自然哲学的数学原理

自然哲学的数学原理
《自然哲学的数学原理》《自然哲学的数学原理》(又译《自然哲学之数学原理》，拉丁文:Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)，是英国伟大的科学家艾萨克?牛顿的代表作。

成书于1687自然哲学的数学原理年。

《自然哲学的数学原理》是第一次科学革命的集大成之作，它在物理学、数学、天文学和哲学等领域产生了巨大影响。

在写作方式上，牛顿遵循古希腊的公理化模式，从定义、定律(即公理)出发，导出命题;对具体的问题(如月球的运动)，他把从理论导出的结果和观察结果相比较。

全书共分五部分，首先“定义”，这一部分给出了物质的量、
时间、空间、向心力等的定义。

第二部分是“公理或运动的定律”，包括著名的运动三定律。

接下来的内容分为三卷。

前两卷的标题一样，都是“论物体的运动”。

第一卷研究在无阻力的自由空间中物体的运动，许多命题涉及已知力解定受力物体的运动状态(轨道、速度、运动时间等)，以及由物体的运动状态确定所受的力。

第二卷研究在阻力给定的情况下物体的运动、流体力学以及波动理论。

压卷之作的第三卷是标题是“论宇宙的系统”。

由第一卷的结果及天文观测牛顿导出了万有引力定律，并由此研究地球的形状，解释海洋的潮汐，探究月球的运动，确定彗星的轨道。

本卷中的“研究哲学的规则”及“总释”对哲学和神学影响很大。

当时英国皇家学会要出版这部书，但是凑不出适当款子，而皇家学会
的干事胡克则声称万有引力的平方反比定律是他首先发现的，爱德蒙?哈雷出于气愤，提议牛顿写了这本书，并由他自费出版了牛顿的书，于1687年7月《自然哲学的数学原理》拉丁文版问世。

1713年出第2版，1725年出第3版。

1729年由莫特将其译成英文付印，就是现在所见流行的英文本。

各版均由牛顿本人作了增订，并加序言。

後世有多种文字的译本，中译本出版于1931年。

该书的宗旨在于
从各种运动现象探究自然力，再用这些力说明各种自然现象。

全书共分四个部分。

开头和第一篇介绍了力学的基本运动三定律与基本的力学量;其中质量的概念是由牛顿首先提出及定义的，但牛顿当时称其为“物质的量”，这一名称后来被另一个物理量使用。

第二篇中，讨论了物体在阻尼介质中的运动，提出阻力大小与物体速度的一次及二次方成正比的公式。

还研究了气体的弹性和可压缩性，以及空气中的声速等问题，这为牛顿提供了一个展示他数学技巧的舞台。

第三篇题目为宇宙体系，讨论了太阳系的行星、行星的卫星和彗星的运行，以及海洋潮汐的产生，涉及到多体问题中的摄动。

牛顿并没有声称自己要构造一个体系。

牛顿在《自然哲学之数学原理》第一版的序言一开始就指出，他要「致力于发展与哲学相关的数学」，这本书是几何学与力学的结合，是一种「理性的力学」，一种「精确地提出问题并加以演示的科学，旨在研究某种力所产生的运动，以及某种运动所需要的力。

他的任务是“由动现象去研究自然力，再由这些力去推演其它的运动现象”。

然而牛顿实际上是构造了一个人类有史以来最为宏伟的体系，他所说
的力，主要是重力，我们今天称之为引力，或万有引力，以及由重力所衍生出来的摩擦力、阻力和海洋的潮汐力等，而运动则包括落体、抛体、球体滚动、单摆与复摆、流体、行星自转与公转、回归点、轨道章动等，简而言之，包括当时已知的一切运动形式和现象。

也就是说，牛顿是要用统一的力学原因去解释从地面物体到天体的所有运动和现象。

在结构上，《自然哲学之数学原理》是一种标准的公理化体系，它从最基本的定义和公理出发，「在第一编和第二编中推导出若干普适命题」，其中第一编题为“物体的运动”为全书的讨论做了数学工具上的准备，把各种运动形式加以分类，详细考察每一种运动形式与力的关系;
牛顿
第二编讨论“物体(在阻滞介质中)的运动”，近一步考察了各种形式阻力对运动的影响，讨论地面上各种实际存在的力与运动的情况。

在第三编中“示范了把它们应用于宇宙体系，用前两编中数学证明的命题由天文现象推演出使物体倾向于太阳和行星的重力，再运用其他的数学命题由这些力推算出行星、彗星、月球和海洋的运动”。

