匈牙利法求解指派问题
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第i人只能完成一项任务。
满足约束条件的解称为可行解可写成 矩阵形式：
0100
0010 X=
1000
2000
称为解矩阵其 各行各列元素 之和为1。
匈牙利算法依据：
对同一工作i来说，所有机床的效 率都提高或降低同一常数，不会 影响最优分配；同样，对同一机 床j来说,做所有工作的效率都提高 或降低同一常数，也不会影响最 优分配。
任务 E
J
G
来自百度文库
R
人员
甲
2
15 13
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8 11 9
匈牙利算法的步骤：
第一步：使分配问题的系数矩阵经 变换，在各行各列中都出现0元素：
➢从系数矩阵的每行元素减去该行的 最小元素。
➢再从所得系数矩阵的每列元素减去 该列的最小元素。
若某行已经有0元素，就不必再减了。
2 15 13 4 2 10 4 14 15 4 (cij)= 9 14 16 13 9 7 8 11 9 7
0 13 7 0 606 9 053 2 010 0
0 13 11 2 6 0 10 11 057 4 014 2
42
第二步：进行试分配，以寻找最优解。
➢从只有一个0元素的行（或列）开 始，给这个0元素加圈，记，然后 划去所在的列（或行）的其他0元 素，记作Ø。
Ø 6365
➢从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
52Ø 2 2 3 0 0 10 5 7 2
98004
Ø 6365
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2
98004
Ø 6365
➢从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 80 4 Ø 6365
成第j 项任务。
分配问题的数学模型：
Min Z= cijxij
s.t. xij =1 (j=1,2……n) xij =1 (i=1,2……n)
xij 0或1
(i=1,2…..n; j=1,2……n)
xij =1 (j=1,2……n)表示
第j 项任务只能由一人去完成。
xij =1 (i=1,2……n)
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8 11 9
类似有：有n项加工任务，怎样 分配到n台机床上分别完成；有n 条航线，怎样指定n艘船分别去 航行….. 等。
表中数据称为效益矩阵或系数矩 阵，其元素大于零，表示分配第 i人去完成第j 项任务时的效益 （或时间、成本等）。
引入0-1变量xij=1分配第i人去完 成第j 项任务，xij=0不分配第i人去完
•匈牙利法基本思想：通过变换修改系数矩阵 的行和列的元素，使在每一行或每一列中至少 有一个0元素，直到在不同行、不同列中至少有 一个0元素，从而得到与这些0元素相对应的一 个完全分配方案。
•关键：寻找n个独立0元素。
例5 有一份中文说明书，需翻译 成英、日、德、俄四种文字，分 别记作E、J、G、R，现有甲、 乙、丙、丁四人，他们将中文说 明书翻译成英、日、德、俄四种 文字所需时间如下，问应该如何 分配工作，使所需总时间最少？
然后划去所在的列的其他0 元素，记作Ø。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø1 0 0
➢给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 0
然后划去所在的行的其他0元 素，记作Ø
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
➢给最后一个0元素加圈， 记。
➢给只有一个0元素的列（或行）的0 元素加圈，记，然后划去所在的 行（或列）的其他0元素，记作Ø。
➢反复进行上述两步，直到所有的0 元素都被圈出和划掉为止。
➢若还有没有划圈的0元素，且同行 （或列）的0元素至少有二个，从剩有 0元素最少的行（或列）开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选 择0元素少的那列的0元素加圈，然后 划掉同行同列的其他0元素，可反复进 行，直到所有的0元素都被圈出和划掉 为止。
指派问题（分配问题）
(Assignment Problem)
例5 有一份中文说明书，需翻译 成英、日、德、俄四种文字，分 别记作E、J、G、R，现有甲、 乙、丙、丁四人，他们将中文说 明书翻译成英、日、德、俄四种 文字所需时间如下，问应该如何 分配工作，使所需总时间最少？
任务 E
J
G
R
人员
甲
2
15 13
➢若元素的数目m等于矩阵阶数n， 那么这分配问题的最优解已得到。若 m<n，则转下一步。
➢从只有一个0元素的行（或列）开 始，给这个0元素加圈，记。
0 13 7 0
66 9
053 2 010 0
➢从只有一个0元素的行（或列） 开始，给这个0元素加圈，记，
0 13 7 0
66 9 5 3 2
010 0
Ø 13 7 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
可见m=n=4,得到最优解。
0001 0100 1000 0010
即甲译俄文、乙译日文、丙 译英文、丁译德文所需时间 最少。Z=28小时
例6 分配问题效率矩阵
任务 A B C D E 人员
甲 12 7 9 7 9 乙8 9 6 6 6 丙 7 17 12 14 9 丁 15 14 6 6 10 戊 4 10 7 10 9
12 7 9 7 9 7 89666 6 7 17 12 14 9 7 15 14 6 6 10 6 4 10 7 10 9 4
