基于实验数据的建模与仿真

Aˆ
瞳孔面积和输入光强可由实验获得，且有初始条件（k＝ 0时）
Aˆ(0) A(0) Aˆ(1) A(1) Aˆ(2) A(2)
对应于一组参数取值 ˆ (aˆ1,aˆ2,aˆ3,aˆ4, kˆ0 ) ，则可由递推公式
Aˆ (k 3) aˆ1 Aˆ (k 2) aˆ2 Aˆ (k 1) aˆ3 Aˆ (k)
aˆ4[u(k 1 kˆ0 ) u(k kˆ0 )]
应用模型逐步计算出瞳孔面积改变量理论值 Aˆ
根据最小二乘法，问题归结为寻找这样一组参数a1 ，a2 ，a3 ，a4和k0，
使得目标函数
n
Q [ A(i) Aˆ(i)]2 min
i0
说明：这是一个包含五个参数的 最优化问题。
图4-2 瞳孔调节系统对光强动态反应 实验曲线与仿真曲线的拟合程度
d3A dt 3
9
2 1
d2A dt 2
13
2
2 1
dA 3
dt
3 1
A
a2
2
(t
)
A（t）：因变量-- t时刻瞳孔面积相对于某一基准面积的变量，t：自变量
待定参数：
潜伏期，1 系统待定参数，a 与受试者状态有关的参数， (t- ) 方波脉冲。
为了在计算机上进行计算，将模型改写为仿真模型－差分方程。
4.1.5 最小二乘法
1. 最小二乘准则 对具有同一精确度的实验数据，根据以下准则估计 模型的参数： 基于所有的测点，使模型理论值与实测数据值的残差 平方和总和最小； 如果各个测点数据精度不同，则对数据作加权处理。
2. 最小二乘法目标函数
目标函数
n
Q yi ui 2 (4.1)
i 1
本章内容
4.1 实验数据建模仿真的基本概念 4.1.1 基于实验数据建立数学模型的思路 4.1.2 实验数据 4.1.3 模型类型与模型参数 4.1.4 模型参数的估计 4.1.5 最小二乘法
4.2 系统辨识 4.2.1 系统辨识的基本概念 4.2.2 生物系统的可辨识性
4.3 回归数学模型 4.3.1 一元线性回归模型 4.3.2 多元线性回归模型 4.3.3 线性回归模型的检验与评价 4.3.4 非线性回归模型
K0 为一个和时滞有关的参数，若取采样间隔为0.1s，则有 = 0.1(k0+1)；
a1 ，a2 ，a3 ，a4
[x]为一关于函数x的非线性函数，其定义为
[
x]
1 0
若x 0 若x 0
系统的辨识问题：实验数据（ u(k) ， A(k) 、A(k+1)、 A(k+2) ）
根据某种准则（例如：最小二乘法） 估计参数a1 ，a2 ，a3 ，a4和k0
可靠的实验数据 模拟实际系统的最优模型
4.1.3 模型类型
模型的分类： 线性系统模型，非线性性系统模型 外部模型（输入-输出模型），内部模型（状态模型） 确定性模型，随机模型（例如：回归模型）
……
4.1.4 模型参数的估计
重要性 模型描述系统中各个参数以及变量之间的关系， 选定一类模型后， 模型的参数估计是建模的重要问题。 模型参数估计 在选定模型类型和待定的特征参数以后，根据实验数据，选用某种 相似准则（等价）来估计数学模型中待定参数的值。 ➢ 确定模型的类型、模型中特征参数的个数， ➢ 选用模型与实际系统数据相似的准则： 从数学模型计算理论值与系统相应的实测数据尽可能接近（等价）。 ➢ 用实验数据估计数学模型的（未知）参数。
以 b0 和 b1 的函数形式，写出目标函数 Q
n
n
Q(b0 , b1 ) yi ui 2 yi b0 b1xi 2
i 1
i 1
Q 为最小值，有：
Q
n
b0
2 ( yi
i 1
b0
b1 xi ) 0
Q
nBaidu Nhomakorabea
b1
2 ( yi
i 1
b0
b1 xi ) xi
0
例2 瞳孔调节系统对光强增加有强烈的动态反应，但当光强减弱时， 其反应则非常微弱。可以应用以下三阶微分方程描述瞳孔对方波 光刺激的反应的动态过程（选定的模型类型）
基于实验数据建立数学模型的基本步骤
选择系统的特征变量 测量相关实验数据 分析并剔除异常数据
补充漏失数据 选择模型类型 (待定参数)
数据拟合 (模型参数估计)
数学模型
如果检验正确
模型检验
如果检验不正确
应用模型预测和控制
重新选择模型
4.1.2 实验数据
实验数据是建立模型的直观分析方法： 反映时间关系的曲线图形：时间序列图 反映空间关系的曲线图形：空间序列图 反映其它变量关系的图形
模型参数估计的不唯一性
➢ 同一实验数据集，可以选用不同类型模型，不同模型有不同的参数估计。 例：同一数据集，可以选用线性模型或非线性模型； ➢ 选用同一类模型，也可选不同的方法估计参数。
最小二乘法是最常用的参数估计方法 目标函数 Q
待估参数的函数，定量描述模型理论计算值与实测数据值的差别， 参数估计就是寻求一组模型参数，使目标函数 Q = min。
模型类型转化为差分方程
A(k 3) a1 A(k 2) a2 A(k 1) a3 A(k) a4[u(k 1 k0 ) u(k k0 )]
输出：A(k)为第k个采样时刻所测得的瞳孔面积与初始时刻瞳孔面积之差；
输入：u(k)为第k个采样时刻的输入光强与初始时刻输入光强之差；
系统5个待估参数 ：
其中 yi，ui 分别是第 i个实验值和模型计算值；
Q min
估计模型中m个未知参数。
如模型有m个未知参数的估计， 用来拟合函数关系的数据为n个, nm。
则需从m个方程中，求解m个未知参数{i }，即
Q(i ) 0
(4.2)
i
例1 设系统的线性模型为 y b0 b1 x
应用最小二乘法，基于实验数据 ，估计线性模型参数 b0 和 b1
常用的最小二乘法软件工具箱有：
4.1 实验数据建模仿真的基本概念
4.1.1 基于实验数据建立数学模型的思路
背景
➢ 生命系统极为复杂，很难用简单的数学模型描述； ➢ 计算机数据采集技术的发展，为基于实验数据的建立数学提供数据， 基于实验数据的建模与仿真，是生命系统建模仿真的重要途径。
思路
➢ 建立数学模型来描述（实验）数据所对应的系统； ➢ 基于实验数据的分析处理来建立数学模型，基于数据估计系统中各个 参数及变量之间关系的规律。