电路原理-含耦合电感元件的电路及三相电路
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i1( t ) 和i2( t )从同名端流入时，Mi1( t )i2 (t )项前取“ + ”号，
否则取“ － ”号。 耦合电感元件是无源元件，在任何时刻t，耦合电感元 件储存的能量都是非负的。
五、正弦电流电路中的耦合电感元件
耦合电感的电压、电流关系的向量形式为
互感电抗
d i1 d i2 u1 L1 Μ dt dt d i1 d i2 u2 Μ L2 dt dt
1 1 2 2
1
1 2
2
同名端示意图
1 2
1
2ห้องสมุดไป่ตู้
1’
2’
1’
2’
1
2
1
2
1’
2’
1’
2’
同名端实验判定
S
Rs
1 i1
2
+ U -
Ι
s
ΙΙ
V
+ -
1
2
电压表正偏意味着感应电流流出线圈II的端子2，而感应电流的作用 是阻碍i1增大导致的磁通增加，感应电流产生的磁通与线圈II相交链 部分应与i1的磁通与线圈II相交链部分方向相反。因此与感应电流相 反方向的电流产生的磁通应是与i1产生的磁通与线圈II相交链部分方 向相同，故流入端子2的电流与i1所产生的磁通相互增助，端子1与端 子2为同名端。
22 i2 12
22 N2 22 L2 i2 d22 di2 i2 变化时 u22 L2 dt dt 12 N1 12 M12 i2 d12 di2 i2 变化时 u12 M12 dt dt
2
i2
u 21
2
11
线圈2的总磁链 2 与自感磁通链 22 取同一参考方向，则
反映阻抗的等效电抗的性质与副边回路阻抗 Z 22的等效 电抗 L2 X L 的性质是相反的。若副边是感性的，则反映
阻抗是容性的
当我们关心的是原边的电流或电压时，可以利用反映阻抗 将副边反映到原边上来求解； 当我们关心的是副边的负载上的电流或电压时，就应该将 负载以左包含原边的电路等效到副边上求解。
即 定义
max L1 L2
k max L1 L2
为耦合系数
0 k 1
耦合系数 K的大小与两线圈的结构、相互位 置以及周围磁介质有关。如图 (a) 所示的两线圈 绕在一起，其 K值可能接近 1。相反，如图 (b) 所 示，两线圈相互垂直，其K值可能近似于零。由 此可见，改变或调整两线圈的相互位置，可以改 变耦合系数K的大小。
设线圈1的总磁链1与自感磁通链 11取同一参考方向，
1 11 12 L1i1 M i2
2 21 22 i1 L2 i2
互感磁通链前的“＋”、“－”两个符号表示互感磁通
链与自感磁通链有相互增助或相互削弱两种可能，互感磁通 链与自感磁通链的方向一致（相互增助）时取“ ＋ ”号；
1
U 1 jL1 I 1 j I 2
U 2 j I 1 jL2 I 2
1 I 1
互感电抗
+
U1
I1
jM
I2
+
jL2 U2
2
I 2
+
U1
+
jL1
2
jL1
jL2
-
1
-
2
+ jM I 1
2
+ jM I 1
U2
2
6-2 含有耦合电感元件的 正弦电流电路的分析
jΜ j20 Ω ， RL 100 Ω ，求电流 I L 。
Is
R1
Is
R1
+
U s
L1 L2
IL
-
U s
RL
+ -
L1 M
M
IL
L2 M
I
R2 RL
I
R2
空心变压器的去耦等效电路：
第六章 含耦合电感元件的
电路 · 三相电路
本章内容提要
互感电压和互感线圈的同名端
互感线圈串联、并联去耦等效 互感线圈T型去耦等效 含有耦合电感元件的正弦电流电路的分析
理想变压器及其电流电压关系
三相电路以及对称三相电路的分析
6-1 耦合电感元件
一、耦合线圈
通过磁场相互联系的相邻的载流线圈称为耦合线圈。
L1 L2 2 L L1 L2 2
同名端同侧并联时，取上面的符号； 同名端异侧并联时，取下面的符号。
四、去耦等效电路
U j L1 I1 j I 2
I 2 I I1
I
U j L1 I1 j I 2 j L1 I1 j ( I I1， ) j ( L1 M ) I1 j I
I
M I1 L1 M L2 M
+
U
M
+
L2
I2
L1 I1
U
I2
-
-
U j L1 I1 j I 2
I 2 I I1