在全书的最后牛顿写下了一段著名的「总释」，集中表述了牛顿对于宇宙间万事万物的根本原因——万有引力以及我们的宇宙为什是一个这样的优美的体系的总原因的看法，集中表达了他对于上帝的存在和本质的见解。

在写作手法上，牛顿是个神情十分专注的人，他在搭建自己的体系时，
虽然仿照欧几里德(Euclid)的《几何原本》，但他从没有忘记自己的使命是解释自然现象，没有把自己迷失在纯粹形式化的推理中。

他是极为出色的数学家，在数学上有一系列一流的发明，但他严格地把数学当做工具，只是在有需要时才带领读者稍微作一点数学上的远足。

另一方面，牛顿也丝毫没有沉醉于纯粹的哲学思辩，在《自然哲学之数学原理》中所有的命题都来自于现实世界，或是数学的，或是天文学的，或是物理学的，即牛顿所理解的自然哲学的。

《自然哲学之数学原理》中全部的论述都以命题形式给出，每一个命题都给出证明或求解，所有的求证求解都是完全数学化的，必要时附加推论，而每一个推论又都有证明或求解。

只是在牛顿认为某个问题在哲学上有特殊意义时，他才加上一个附注，对问题加以解释或进一步推广。

全书贯穿了牛顿和莱布尼兹分别独立发明的数学方法——微积分，不过牛顿称其为“流数”，这是牛顿的成就之一。

它在科学史上占有非常重要的地位，因它标志著经典力学体系的建立。

牛顿在世时共发表了三个版本的《自然哲学的数学原理》，分别在1687年、1713年及1726年发表，都是拉丁文版本。

牛顿去世后的第一个英文译本是由第三版翻译而来，出版于1729年，译者是莫特(Andrew Motte)。

在1802年，又出现了根据《自然哲学的数学原理》第一版翻译的英文译本。

1930年，美国学者、科学
史家卡约里(Florian Caiofi)在莫特的英译本基础上用现代英文校订出版，成为20世纪里读者群最大的《自然哲学的数学原理》标准版本。

60年代初，美国科学史家科恩(Cohen)和法国科学史家科瓦雷(A1exander
Koyré)合作，根据比莫特译本更早的《自然哲学的数学原理》牛顿
第一版的英译本，也推出了《自然哲学的数学原理》的现代英文版。

在科学史上，《自然哲学的数学原理》是经典力学的第一部经典著作，划时代的巨著，也是人类掌握的第一个完整的科学的宇宙论和科学理论体系，其影响所及，遍布经典自然科学的所有领域，并在其后300年里一再取得丰硕成果。

就人类文明史而言，它成就了英国工业革命，在法国诱发了启蒙运动和大革命，在社会生产力和基本社会制度两方面都有直接而丰富的成果。

迄今为止，还没有第二个重要的科学和学术理论，取得过如此之大的成就.
《自然哲学的数学原理》达到的理论高度是前所未有的，其后也不多见。

爱因斯坦(Einstein)说过:「至今还没有可能用一个同样无所不包的统一概念，来代替牛顿的关于宇宙的统一概念。

而要是没有牛顿的明晰的体系，我们到现在为止所取得的收获就会成为不可能。

」实际上，牛顿在《自然哲学的数学原理》中讨论的问题及其处理问题的方法，至今仍是大学数理专业中教授的内容，而其它专业的学生学到的关于物理学、数学和天文学的知识，无论在深度和广度上都没有达到《自然哲学的数学原理》的境界。

凡此种种，都决定了《自然哲学的数学原理》这部著作的永恒价值。

3.1 绪论
定义
运动的公理或定律
3.2 第一编物体的运动
第1章初量与终量的比值方法,由此可以证明下述命题第2章向心力的确定
第3章物体在偏心的圆锥曲线上的运动第4章由已知焦点求椭圆,抛物线和双曲线的轨道第5章焦点未知时怎样求轨道
第6章怎样求已知轨道上的运动
第7章物体的直线上升或下降
第8章受任意类型向心力作用的物体环绕轨道的确定第9章沿运动轨道的物体运动;回归点运动第10章物体在给定表面上的运动;物体的摆动《自然哲学的数学原理》书影
运动
第11章受向心力作用物体的相互吸引运动第12章球体的吸引力
第13章非球形物体的吸引力
第14章受指向极大物体各部分向心力推动的极小物体的运动
3.3 第二编物体(在阻滞介质中)的运动
第1章受与速度正比的阻力作用的物体运动
第2章受正比于速度平方的阻力作用的物体运动
第3章物体受部分正比于速度平方的阻力作用的物体运动第4章物体在阻滞介质中的圆运动
第5章流体密度和压力;流体静力学
第6章摆体的运动与阻力
第7章流体的运动,及其对抛体的阻力
第8章通过流体传播的运动
第9章流体的圆运动
3.4 第三编宇宙体系(使用数学的论述)
哲学中的推理规则
现象
命题
月球交会点的运动
牛顿，英国近代著名的物理学家、数学家、自然科学家、神学家，经典力学的集大成者。

