北京大学量子力学课件_第26讲

第 二 十 六 讲

Ⅰ. 全同粒子的交换不变性的后果

(1) 两全同粒子的波函数

若两全同粒子，它们的相互作用是变量可 分离型的，即

S

Sm 21z 22z 11)r ,r (u )s ,r ,s ,r (χψ=

可以证明：若粒子自旋为 ，则 在两粒子自旋交换时的对称性为 。若两粒子都处于 态，而总角动量为 ，其交

换对称性为 ，则 应满足

偶 (2) 由于全同粒子交换不变性，而使体系可能处的状态数目不同.

例：设有三个粒子处于（不同量子数单态）

s S Sm χS s 2)

1(-- lm nl Y R L L l 2)1(--S L Sm Lm u χ=ψL

S s 2)1(+--∴=+L S

A. 玻色子 3个处 2个处 各处

同一态 同一态 一个态

B. 费米子

1

各处一个态3

ϕ10

1233=+⨯+,2ϕ,1ϕ

(3) 由于全同粒子交换不变性，而使体系的几率分布不一样。

(4) 由于全同粒子交换不变性，在散射时，散射截面不一样。

当两粒子散射时，粒子 散射到①处，即偏转角 的散射几率为 ；粒子 1 如散

射到②处，其偏转角为

，散射几率为θ2)(f θθπ-2

)(f θπ-

A. 玻色子（自旋为0）

散射几率为

（即 ②， ①分不出。由于， , 为偶） 如自旋为1，非极化散射几率为 2

)(f )(f θπθσ-+=→1→20S =L 222)

(f )(f 95)(f )(f 93)(f )(f 91θπθθπθθπθσ-++--+-+=

°自旋

， 自旋 自旋 (5) 由于全同粒子交换不变性，使体系所处的状态结构也不同

元素周期表的规律正是由于电子为费米子, Pauli exclusion Principle 起作用的结果。

90=θ2101 2)2(f π2)2(f 4π2

)2(f 38π

例：粒子处于一维谐振子势中。单粒子波函数相应能量为 对 个玻色子（ ），基态是所有粒子都处于 态 ,

每个粒子平均能量为

s sm n )r (u χ ω )21n (E n +=N 0s =0n =ω 2

1N E g ⋅=ω 2

1

B. 费米子（自旋 ） 自旋为 的费米子非极化的散射几率

)](f )(f )(f )(f [31)(f )(f **2

2θπθθπθθπθ-+-+-+=2

12122)(f )(f 4

3)(f )(f 41θπθθπθσ--+-+=)](f )(f )(f )(f [21)(f )(f **2

2θπθθπθθπθ-+---+=

但对 个无相互作用的费米子（ ）。基态是二个处于 , 二个处于

… , N 为偶

N 21s =0n =1n =⎪⎩⎪⎨⎧--为偶

个处于最后为奇

个处于最后N N N N 22

2211ω= 42

N

E g

N 为奇

所以，每个粒子平均能量为ω

+= 412N E g ω

4N

Ⅱ.定态微扰论

这里讨论的是 与 无关 设： ，要求其本征值和本征函数

其中 很接近 ，且有解析解。而 是小量， 为易于表达其大小的量级

)P ˆ,r (H ˆH ˆ=ψψE H

ˆ= 1

0H ˆH ˆH ˆ+=0

H ˆH ˆ1H ˆH ˆt

（1）非简并能级的微扰论

设：的本征值和本征函数为 ， 构成一正交，归一完备组。 现求解

即 0H ˆ0k E 0k ϕ0k 0k 0k 0E H ˆϕϕ=0k

ϕk

k k E H ˆψψ=

k k k 10E )H ˆH ˆ(ψψλ=+

求 ， 的步骤是通过逐级逼近来求精确解，即将 ， 对 展开（即对 矩阵元展开）。 从 ， 出发求 ， 。当 ， 即 ， ， 非简并微扰论就是处理的那一条能级是非简并的（或即使有简并，但相应的简并态并不影响处理的结果）。

k E k ψk E k ψλ1H ˆλ0k E 0k ϕk E k ψ0→λ0H ˆ1→0k k ϕψ→0k

k E E →

A. 一级微扰近似

以 标积

以 （ ）标积

0k 1k )1(ik i 0i 0k 0k 1)1(ik i 0i 0E a 'E H ˆa 'H ˆϕϕϕϕ+=+∑∑0k ϕ0k 10k 0k 1*0k 1k H ˆr d H ˆE ϕϕϕϕ==⎰0i ϕk i ≠)1(ik

0k 0k 10i )1(ik 0i a E H ˆa E =+ϕϕ

因此，在一级近似下

0i

0k ik 10i 0k 0k 10i )1(ik E E )H ˆ(E E H ˆa -=-=ϕϕ0k

100k kk 10k k H ˆH ˆ)H ˆ(E E ϕϕ+=+=0i 0k ik 1i

0i 0k )1(k 0k k E E )H ˆ('-+=+=∑ϕϕϕϕψ

(归一化 准至一级) 所以，在 这条能级为非简并时，其能量的一级修正恰等于微扰项 在无微扰状态 的平均值。

1N =0k E 1H ˆ0k ϕ

例1：考虑一个粒子在位势

⎪⎩⎪⎨⎧>≤=a

x a m 21a x x m 21

)x (V 2

22

2ωω