03 渠道临界水深计算

专题3. 临界水深的计算
从比能曲线可知，在水深由零增加到无穷大的过程中，断面比能也在随着水深而改变，但其中有一个最小值存在。

我们把在渠道流量、断面尺寸确定的情况下，相应断面比能Es 最小的水深，称为临界水深，用hk 表示。

计算临界水深的基本方程式临界流方程，其形式如下：
k
k B A
g Q 3
2
=α (式3-1) 式中：A k 为临界水深对应的过水断面面积，m 2；Bk 为临界水深对应的水面上宽，m ；
对于等腰梯形断面渠道，过水断面面积A 与水深h 之间的关系复杂，不易由临界流方程直接求解出临界水深h k ，需用试算法求解。

试算法的基本思路：当给定渠道断面形状、形状及流量时，临界流方程（式3-1）左端的
g
Q 2
α可直接求出，而右端的B A 3仅是水深的函数，可假设若干个水深，分别求出其B A 3值，当该值与
g Q 2
α相等时，此水深即所求的临界水深。

也可只假设几个水深，绘制B
A h 3
—关系曲线，在曲线上查出
满足临界流方程式的水深，即所求临界水深h k 。

【工程任务】
某梯形断面渠道，底宽b=2.0m ，边坡系数m=1.5。

当通过流量Q=4.0m 3/s 时，渠道中实际的水深为h=1.0m ，试计算渠道的临界水深h k 。

【分析与计算】
1. 试算法求解
这是一个典型的计算梯形断面临界水深的问题。

由式子3-1可知，当Q 已知时，由可解出临界流方程左端的值，然后不断试算方程右端的值，即可解出临界水深。

先设h 1=0.5m ，
63.18
.94122
=⨯=g Q α 过水断面面积38.15.0)5.05.12()(=⨯⨯+=+=h mh b A （m 2） 水面上宽5.35.05.1222=⨯⨯+=+=mh b B （m ）
74.05
.338.13
3==B A 该值与已知的g
Q 2
α不符，故需重新代数计算。

将h 代0.5、0.6、0.7、0.8m 时，得到B A 3
值分
别为0.74、1.39、2.37、3.81。

绘制图得。

0.0
0.51.01.52.02.53.0
0.5
0.6
0.70.8 1.3 1.0
水深h（m）
A 3/B
图3-1 临界水深试算图
有图3.1查得，当g
Q 2
α=1.63时，所对应的水深为0.63m ，故使用试算法得计算得该渠道的临
界水深值为0.63m 。

2. Excel 试算求解
传统试算法工作量，耗时长。

用精确、快捷的Excel 计算会大大加快计算速度，节约时间，提高效率。

Excel 的操作步骤如下：
①新建Excel 表格，在表格中列清已知条件。

如下图，在A3～D3中列明渠道流量Q 、渠道底宽b 、边坡系数m 、及计算得到的
g
Q 2
α，在他们的下方根据题目条件填上数据，根据题目提供的数
据，计算得到
g
Q 2
α=1.63。

②在“试算过程”中，列出所要计算的参数，包括过水断面面积A 、水面上宽B 、计算得到的B A 3。

③编写各个参数的计算程序。

在A 列表格中输入不同的水深h ，直至B
A 3
值等于1.63。

A
B
C
D
1 临界水深试算表
2 已知条件
3
流量Q(m 3/s)
渠道底宽b （m ）
边坡系数m
αQ 2/g 4 4
2
1.5
1.63
5 试算过程
6 h(m) A （m 2） B(m) A 3/B
7 0.50 1.3
8 3.50 0.74 8 0.60 1.74 3.80 1.3
9 9 0.70 2.14 4.10 2.37 10 0.80 2.56 4.40 3.81 11 1.32 5.25 5.96 24.33 12
1.00
3.50
5.00
8.58
图3-2 Excel 临界水深试算表
Excel 编程需用的计算公式如表3.1所示。

表3.1 临界水深hk 的Excel 表格公式
序号 名称
Excel 编写公式
水力计算公式
1
αQ/g
D3=1*A4^2/9.8
g
Q 2α=
g
Q 2
α
2 A B7=($B$4+$C$4*A7)*A7 h mh b A )(+=
3
B
C7=$B$4+2*$C$4*A7
mh b B 2+=
4 A 3
/B
D7=B7^3/C7
B
A 3=
B
A 3
将不同的水深值输入到A 列，得到不同的B A 3
值。

在Excel 表A 列(水深)相应单元格中，当输
入0.64时，可得B
A 3
=1.63，即水深为0.63，所得值与传统试算法得到的结果相同。

但本方法引入了
计算机操作，提高了计算效率，节省了人力。

3. Excel 单变量求解
也可用单变量求解的方法。

其程序的编制方法与Excel 试算法完全相同，只是在求解过程中操作稍有不同。

在工具菜单中点“单变量求解”，目标单元格为D7，目标值为1.63，可变单元格为A7，点击“确定”，即在A7单元格中得到临界水深h k =0.63。

图3-3 Excel 正常水深试算单变量求解示意图
【编写计算程序时需要注意的问题】
①正确使用常用的计算函数。

表示加“+”，减“ —”，乘“ *”，除“ /”，开平方“sqrt( )”，幂函数“a^b ”(即a 的b 次幂)等的函数，都要严格符合Excel 计算程序的要求。

否则，错一个符号，都可能导致计算的错误。

尤其需要注意的是，乘号“*”在任何时候都不能省略。

②思路要清晰，“（）”要对称。

在Excel 计算程序中，需用括号之处一律用小括号，没有中括号和大括号的使用。

在编写时，务必保证“（）”的左右对称，使用得当。

③合理布置表格结构。

在编写程序前，应在工作薄中合理布置“已知条件”和“计算程序”的位置，一般条件下，将已知的参数“已知条件”集中放在一个区域，将计算的过程集中放在一个区
域，计算过程按试算思路的顺序进行。

④绝对单元格的的引用。

“已知条件”中的部分数据，在“计算过程”的每一个试算过程都要用到，如m、b等参数。

对这些参数，应进行绝对化单元格，才能保证在下拉时这些单元格参与到每个试算过程的计算。

绝对化单元格的符号“$”，如“$B$4”。

【参考文献】
[1]张春娟.工程水力计算[M].北京：中国水利水电出版社，2010
[2]罗全胜，王勤香..水力分析与计算[M].郑州：黄河水利出版社，2011
[3]张劲，章喆.水力学[M].北京：科学出版社，2005。