【最新】高中数学-2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 N单元

数 学
N 单元 选修4系列
N1 选修4-1 几何证明选讲
21．A.N1 选修4­1：几何证明选讲
如图1­7，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD .
图1­7
21．A.证明：在△ADB 和△ABC 中， 因为∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∠A 为公共角， 所以△ADB ∽△ABC ，于是∠ABD ＝∠C . 在Rt △BDC 中，因为E 是BC 的中点， 所以ED ＝EC ，从而∠EDC ＝∠C ， 所以∠EDC ＝∠ABD .
22．N1 选修4­1：几何证明选讲
如图1­6所示，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°.以O 为圆心，1
2OA 为半径作圆．
(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；
(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .
图1­6
22．证明：(1)设E 是AB 的中点，连接OE . 因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°， 所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°.
在Rt △AOE 中，OE ＝1
2AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O
相切．
(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D 四点所在圆的圆心，作直线OO′.
由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.
同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.
22．N1选修4­1：几何证明选讲
如图1­6，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；
(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.
图1­6
22．解：(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.
因为AP＝BP，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.
又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.
(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠PCD＋∠EFD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.
22．N1选修4­1：几何证明选讲
如图1­5，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.
(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；
(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
图1­5
22．解：(1)证明：因为DF ⊥EC ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，
DF CF ＝DE CD ＝DG CB
， 所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF ，
因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆． (2)由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB ，连接GB .
由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝1
2
.
N2 选修4-2 矩阵
21．B ．N2 选修4­2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 20 －2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .
21．B ．解：设B ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a b c d ，则B －1
B ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b
c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，
即⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤a －12
c b －12
d 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
00 1，
故⎩⎪⎨⎪⎧a －12
c ＝1，
b －12d ＝0，2
c ＝0，2
d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝14，
c ＝0，
d ＝12，
所以B ＝
⎣⎢⎢⎡⎦⎥
⎥⎤1 140 12.
因此，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1
40 12＝⎣⎢
⎢⎡⎦⎥⎥
⎤1 540 －1.
N3 选修4-4 参数与参数方程
16．N3 下列极坐标方程中，对应的曲线为图1­3的是(
)
图1­3
A ．ρ＝6＋5cos θ
B ．ρ＝6＋5sin θ
C ．ρ＝6－5cos θ
D ．ρ＝6－5sin θ
16．D 依次取θ＝0，π2，π，3π
2，结合图形可知只有ρ＝6－5sin θ满足题意．
11．N3 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，
B 两点，则|AB |＝________．
11．2 将极坐标方程转化为直角坐标方程进行运算．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0，因为ρ＝2cos θ，ρ2
(sin 2
θ＋cos 2
θ)＝2ρcos
θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心(1，0)在直线上，因此AB 为圆的直径，所以|AB |＝2.
21．C ．N3 选修4­4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝1＋1
2
t ，
y ＝32t
(t 为参数)，椭圆C
的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线
l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB
的长．
21．C ．解：椭圆C 的普通方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3
2t
代入x 2
＋y 2
4＝1，得1＋1
2t 2
＋32t 2
4＝1，即7t 2
＋16t ＝
0，解得t 1＝0，t 2＝－16
7
.
所以AB ＝|t 1－t 2|＝16
7
.
23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，
y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标
原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
23．解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2
＋(y －1)2
＝a 2
.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2
－2ρsin
θ＋1－a 2＝0.
(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩
⎪⎨⎪
⎧ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2
＝0，由已知得tan θ＝2，可得16cos 2
θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2
＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.
当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上， 所以a ＝1.
23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数)．以坐标原点
为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＋
π
4
＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 23．解：(1)C 1的普通方程为x 2
3
＋y 2
＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝
|3cos α＋sin α－4|
2
＝2⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin(α＋π3)－2， 当且仅当α＝2k π＋π
6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐
标为(32，12
).
23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2
＋y 2
＝25.
(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α
(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，
求l 的斜率．
23．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2
＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．
设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入圆C 的极坐标方程得ρ2
＋12ρcos α＋11＝0，
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11，
所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2
－4ρ1ρ2＝144cos 2
α－44.
由|AB |＝10得cos 2
α＝38，则tan α＝±153，
所以l 的斜率为153或－153
.
N4 选修4-5 不等式选讲 21．D ．N4 选修4­5：不等式选讲
设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a
3，求证：|2x ＋y －4|<a .
21．D ．证明：因为|x －1|<a 3，|y －2|<a
3
，
所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a
3＝a .
24．N4 选修4­5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图1­7中画出y ＝f (x )的图像； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．
图1­7
24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧x －4，x ≤－1，
3x －2，－1<x ≤32，
－x ＋4，x >3
2
， 则y ＝f (x )的图像如图所示．
(2)由f (x )的表达式及图像得，当f (x )＝1时，x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，x ＝1
3
或x ＝5.
故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x <
13或x >5.
所以|f (x )|>1的解集为{x ⎪⎪⎪x <1
3
或1<x <3或x >5}.
24．N4 选修4­5：不等式选讲
已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .
(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；
(2)设函数g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．
(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝1
2
时等号成立，
所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是 选修4­5：不等式选讲
已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.
24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1
2
，
1，－12＜x ＜1
2，2x ，x ≥12
.
当x ≤－1
2时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；
当－12＜x ＜1
2
时，f (x )＜2；
当x ≥1
2时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.
所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2
－(1＋ab )2
＝a 2
＋b 2
－a 2b 2
－1＝(a 2
－1)(1－b 2
)＜0，
因此|a ＋b |＜|1＋ab |.
N5 选修4-7 优选法与试验设计。