第3章-温度场数学模型与数值求解
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第二节 传热分析的常用数值分析方法 （2/3）
1 有限差分法 有限差分法，又称泰勒展开差分法，是最早用于传
热的计算方法。该方法具有差分公式导出简单和计算成本 低等优点，目前已成为应用最为广泛的一种数值分析方法。 有限差分方法，其实质就是将求解区域划分为有限个网格 单元，将微分问题化为差分问题，离散化得到差分格式， 利用差分格式来求解相应问题。用有限差分来求解不稳定 导热过程可按如下的步骤进行：将不稳定导热过程所涉及 的区域在空间和时间上进行离散化处理；物性条件、初始 条件和边界条件的设定；写出单元差分格式；将求解的过 程编成计算程序，由计算机算出结果，得到温度场相关结 果。
13
第四节 基于有限差分方法的离散（4/8）- 二维场合
由上式知，单元i在t+Δt时刻的温度等于t时刻自身温度以及相邻4个单元温度 的线性组合。显而易见，如果相邻单元温度高或低，单元i的温度也相应地 大或小；另外从物理含义来说，单元i在t时刻温度高，则其在t+Δt时刻的温 度也应该高，即等式右边第一项系数必须不小于零，即
在三维迪卡尔坐标系统，连续介质各点在同一时刻的温度分布叫做温度场， 温度场的一般可表达为T=ƒ(x,y,z,t)。若温度场不随时间变化，则称做稳定温度 场，由此产生的导热为稳定导热；若温度场随时间改变，则称做不稳定温度场， 不稳定温度场的导热为不稳定导热。
导热的基本定律是Fourier定律，Fourier定律的具体内容我们在后面再阐述。
《材料成形模拟技术》讲义
第3章 温度场数学模型与数值求解
华中科技大学 周பைடு நூலகம்新 Tel: 027-87541922
Email: zhoujianxin1975@163.com
主要内容
1、传热的基本方式 2、传热分析的常用数值分析方法 3、温度场数学模型 4、基于有限差分方法的离散 5、初始条件与边界条件 6、潜热处理 7、温度场数值模拟流程图
T f 为流体的特征温度； Tw 为固体边界温度。
对流换热按引起流动运动的不同原因可分为自然对流和强制对流两大类。 自然对流是由于流体冷、热部分的密度不同而引起的，如暖气片表面附近热 空气向上流动就是自然对流。如果流体的流动是由于水泵或其他压差所造成
的，则称为强制对流。
5
第一节 传热的基本方式（4/4）- 热辐射
8
第二节 传热分析的常用数值分析方法 （3/3）
2 有限元法 有限元法求解导热问题是利用微分方程边
值问题等价于相应变分问题这一特点的。用有限 元法求解不稳定导热过程可归纳为如下的步骤： 将不稳定导热过程所涉及的区域在空间和时间上 进行离散化处理；物性条件、初始条件和边界条 件的设定；写出单元泛函数表达式；构造每个单 元的插值函数；求得泛函数极值条件的代数方程 表达式；构造代数方程组；将求解的过程编成计 算程序，由计算机算出结果，得到温度场相关结 果。
q 0Ts4
式中，q为热流密度; Ts为表面的绝对温度；
为辐射黑度；
0为Stefen-Boltsman常数。
6
第二节 传热分析的常用数值分析方法 （1/3）
数值方法是进行数值模拟的重要方面，前面提到目前 比较常用的数值方法有：有限差分法、有限元法、直接差 分法、边界元法。对于铸造凝固过程CAE技术来说，主要 是采用有限差分法、有限元法，前面的章节已对这两种方 面进行了较为详细地介绍，下面对采用这两种方法如何进 行传热分析做一个简要说明。
9
第三节 温度场数学模型
Fourier equation:
三维场合：
Cp T t
2T ( x2
2T y 2
2T z 2
)
L t
二维场合：
Cp T ( 2T 2T ) L
t
x2 y2 t
一维场合：
Cp T t
2T x 2
L t
其中：T ——温度 t ——时间 x,y,z ——空间坐标 ρ——密度
4
第一节 传热的基本方式（3/4）- 热对流
热对流是指流体中温度不同的各部分相互混合的宏观运动引起热量传递 的现象。热对流总与流体的导热同时发生，可以看作是流体流动时的导热。 对流换热的情况比只有热传导的情况复杂。对流换热可以用Newton冷却定
律来描述，即
q Tf Tw
式中，q为热流密度； 为对流换热系数；
2
第一节 传热的基本方式（1/4）
1. 热传导 2. 热对流 3. 热辐射
3
第一节 传热的基本方式（2/4）-热传导
物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒 子的热运动进行的热量传递称为热传导，简称导热。在紧密地不透明的物体内 部，热量只能依靠导热方式传递。