U j L1 I1 j I 2 j L1 I1 j ( I I1， ) j ( L1 M ) I1 j I
耦合电感元件的电路符号：
1 M L1 L2 2
1
2
L1，L2 ：自感系数，单位名称为亨[利] M ：互感系数，单位名称为亨[利]
二、耦合电感元件的电压、电流关系
1 i1
i2 M L1
L2
+
u1
+
u2
2
1
i1
i2 M L1 L2
+
u1
+
u2
2
-
1
d i1 d i2 u1 L1 Μ dt dt
互感磁通链与自感磁通链的方向相反（相互削弱）时取
“ ― ”号。
实际应用中，为了便于确定互感磁通链是取“ ＋ ”还是
取“ － ”，即互感磁通链对自感磁通链是增强还是减弱， 引入了耦合线圈的“ 同名端 ”标记。
同名端是指分别属于各自线圈的一对端子，当两个线圈
的电流各自从这一对端子流入时，每个线圈的互感磁通与 自感磁通是相互增助的。
dW p ，得 dW L1i1 di1 L2 i2 di2 di1i2 由 dt
i2 0 0 ，到t时刻，耦合电感元件储存的能量为 设 i1 0 0，
1 2 1 2 W t L1 i1 t L2 i2 t i1 t i2 t 2 2
开）同名端时，互感电压前取“ ＋ ”，否则取“ － ” 。
+
u1
1 i1 L1
M1
2 i2 L2
u2
+
u1
1 i1 L1
M
2
+
u2
L2
- 1’
2’
+
- 1’
i2
2’
1
i1
i2 M
L1 L2
+
u1
+
u2
2
1
i1
i2 M
L1 L2
+
u1
+
u2
2
-
1
1 i1
i2 0 2 M L1
L2
2
-
1
i2
四、耦合电感元件储存的能量
耦合电感元件是储能元件，在u1与i1取关联参考方向， u2与i2取关联参考方向的条件下，耦合电感元件吸收的瞬 时功率为
p u1i1 u2i2 d i1 d i2 d i1 d i2 ( L1 )i1 ( L2 )i2 dt dt dt dt d i1 d i2 d i2 d i1 L1i1 L2i2 (i1 i2 ) dt dt dt dt d i1 d i2 d (i1i2 ) L1i1 L2i2 dt dt dt
U jL1 jL2 j2 I j L1 L2 2 I jL I
顺接情况取“ + ”，反接情况取“ 一 ”。
L L1 L2 2
(
1 L1 L2 2
)
2. 并联
+
U
I
M
+
L2
U
I
M
L1 I1
L1 I1
L2 I2
-
2
+
u1
+
u2
-
1
-
2
三、耦合系数
（ 22 ）大于该电流的互感磁通链 Ψ 21 （ Ψ ）。在极限情况 下 11 21 、 22 12 ，这种情况称为全耦合。
12
一般情况下，由同一个元件电流产生的自感磁通链 11
L1 L2 2 L2 i2 i2 ， 全耦合时，L1i1 i1 ，
Zeq2
jM Us Z11
1
jL1 R1 1
jM
jL2 R2
+
Zeq 2
2
+ -
+
2 I2
Z11
U2
ZL
-
2
-
例6-2-1 图示电路，已知 R1 40 Ω ，R2 1 Ω ， L1 4 Η ，
Μ 0.5 Η ， Z L 80 Ω ， us 220 2 sin314t V ， L2 0.1 Η，
一、空心变压器的电路模型
1 I1
jM jL1 R1
I2
jL2 R2
2
+
Us
+
U2
ZL RL jX L
1
2
次级
初级
列方程
R1 jL1 I1 jΜ I 2 Us
jΜ I1 R2 jL2 RL jX L I 2 0 令 Z11 R1 jL1 ，称为原边回路阻抗；
Z22 R2 jL2 RL jX L 称为副边回路阻抗。
方程变为
Z11 I1 jΜ I 2 U s
j I 1 Z 22 I 2 0
解得
Z 22 U s I1 2 Z11Z 22 Μ
Z11
Μ 2
Z 22
Us
1 i1 N1
2 N2 2 i2
1
21
11 i1 21
11 N1 11 L1 i1 d11 di1 i1 变化时 u11 L1 dt dt 21 N2 21 M21 i1 d21 di1 i1 变化时 u21 M21 dt dt
1
i1
11
1
+
U
I
M
+
L2
U
I
M
I1 L1 M L2 M
I2
L1 I1
-
I2
-
