2012高考数学理专题突破课件第一部分专题四第一讲：空间几何体

空间几何体的表面积和体积
例2 (2011年高考天津卷 一个几何体的三视图 年高考天津卷)一个几何体的三视图 年高考天津卷
如 图 所 示 ( 单 位 ： m) ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ________m3.
解析】 【 解析】 此几何体是由一个长为 3，宽为 2，高 ， ， 为 1 的长方体与底面直径为 2， ， 高为 3 的圆锥组合 而成的， 而成的，故 π V＝ V 长 方 体 ＋ V 圆 锥 ＝ 3×2×1＋ ×12× 3＝ (6＋ π) ＝ × × ＋ ＝ ＋ 3 m3.
解析】 【 解析 】
底面是等腰直角三角形的三棱柱， 底面是等腰直角三角形的三棱柱 ，
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当它的一个矩形侧面放置在水平面上时， 当它的一个矩形侧面放置在水平面上时 ， 它的 正视图和俯视图可以是全等的矩形， 因此① 正视图和俯视图可以是全等的矩形 ， 因此 ① 正 若长方体的高和宽相等， 确 ； 若长方体的高和宽相等 ， 则存在满足题意 的两个相等的矩形， 因此② 正确； 的两个相等的矩形 ， 因此 ② 正确 ； 当圆柱侧放 即侧视图为圆时)， 时(即侧视图为圆时 ，它的正视图和俯视图可以 即侧视图为圆时 是全等的矩形，因此③正确． 是全等的矩形，因此③正确． 答案】 【答案】 A
答案】 【答案】 (6＋π) ＋
归纳拓展】 【 归纳拓展 】
(1)求规则几何体的体积 ， 关键 求规则几何体的体积， 求规则几何体的体积
是确定底面和高， 要注意多角度、 是确定底面和高 ， 要注意多角度 、 多方位地观 选择恰当的底面和高，使计算简便． 察，选择恰当的底面和高，使计算简便． (2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的 求不规则几何体的体积， 求不规则几何体的体积 思想，将不规则几何体转化为几个规则几何体， 思想，将不规则几何体转化为几个规则几何体， 再进一步求解． 再进一步求解．
(2)体积公式 体积公式 ① 柱体的体积 V＝Sh； ＝ ； 1 ② 锥体的体积 V＝ Sh； ＝ ； 3 1 ③ 台体的体积 V＝ (S′＋ SS′＋ S)h； ＝ ′ ′ ； 3 4 3 ④ 球的体积 V＝ πR . ＝ 3
高考热点讲练
空间几何体的三视图
如图是长和宽分别相等的两个矩形， 例1 如图是长和宽分别相等的两个矩形 ，给定 下列三个命题： 存在三棱柱， 下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图 俯视图如图； 存在四棱柱， 其正视图、 、 俯视图如图 ； ② 存在四棱柱 ， 其正视图 、 俯 视图如图； 存在圆柱， 其正视图、 视图如图 ； ③ 存在圆柱 ， 其正视图 、 俯视图如 右图．其中真命题的个数是 右图．其中真命题的个数是( A．3 ． C．1 ． B．2 ． D．0 ． )
2．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积 ．柱体、锥体、 (1)表面积公式 表面积公式 圆柱的表面积S＝ ①圆柱的表面积 ＝2πr(r＋l)； ＋ ； ②圆锥的表面积 ＝πr(r＋l)； 圆锥的表面积S＝ ＋ ； 圆台的表面积S＝ ′ ③圆台的表面积 ＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)； ′＋ ； 球的表面积S＝ ④球的表面积 ＝4πR2.
答案】 【答案】 D
名师指招】 【 名师指招 】
(1)解答本题易误选 ， 其原因 解答本题易误选C， 解答本题易误选
是三视图的含义认识不清，误认为C、 基本相 是三视图的含义认识不清，误认为 、 D基本相 同． (2)解答这一类问题常见误区有：①忽视几何体 解答这一类问题常见误区有： 解答这一类问题常见误区有 的三视图是几何体在三个两两垂直的平面上的 正投影，从而出现错误．②对几何体的特征关 正投影，从而出现错误． 注不够，如线线、线面的位置关系， 注不够，如线线、线面的位置关系，线段的长 度比例、特殊的几何图形在三视图中的体现等， 度比例、特殊的几何图形在三视图中的体现等， 从而出现错误． 从而出现错误．
归纳拓展】 三视图的画法规则： 【 归纳拓展 】 (1)三视图的画法规则 ： 正侧一 三视图的画法规则 样高， 正俯一样长， 侧俯一样宽； 样高 ， 正俯一样长 ， 侧俯一样宽 ； 看不到的画 虚线． 虚线． (2)三视图的排列顺序是 ： 先画正视图， 俯视图 三视图的排列顺序是： 先画正视图 ， 三视图的排列顺序是 画在正视图的下方，侧视图画在正视图的右 边． (3)由俯视图可以确定几何体的底面；正视图， 由俯视图可以确定几何体的底面； 由俯视图可以确定几何体的底面 正视图， 侧视图内部线段的虚实、 侧视图内部线段的虚实、有无可以确定几何体 中的棱与投射面的位置关系， 中的棱与投射面的位置关系，是解题的突破 口．
2 2 2 2 2
答案： 答案：8π
考题解答技法
(2011年高考江西卷 将长方体截去一个四 年高考江西卷)将长方体截去一个四 年高考江西卷 棱锥，得到的几何体如图所示， 棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧 视图为( ) 视图为
例
【解析】 如图所示，点D1的投影为C1，点D的 解析】 如图所示， 的投影为 的 投影为C， 的投影为B，故选D. 投影为 ，点A的投影为 ，故选 的投影为
变式训练2 已知如图是一个空间几何体的三视 变式训练 图，则该几何体的外接球的表面积为 ________． ．
解析： 设该几何体的外接球的半径为 R.依题意知 ， 依题意知， 解析： 依题意知 该几何体是如图所示的三棱锥 A-BCD，其中 AB ， ⊥ 平面 BCD，AB＝ 2，BC＝ CD＝ 2，BD＝2， ， ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ， BC⊥DC，因此可将该三棱锥补形为一个长方体 ， ⊥ ， 因此可将该三棱锥补形为一个长方体， 于是有(2R) ＝ 2 ＋ ( 2) ＋ ( 2) ＝8，即 4R ＝8， 于是有 ， ， 则该几何体的外接球的表面积为 4πR2＝ 8π.