只有在物体处于不同温度时，热量才能从一个物体传递到另一个物体，或从 物体的某一部分传递到物体的另一部分。热总是从温度高的地方流向温度低的 地方，铸件凝固冷却时，铸件内部的温度高于外界，因此铸件内部向其外侧以 及铸型传递热量。
Cp——比热 λ——导热系数
L——潜热
10
第四节 基于有限差分方法的离散（1/8）- 二维场合
在二维情况下， 对傅立叶热传导 微分方程进行基 于有限差分法的 离散。如右图所 示，单元i是一 边长为△x的正 四边形单元，它 与相邻的四个单 元进行热量交换。
二维差分单元i的的热平衡关系图
11
第四节 基于有限差分方法的离散（2/8）- 二维场合
物体通过电磁波传递能量的方式称为辐射。物体会因各种原因发出辐射 能，其中因热的原因发出辐射能的现象称为热辐射。自然界中各个物体都不停 地向空间发出热辐射，同时又不断地吸收其它物体发出的热辐射。发出与吸收 过程的综合效果造成了物体间以辐射方式进行了热量传递。辐射换热可以用 Stefen-Boltsman定律来描述，即
Tit )
4
x
(T
t j
Tit
)t
j1 x x
2i 2 j
整理得：
T tt i
Tit
t iC pi x
4 j 1
T
t j
Tit
x x
2i 2 j
变形得：
T tt i
1
t iC pi x
4 j 1
x 2i
1 x
2 j
Tit
t iC pi x
4 j 1
T
t j
x x 2i 2 j
在微小的时间△t内，单元i吸收的的热量Q为：
Q iCpi (x)2 (Titt Tit )
从相邻的单元1、2、3、4单元i的热量总和QSUM为：
Qsum
4 j 1
x
x 2 x
2
(T
t j
Tit )t
i
j
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第四节 基于有限差分方法的离散（3/8）- 二维场合
根据能量守恒定定律得:
iC pi (x)2 (Titt
第二节 传热分析的常用数值分析方法 （2/3）
1 有限差分法 有限差分法，又称泰勒展开差分法，是最早用于传
热的计算方法。该方法具有差分公式导出简单和计算成本 低等优点，目前已成为应用最为广泛的一种数值分析方法。 有限差分方法，其实质就是将求解区域划分为有限个网格 单元，将微分问题化为差分问题，离散化得到差分格式， 利用差分格式来求解相应问题。用有限差分来求解不稳定 导热过程可按如下的步骤进行：将不稳定导热过程所涉及 的区域在空间和时间上进行离散化处理；物性条件、初始 条件和边界条件的设定；写出单元差分格式；将求解的过 程编成计算程序，由计算机算出结果，得到温度场相关结 果。
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第四节 基于有限差分方法的离散（4/8）- 二维场合
由上式知，单元i在t+Δt时刻的温度等于t时刻自身温度以及相邻4个单元温度 的线性组合。显而易见，如果相邻单元温度高或低，单元i的温度也相应地 大或小；另外从物理含义来说，单元i在t时刻温度高，则其在t+Δt时刻的温 度也应该高，即等式右边第一项系数必须不小于零，即
在三维迪卡尔坐标系统，连续介质各点在同一时刻的温度分布叫做温度场， 温度场的一般可表达为T=ƒ(x,y,z,t)。若温度场不随时间变化，则称做稳定温度 场，由此产生的导热为稳定导热；若温度场随时间改变，则称做不稳定温度场， 不稳定温度场的导热为不稳定导热。
导热的基本定律是Fourier定律，Fourier定律的具体内容我们在后面再阐述。
《材料成形模拟技术》讲义
第3章 温度场数学模型与数值求解
华中科技大学 周பைடு நூலகம்新 Tel: 027-87541922
Email: zhoujianxin1975@163.com
主要内容
1、传热的基本方式 2、传热分析的常用数值分析方法 3、温度场数学模型 4、基于有限差分方法的离散 5、初始条件与边界条件 6、潜热处理 7、温度场数值模拟流程图
T f 为流体的特征温度； Tw 为固体边界温度。
对流换热按引起流动运动的不同原因可分为自然对流和强制对流两大类。 自然对流是由于流体冷、热部分的密度不同而引起的，如暖气片表面附近热 空气向上流动就是自然对流。如果流体的流动是由于水泵或其他压差所造成
的，则称为强制对流。
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第一节 传热的基本方式（4/4）- 热辐射