有一个公共节点的耦合电感元件的去耦等效电路：
M M L1 L2 L1 M L2 M
M M L1 L2 L1 M
L2 M
例6-2-2 图示自耦变压器的电路模型。设U s 200/ 0 V R2 20 Ω ，jL2 j50 Ω jL1 j20 Ω， R1 10 Ω ，
d i1 d i2 u2 Μ L2 dt dt
2
-
1
d i1 d i2 u1 L1 Μ dt dt
d i1 d i2 u2 Μ L2 dt dt
2
互感电压前“＋”、“－”号的判定原则：
互感电压前的符号由两个元件电流的参考方向与同名
端的关系而定，当两个元件电流的参考方向都指向（或离
求 i1和i2 。
1 i1 t
I1
Z11
i2 t
R1 R2
+ u t s
+
ZL
2
+
Us
Zref 1
Zref 2
M
L1 L2
1
2
-
+ -
U22 OC
ZL
三、耦合电感元件的串联、并联
1. 串联
I
M
L1
I
M
L1
+
U
L2
+
U
L2
(a) 顺接
(b) 反接
I2
jΜ U s 2 Z11Z 22 Μ
jΜZL U s U 2 ZL I2 2 Z11Z 22 Μ
二、空心变压器的等效电路、反映阻抗
I1 Z11
Μ 2
Z 22
1
Us
从原边的 1 1 端口向副边视入的输入阻抗为：
Zin
从副边 2 2的端口向原边视入是一个含独立源的二 端网络，可应用戴维宁定理等效。
1 I1
jM jL1 R1
I2
jL2 R2
2
+
Us
+
U2
Us U 22oc jΜ Z11
Z L RL jX L
1
2
-
Μ 2 Zeq2 R2 jL2
I2
(a)同名端同侧并联
(b)同名端异侧并联
j L1 I 1 j I 2 U ， j I 1 jL2 I 2 U ， I 1 I 2 I
L1 L2 M 2 U j I jL I L1 L2 2M
Us I1
Z11
Μ 2
Z 22
Us
Z11
+
Zin
Z ref 1
令
Z ref 1
2
Z 22
1
称为副边对原边的反映阻抗或引入阻抗
Zref 1
Μ 2
Z22
Μ 2 R2 RL jL2 X L
2 2 R2 RL Μ L2 X L Μ j 2 2 R2 RL L2 X L R2 RL 2 L2 X L 2
否则取“ － ”号。 耦合电感元件是无源元件，在任何时刻t，耦合电感元 件储存的能量都是非负的。
五、正弦电流电路中的耦合电感元件
耦合电感的电压、电流关系的向量形式为
互感电抗
d i1 d i2 u1 L1 Μ dt dt d i1 d i2 u2 Μ L2 dt dt
1 1 2 2
1
1 2
2
同名端示意图
1 2
1
2ห้องสมุดไป่ตู้
1’
2’
1’
2’
1
2
1
2
1’
2’
1’
2’
同名端实验判定
S
Rs
1 i1
2
+ U -
Ι
s
ΙΙ
V
+ -
1
2
电压表正偏意味着感应电流流出线圈II的端子2，而感应电流的作用 是阻碍i1增大导致的磁通增加，感应电流产生的磁通与线圈II相交链 部分应与i1的磁通与线圈II相交链部分方向相反。因此与感应电流相 反方向的电流产生的磁通应是与i1产生的磁通与线圈II相交链部分方 向相同，故流入端子2的电流与i1所产生的磁通相互增助，端子1与端 子2为同名端。
22 i2 12
22 N2 22 L2 i2 d22 di2 i2 变化时 u22 L2 dt dt 12 N1 12 M12 i2 d12 di2 i2 变化时 u12 M12 dt dt
2
i2
u 21
2
11
线圈2的总磁链 2 与自感磁通链 22 取同一参考方向，则
反映阻抗的等效电抗的性质与副边回路阻抗 Z 22的等效 电抗 L2 X L 的性质是相反的。若副边是感性的，则反映
阻抗是容性的
当我们关心的是原边的电流或电压时，可以利用反映阻抗 将副边反映到原边上来求解； 当我们关心的是副边的负载上的电流或电压时，就应该将 负载以左包含原边的电路等效到副边上求解。
即 定义
max L1 L2
k max L1 L2
为耦合系数
0 k 1
耦合系数 K的大小与两线圈的结构、相互位 置以及周围磁介质有关。如图 (a) 所示的两线圈 绕在一起，其 K值可能接近 1。相反，如图 (b) 所 示，两线圈相互垂直，其K值可能近似于零。由 此可见，改变或调整两线圈的相互位置，可以改 变耦合系数K的大小。