他出生于英格兰林肯郡的小镇乌尔斯普，他的家庭是一个自耕农家庭。

在他未出世前，父亲就去世了。

牛顿生而孱弱，过了3年，他的母亲再嫁给一位牧师，把孩子留在他祖母身边抚养。

8年之后，牧师病故，牛顿的母亲带着后夫所生的一子二女又回到乌尔斯普。

牛顿自幼沉默寡言，性格倔强，惟一喜欢的是摆弄机械小技巧。

少年时代的牛顿并不聪明，反而十分沉默孤独，惟一的优点就是动手能力比较强。

传说他用小老鼠为动力做了一架磨坊的模型;还有一次他在风筝上挂着小灯，放上天去，村里人在晚上看见时，以为是彗星出现了。

他喜欢绘画、雕刻，尤喜欢刻日晷，家里墙角、窗台上到处安放着他刻划的日晷。

12岁时，牛顿进入格兰瑟中学，他酷爱读书，喜欢沉思，对自然现象有好奇心，例如颜色、日影四季的移动，尤好几何学、哥白尼的日心说等等。

在中学期间，他曾经寄住在一个药剂师家里，受到了化学实验的熏陶。

牛顿的母亲原来希望他成为一个农民，能赡养家庭，但牛顿朝着学问方向越走越深。

1661年牛顿以减费生身份进入剑桥大学三一学院，他认真地攻读了欧几里得的《几何原本》、开卜勒的光学、笛卡尔的几何学等。

他的才华在大学期间开始显露。

1664年获得奖学金，1665年以学士学位毕业。

不久伦敦发生了严重的瘟疫，剑桥离伦敦不远，学校为此停课。

牛顿于当年6月回到故乡乌尔斯普。

在故乡的两年，牛顿在自然科学领域内思潮奔腾，才华迸发，思考前人从未思考过的问题，踏进前人没有涉及的领域，创建了前所未有的惊人业绩。

1665年初他创立级数近似法以及把任何幂的二项式化为一个级数的规则。

同年11月，创立
微积分。

牛顿还开始想到研究重力问题，并想把重力理论推广到月球的运行轨道上去。

他以旺盛的精力从事科学创造，并关心自然哲学问题。

1667年牛顿重返剑桥大学，10月被选为三一学院的仲院侣，次年牛顿亲自制作的反射望远镜
3月选为正院侣。

他的老师巴罗十分赏识牛顿的才华，以致在1669年他尚未满27岁时，巴罗就把自己的教授席位让给了他，牛顿成为接替巴罗担任卢卡斯讲座的教授。

巴罗当时还不到40岁，远未到退休年龄。

早在1666年，牛顿就有了万有引力的想法，此后20年他不断观测研究月球绕地球运动，于1685-1686年用拉丁文完成了《自然哲学的数学原理》，由朋友哈雷出资于1687年出版。

