环面上区域 @-? ? -@上每一点的曲 9 . 线段的主法向量 ’与曲面法方向 ) 的) *’符号 区域 如 图 E所示 & 测地线方向 /