设线圈1的总磁链1与自感磁通链 11取同一参考方向，
1 11 12 L1i1 M i2
2 21 22 i1 L2 i2
互感磁通链前的“＋”、“－”两个符号表示互感磁通
链与自感磁通链有相互增助或相互削弱两种可能，互感磁通 链与自感磁通链的方向一致（相互增助）时取“ ＋ ”号；
1
U 1 jL1 I 1 j I 2
U 2 j I 1 jL2 I 2
1 I 1
互感电抗
+
U1
I1
jM
I2
+
jL2 U2
2
I 2
+
U1
+
jL1
2
jL1
jL2
-
1
-
2
+ jM I 1
2
+ jM I 1
U2
2
6-2 含有耦合电感元件的 正弦电流电路的分析
jΜ j20 Ω ， RL 100 Ω ，求电流 I L 。
Is
R1
Is
R1
+
U s
L1 L2
IL
-
U s
RL
+ -
L1 M
M
IL
L2 M
I
R2 RL
I
R2
空心变压器的去耦等效电路：
第六章 含耦合电感元件的
电路 · 三相电路
本章内容提要
互感电压和互感线圈的同名端
互感线圈串联、并联去耦等效 互感线圈T型去耦等效 含有耦合电感元件的正弦电流电路的分析
理想变压器及其电流电压关系
三相电路以及对称三相电路的分析
6-1 耦合电感元件
一、耦合线圈
通过磁场相互联系的相邻的载流线圈称为耦合线圈。
L1 L2 2 L L1 L2 2
同名端同侧并联时，取上面的符号； 同名端异侧并联时，取下面的符号。
四、去耦等效电路
U j L1 I1 j I 2
I 2 I I1
I
U j L1 I1 j I 2 j L1 I1 j ( I I1， ) j ( L1 M ) I1 j I
I
M I1 L1 M L2 M
+
U
M
+
L2
I2
L1 I1
U
I2
-
-
U j L1 I1 j I 2
I 2 I I1
U j L1 I1 j I 2 j L1 I1 j ( I I1， ) j ( L1 M ) I1 j I
耦合电感元件的电路符号：
1 M L1 L2 2
1
2
L1，L2 ：自感系数，单位名称为亨[利] M ：互感系数，单位名称为亨[利]
二、耦合电感元件的电压、电流关系
1 i1
i2 M L1
L2
+
u1
+
u2
2
1
i1
i2 M L1 L2
+
u1
+
u2
2
-
1
d i1 d i2 u1 L1 Μ dt dt
互感磁通链与自感磁通链的方向相反（相互削弱）时取
“ ― ”号。
实际应用中，为了便于确定互感磁通链是取“ ＋ ”还是
取“ － ”，即互感磁通链对自感磁通链是增强还是减弱， 引入了耦合线圈的“ 同名端 ”标记。
同名端是指分别属于各自线圈的一对端子，当两个线圈
的电流各自从这一对端子流入时，每个线圈的互感磁通与 自感磁通是相互增助的。
dW p ，得 dW L1i1 di1 L2 i2 di2 di1i2 由 dt
i2 0 0 ，到t时刻，耦合电感元件储存的能量为 设 i1 0 0，
1 2 1 2 W t L1 i1 t L2 i2 t i1 t i2 t 2 2
开）同名端时，互感电压前取“ ＋ ”，否则取“ － ” 。
+
u1
1 i1 L1
M1
2 i2 L2
u2
+
u1
1 i1 L1
M
2
+
u2
L2
- 1’
2’
+
- 1’
i2
2’
1
i1
i2 M
L1 L2
+
u1
+
u2
2
1
i1
i2 M
L1 L2
+
u1
+
u2
2
-
1
1 i1
i2 0 2 M L1
L2
2
-
1
i2
四、耦合电感元件储存的能量
耦合电感元件是储能元件，在u1与i1取关联参考方向， u2与i2取关联参考方向的条件下，耦合电感元件吸收的瞬 时功率为
p u1i1 u2i2 d i1 d i2 d i1 d i2 ( L1 )i1 ( L2 )i2 dt dt dt dt d i1 d i2 d i2 d i1 L1i1 L2i2 (i1 i2 ) dt dt dt dt d i1 d i2 d (i1i2 ) L1i1 L2i2 dt dt dt
U jL1 jL2 j2 I j L1 L2 2 I jL I