圆柱
＝ π×22×x＝ × ＝
8 5 8 5 4πx，V 四 棱锥＋ V 圆柱 ＝ ， ＋ 4πx＝ ＝ ＋ 12π，所以 ， 3 3 x＝3，故选 C. ＝ ，
与球有关的组合体
例3 (2011 年高考课标全国卷 已知两个圆锥有公 年高考课标全国卷)已知两个圆锥有公
共底面， 共底面 ，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一 3 个球面上． 个球面上 ． 若圆锥底面面积是这个球面面积的 ， 16 则这两个圆锥中， 则这两个圆锥中， 体积较小者的高与体积较大者 的高的比值为________． ． 的高的比值为
解析】 【 解析】 设圆锥底面圆半径为 r， ， 球的半径为 R， ， 3 3 2 2 2 2 则由 πr ＝ × 4πR ，知 r ＝ R .根据球的截面的 根据球的截面的 16 4 性质可知两圆锥的高必过球心 O，且两圆锥的顶 ， 点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此 点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点 ， PB⊥QB. ⊥ 设 PO′＝ x，QO′＝y，则 x＋y＝2R.① ′ ， ′ ， ＋ ＝ ① 2 2 ∽△BO′ ， 又 △PO′B∽△ ′ Q，知 r ＝ O′B ＝xy. ′ ∽△ ′
3 2 即 xy＝r ＝ R .② ＝ ② 4
2
3 R ①②及 由 ①②及 x>y 可得 x＝ R，y＝ . ＝ ， ＝ 2 2 则这两个圆锥中， 则这两个圆锥中 ，体积较小者的高与体积较大者 1 的高的比为 . 3
答案】 【 答案】 1 3
归纳拓展】 涉及球与棱柱、棱锥的切、 【归纳拓展】 涉及球与棱柱、棱锥的切、接 问题时，其直观图很难画清， 问题时，其直观图很难画清，一般过球心及多 面体中的特殊点或线作截面， 面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归 为平面问题， 为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体 中元素间的关系，或只画其内接、 中元素间的关系，或只画其内接、外切的几何 体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径 体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径( 直径)与该几何体已知量的关系，列方程 组 求 直径 与该几何体已知量的关系，列方程(组)求 与该几何体已知量的关系 解．
第一部分
专题突破方略
专题四 立体几何
第一讲 空间几何体
主干知识整合
1．三视图 ． (1)三视图的正视图 、 侧视图 、 俯视图分别是从 三视图的正视图、 侧视图、 三视图的正视图 几何体的正前方、 正左方、 几何体的正前方 、 正左方 、 正上方观察几何体 画出的轮廓线． 画三视图的基本要求： 画出的轮廓线 ． 画三视图的基本要求 ： 正俯一 样长，俯侧一样宽，正侧一样高； 样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面， 三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面， 三视图排列规则 长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面， 长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面， 高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．
本部分内容讲解结束
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一个空间几何体的三视图如图所示， 一个空间几何体的三视图如图所示， 8 5 该几何体的体积为 该几何体的体积 为 12π＋ ＋ ， 则正视图中 x 的值 3 ) 为( A．5 B．4 ． ． C．3 ． D．2 ．
变式训练 1
解析： 该几何体上部为正四棱锥， 解析：选 C.该几何体上部为正四棱锥，四棱锥的 该几何体上部为正四棱锥 高为 32－22＝ 5，底面正方形的边长为 2 2；下 ， ； 部为圆柱， 部为圆柱， 圆柱的高为 x，底面圆的直径为 4.V 四 ， 1 8 5 2 2) × 5＝ ＝ ，V 棱 锥 ＝ × (2 3 3