这为他赢得了极大的学术声誉。

牛顿得到大学时代认识的一位贵族后裔的帮忙，于1696年被任命为伦敦的造币厂总监，不久任厂长，年薪400镑。

这在当时是极其优厚的。

1701年，他辞去了剑桥大学的工作，1703 年他担任英国皇家学会的主席，一直任职到1727年。

1705年他被安妮女王册封为骑士，从而获得了爵士的称呼。

牛顿于1727年3月31日在伦敦郊区肯辛顿寓中逝世，以国葬礼葬于伦敦威斯敏斯特教堂。

在科学贡献上，牛顿的一生明显地分成前后两个阶段。

前期，牛顿在科学上的创造相当多，除了在经典力学方面的巨大成就之外，他在数学、微积分、光学等领域都有非常显著的成就。

牛顿的后30年，科学成就不大，经常陷入神学的思辨之中。

5 内容
《自然哲学的数学原理》提出了经典力学的三个基本定律和万有引力定律，这些定律都是建立在客观研究的基础上。

牛顿十分重视科学研
究的方法和态度，他指明了研究自然的四条基本规则，这四条规则的核心问题是强调研究的客观性，即坚持对自然研究的唯物主义的态度。

他自身的研究就是建立在长期实际观察的基础上。

同时他通过定律对自然现象的解释，是以大量的数学分析为基础的，在本书的第一编第一章中，牛顿讲述了有关微积分及几何学方面的内容。

这些内容实际上是全书的数学基础。

牛顿本来是微积分的发明人之一，但为了便于读者接受，他在这本书中却尽量避免使用比较困难的微积分的方法。

他用的数学工具严格地限于几何。

书的开头部分有很长的“说明”，对书中所运用的一些概念的基本定义，诸如力、天体、力学、运动等进行必要的解释说明。

在“说明”之后，牛顿认真详细地介绍了“运动之基本定理或定律”，即牛顿关于物体运动的三个定律。

这就是我们现在所说的经典力学的三个基本定律。

第一定律:每个物体如果没有外界影响使其改变状态，那么该物苹果的故事体仍保持其原来静止的或等速直线运动的状态。

牛顿认为这是一个基本的普遍的自然界的事实，也是无可争辩的。

由这条定律出发，外力是改变物体运动状态的原因，而不是维持原有状态的原因。

例如炮弹会停止和下落，是因为空气的阻力和重力的影响，如果不存在这种外力，那么炮弹将保持它匀速运动的状态。

第二定律:运动的变化与所施加的力成正比，并沿力的作用方向发生。

这其实就是今天我们所说的动量问题，动量等于物体的质量与速度的
乘积，速度的变化就是加速度。

对同一个物体而言，所施加的力与由此产生的加速度成正比。

第三定律:对于每一个作用力，总存在一个与之相等的反作用力和它对抗;或者说，两个物质彼此施加的相互作用力恒等，方向则恰恰相反。

根据这个定律，牛顿指出，相互作用的两个物体不管表面上是否产生运动状态的变化，它们之间的作用力和反作用力都是成对出现或同时存在的。

例如人用桨划船前进的运动中，船能前
进，就在于人用桨划入水中时，对水有作用力，水产生了一个相等的反作用力，推动船的前进。

第三定律同样也适用于圆周运动中的向心力和离心力。

《自然哲学的数学原理》
《原理》的主要内容是万有引力定律的确立及其应用。

《原理》第一编第二章就是“论向心力之法”。

从这章开始，牛顿通过对各种涉及到向心力的特殊运动形态的仔细认真地研究，逐步扩展到第三编论宇宙系统。

他在第三编第一章论宇宙系统之原因的开头部分，用三个定理分别说明“使木星恒离开直线运动而留在其轨道内之力”，“使行星恒离开直线运动而留在其轨道内之力”，和“使月球不能离开其轨道的力”，都是一种向心力(其心分别为木星、太阳和地球)，这些向心力均与其心的距离平方成反比。

他在区别引力与磁力的不同之后，做出结论:一切物体均有重力(即引力)，而且与其所含的物质之量(即质量)相比即成正比。

牛顿提出了关于万有引力定律的比较完整的也是经典的叙述:
定理:两个球之物质相互间有重量，即相互间有吸引力，假如此物质
在其距中心相等处为均匀的，则其一球对于其他球之重量即二者之间的吸引力，与二中心间距离之平方成反比。

在对万有引力定律进行了经典的表述之后，牛顿立即用它解释大量的实际问题，也就是从大量的自然事实来说明万有引力的存在。

他所举的自然事实，包括月球运动的偏差、潮汐的大小变化、岁差的长短不一等等。

6 评价
《自然哲学的数学原理》无论从科学史还是整个人类文明史来看，牛顿的《自然哲学的数学原理》都是一部划时代的巨著。

在科学的历史上，《自然哲学的数学原理》是经典力学的第一部经典著作，也是人类掌握的第一个完整的科学的宇宙论和科学理论体系，其影响所及遍布经典自然科学的所有领域，在其后的300年时间里一再取得丰硕成果。

从科学研究内部来看，《自然哲学的数学原理》示范了一种
现代科学理论体系的样板，包括理论体系结构、研究方法和研究态度、如何处理人与自然的关系等多个方面的内容。

此外，《自然哲学的数学原理》及其作者与同时代著名人物的互动关系也是科学史研究和其它学术史研究中经久不息的话题。