顺接情况取“ + ”，反接情况取“ 一 ”。
L L1 L2 2
(
1 L1 L2 2
)
2. 并联
+
U
I
M
+
L2
U
I
M
L1 I1
L1 I1
L2 I2
-
2
+
u1
+
u2
-
1
-
2
三、耦合系数
（ 22 ）大于该电流的互感磁通链 Ψ 21 （ Ψ ）。在极限情况 下 11 21 、 22 12 ，这种情况称为全耦合。
12
一般情况下，由同一个元件电流产生的自感磁通链 11
L1 L2 2 L2 i2 i2 ， 全耦合时，L1i1 i1 ，
Zeq2
jM Us Z11
1
jL1 R1 1
jM
jL2 R2
+
Zeq 2
2
+ -
+
2 I2
Z11
U2
ZL
-
2
-
例6-2-1 图示电路，已知 R1 40 Ω ，R2 1 Ω ， L1 4 Η ，
Μ 0.5 Η ， Z L 80 Ω ， us 220 2 sin314t V ， L2 0.1 Η，
一、空心变压器的电路模型
1 I1
jM jL1 R1
I2
jL2 R2
2
+
Us
+
U2
ZL RL jX L
1
2
次级
初级
列方程
R1 jL1 I1 jΜ I 2 Us
jΜ I1 R2 jL2 RL jX L I 2 0 令 Z11 R1 jL1 ，称为原边回路阻抗；
Z22 R2 jL2 RL jX L 称为副边回路阻抗。
方程变为
Z11 I1 jΜ I 2 U s
j I 1 Z 22 I 2 0
解得
Z 22 U s I1 2 Z11Z 22 Μ
Z11
Μ 2
Z 22
Us
1 i1 N1
2 N2 2 i2
1
21
11 i1 21
11 N1 11 L1 i1 d11 di1 i1 变化时 u11 L1 dt dt 21 N2 21 M21 i1 d21 di1 i1 变化时 u21 M21 dt dt
1
i1
11
1
+
U
I
M
+
L2
U
I
M
I1 L1 M L2 M
I2
L1 I1
-
I2
-
有一个公共节点的耦合电感元件的去耦等效电路：
M M L1 L2 L1 M L2 M
M M L1 L2 L1 M
L2 M
例6-2-2 图示自耦变压器的电路模型。设U s 200/ 0 V R2 20 Ω ，jL2 j50 Ω jL1 j20 Ω， R1 10 Ω ，
d i1 d i2 u2 Μ L2 dt dt
2
-
1
d i1 d i2 u1 L1 Μ dt dt
d i1 d i2 u2 Μ L2 dt dt
2
互感电压前“＋”、“－”号的判定原则：
互感电压前的符号由两个元件电流的参考方向与同名
端的关系而定，当两个元件电流的参考方向都指向（或离
求 i1和i2 。
1 i1 t
I1
Z11
i2 t
R1 R2
+ u t s
+
ZL
2
+
Us
Zref 1
Zref 2
M
L1 L2
1
2
-
+ -
U22 OC
ZL
三、耦合电感元件的串联、并联
1. 串联
I
M
L1
I
M
L1
+
U
L2
+
U
L2
(a) 顺接
(b) 反接
I2
jΜ U s 2 Z11Z 22 Μ
jΜZL U s U 2 ZL I2 2 Z11Z 22 Μ
二、空心变压器的等效电路、反映阻抗
I1 Z11
Μ 2
Z 22
1
Us
从原边的 1 1 端口向副边视入的输入阻抗为：
Zin
从副边 2 2的端口向原边视入是一个含独立源的二 端网络，可应用戴维宁定理等效。
1 I1
jM jL1 R1
I2
jL2 R2
2
+
Us
+
U2
Us U 22oc jΜ Z11
Z L RL jX L
1
2
-
Μ 2 Zeq2 R2 jL2
I2
(a)同名端同侧并联
(b)同名端异侧并联
j L1 I 1 j I 2 U ， j I 1 jL2 I 2 U ， I 1 I 2 I
L1 L2 M 2 U j I jL I L1 L2 2M
Us I1
Z11
Μ 2
Z 22
Us
Z11
+
Zin
Z ref 1
令
Z ref 1
2
Z 22
1
称为副边对原边的反映阻抗或引入阻抗
Zref 1
Μ 2
Z22
Μ 2 R2 RL jL2 X L
2 2 R2 RL Μ L2 X L Μ j 2 2 R2 RL L2 X L R2 RL 2 L2 X L 2