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第二节 传热分析的常用数值分析方法 （3/3）
2 有限元法 有限元法求解导热问题是利用微分方程边
值问题等价于相应变分问题这一特点的。用有限 元法求解不稳定导热过程可归纳为如下的步骤： 将不稳定导热过程所涉及的区域在空间和时间上 进行离散化处理；物性条件、初始条件和边界条 件的设定；写出单元泛函数表达式；构造每个单 元的插值函数；求得泛函数极值条件的代数方程 表达式；构造代数方程组；将求解的过程编成计 算程序，由计算机算出结果，得到温度场相关结 果。
q 0Ts4
式中，q为热流密度; Ts为表面的绝对温度；
为辐射黑度；
0为Stefen-Boltsman常数。
6
第二节 传热分析的常用数值分析方法 （1/3）
数值方法是进行数值模拟的重要方面，前面提到目前 比较常用的数值方法有：有限差分法、有限元法、直接差 分法、边界元法。对于铸造凝固过程CAE技术来说，主要 是采用有限差分法、有限元法，前面的章节已对这两种方 面进行了较为详细地介绍，下面对采用这两种方法如何进 行传热分析做一个简要说明。
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第三节 温度场数学模型
Fourier equation:
三维场合：
Cp T t
2T ( x2
2T y 2
2T z 2
)
L t
二维场合：
Cp T ( 2T 2T ) L
t
x2 y2 t
一维场合：
Cp T t
2T x 2
L t
其中：T ——温度 t ——时间 x,y,z ——空间坐标 ρ——密度
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第一节 传热的基本方式（3/4）- 热对流
热对流是指流体中温度不同的各部分相互混合的宏观运动引起热量传递 的现象。热对流总与流体的导热同时发生，可以看作是流体流动时的导热。 对流换热的情况比只有热传导的情况复杂。对流换热可以用Newton冷却定
律来描述，即
q Tf Tw
式中，q为热流密度； 为对流换热系数；
2
第一节 传热的基本方式（1/4）
1. 热传导 2. 热对流 3. 热辐射
3
第一节 传热的基本方式（2/4）-热传导
物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒 子的热运动进行的热量传递称为热传导，简称导热。在紧密地不透明的物体内 部，热量只能依靠导热方式传递。
只有在物体处于不同温度时，热量才能从一个物体传递到另一个物体，或从 物体的某一部分传递到物体的另一部分。热总是从温度高的地方流向温度低的 地方，铸件凝固冷却时，铸件内部的温度高于外界，因此铸件内部向其外侧以 及铸型传递热量。
Cp——比热 λ——导热系数
L——潜热
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第四节 基于有限差分方法的离散（1/8）- 二维场合
在二维情况下， 对傅立叶热传导 微分方程进行基 于有限差分法的 离散。如右图所 示，单元i是一 边长为△x的正 四边形单元，它 与相邻的四个单 元进行热量交换。
二维差分单元i的的热平衡关系图
11
第四节 基于有限差分方法的离散（2/8）- 二维场合
物体通过电磁波传递能量的方式称为辐射。物体会因各种原因发出辐射 能，其中因热的原因发出辐射能的现象称为热辐射。自然界中各个物体都不停 地向空间发出热辐射，同时又不断地吸收其它物体发出的热辐射。发出与吸收 过程的综合效果造成了物体间以辐射方式进行了热量传递。辐射换热可以用 Stefen-Boltsman定律来描述，即
Tit )
4
x
(T
t j
Tit
)t
j1 x x
2i 2 j
整理得：
T tt i
Tit
t iC pi x
4 j 1
T
t j
Tit
x x
2i 2 j
变形得：
T tt i
1
t iC pi x
4 j 1
x 2i
1 x
2 j
Tit
t iC pi x
4 j 1
T
t j
x x 2i 2 j
在微小的时间△t内，单元i吸收的的热量Q为：
Q iCpi (x)2 (Titt Tit )
从相邻的单元1、2、3、4单元i的热量总和QSUM为：
Qsum
4 j 1
x
x 2 x
2
(T
t j
Tit )t
i
j
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第四节 基于有限差分方法的离散（3/8）- 二维场合
根据能量守恒定定律得:
iC pi (x)2 (Titt