【最新】高中数学-2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 N单元
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数 学
N 单元 选修4系列
N1 选修4-1 几何证明选讲
21．A.N1 选修41：几何证明选讲
如图17，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠ABD .
图17
21．A.证明：在△ADB 和△ABC 中， 因为∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，∠A 为公共角， 所以△ADB ∽△ABC ，于是∠ABD ＝∠C . 在Rt △BDC 中，因为E 是BC 的中点， 所以ED ＝EC ，从而∠EDC ＝∠C ， 所以∠EDC ＝∠ABD .
22．N1 选修41：几何证明选讲
如图16所示，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°.以O 为圆心，1
2OA 为半径作圆．
(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；
(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .
图16
22．证明：(1)设E 是AB 的中点，连接OE . 因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°， 所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°.
在Rt △AOE 中，OE ＝1
2AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O
相切．
(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D 四点所在圆的圆心，作直线OO′.
由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.
同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.
22．N1选修41：几何证明选讲
如图16，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；
(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.
图16
22．解：(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.
因为AP＝BP，所以∠PBA＝∠PCB，又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.
又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.
(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠PCD＋∠EFD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.
22．N1选修41：几何证明选讲
如图15，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.
(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；
(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
图15
22．解：(1)证明：因为DF ⊥EC ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，
DF CF ＝DE CD ＝DG CB
， 所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF ，
因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆． (2)由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB ，连接GB .
由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝1
2
.
N2 选修4-2 矩阵
21．B ．N2 选修42：矩阵与变换
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 20 －2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .
21．B ．解：设B ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a b c d ，则B －1
B ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b
c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，
即⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤a －12
c b －12
d 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
00 1，
故⎩⎪⎨⎪⎧a －12
c ＝1，
b －12d ＝0，2
c ＝0，2
d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝14，
c ＝0，
d ＝12，
所以B ＝
⎣⎢⎢⎡⎦⎥
⎥⎤1 140 12.
因此，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1
40 12＝⎣⎢
⎢⎡⎦⎥⎥
⎤1 540 －1.
N3 选修4-4 参数与参数方程
16．N3 下列极坐标方程中，对应的曲线为图13的是(
)
图13
A ．ρ＝6＋5cos θ
B ．ρ＝6＋5sin θ
C ．ρ＝6－5cos θ
D ．ρ＝6－5sin θ
16．D 依次取θ＝0，π2，π，3π
2，结合图形可知只有ρ＝6－5sin θ满足题意．
11．N3 在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，
B 两点，则|AB |＝________．
11．2 将极坐标方程转化为直角坐标方程进行运算．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0，因为ρ＝2cos θ，ρ2
(sin 2
θ＋cos 2
θ)＝2ρcos
θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心(1，0)在直线上，因此AB 为圆的直径，所以|AB |＝2.
21．C ．N3 选修44：坐标系与参数方程