50202 23000 0 10 5 7 2 98004 06365
➢从只有一个0元素的行开始，给 这个0元素加圈，记
50202 23000
10 5 7 2
98004 06365
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 8 Ø 4 Ø 6365
的个数m=4,而n=5, m<n，转下 一步。
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 8 Ø 4 Ø 6365
然后划去所在的列的其他0元素， 记作Ø。
50202 23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
➢从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
52 0 2
23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
52Ø 2
23000
10 5 7 2
98004
满足约束条件的解称为可行解可写成 矩阵形式：
0100
0010 X=
1000
2000
称为解矩阵其 各行各列元素 之和为1。
匈牙利算法依据：
对同一工作i来说，所有机床的效 率都提高或降低同一常数，不会 影响最优分配；同样，对同一机 床j来说,做所有工作的效率都提高 或降低同一常数，也不会影响最 优分配。
任务 E
J
G
来自百度文库
R
人员
甲
2
15 13
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8 11 9
匈牙利算法的步骤：
第一步：使分配问题的系数矩阵经 变换，在各行各列中都出现0元素：
➢从系数矩阵的每行元素减去该行的 最小元素。
➢再从所得系数矩阵的每列元素减去 该列的最小元素。
若某行已经有0元素，就不必再减了。
2 15 13 4 2 10 4 14 15 4 (cij)= 9 14 16 13 9 7 8 11 9 7
0 13 7 0 606 9 053 2 010 0
0 13 11 2 6 0 10 11 057 4 014 2
42
第二步：进行试分配，以寻找最优解。
➢从只有一个0元素的行（或列）开 始，给这个0元素加圈，记，然后 划去所在的列（或行）的其他0元 素，记作Ø。
Ø 6365
➢从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
52Ø 2 2 3 0 0 10 5 7 2
98004
Ø 6365
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2
98004
Ø 6365
➢从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 80 4 Ø 6365
成第j 项任务。
分配问题的数学模型：
Min Z= cijxij
s.t. xij =1 (j=1,2……n) xij =1 (i=1,2……n)
xij 0或1
(i=1,2…..n; j=1,2……n)
xij =1 (j=1,2……n)表示
第j 项任务只能由一人去完成。
xij =1 (i=1,2……n)
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8 11 9
类似有：有n项加工任务，怎样 分配到n台机床上分别完成；有n 条航线，怎样指定n艘船分别去 航行….. 等。
表中数据称为效益矩阵或系数矩 阵，其元素大于零，表示分配第 i人去完成第j 项任务时的效益 （或时间、成本等）。
引入0-1变量xij=1分配第i人去完 成第j 项任务，xij=0不分配第i人去完
•匈牙利法基本思想：通过变换修改系数矩阵 的行和列的元素，使在每一行或每一列中至少 有一个0元素，直到在不同行、不同列中至少有 一个0元素，从而得到与这些0元素相对应的一 个完全分配方案。
•关键：寻找n个独立0元素。
例5 有一份中文说明书，需翻译 成英、日、德、俄四种文字，分 别记作E、J、G、R，现有甲、 乙、丙、丁四人，他们将中文说 明书翻译成英、日、德、俄四种 文字所需时间如下，问应该如何 分配工作，使所需总时间最少？
然后划去所在的列的其他0 元素，记作Ø。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø1 0 0
➢给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 0
然后划去所在的行的其他0元 素，记作Ø
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
➢给最后一个0元素加圈， 记。
➢给只有一个0元素的列（或行）的0 元素加圈，记，然后划去所在的 行（或列）的其他0元素，记作Ø。
➢反复进行上述两步，直到所有的0 元素都被圈出和划掉为止。
➢若还有没有划圈的0元素，且同行 （或列）的0元素至少有二个，从剩有 0元素最少的行（或列）开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选 择0元素少的那列的0元素加圈，然后 划掉同行同列的其他0元素，可反复进 行，直到所有的0元素都被圈出和划掉 为止。
指派问题（分配问题）
(Assignment Problem)
例5 有一份中文说明书，需翻译 成英、日、德、俄四种文字，分 别记作E、J、G、R，现有甲、 乙、丙、丁四人，他们将中文说 明书翻译成英、日、德、俄四种 文字所需时间如下，问应该如何 分配工作，使所需总时间最少？
任务 E
J
G
R
人员
甲
2
15 13
➢若元素的数目m等于矩阵阶数n， 那么这分配问题的最优解已得到。若 m<n，则转下一步。
➢从只有一个0元素的行（或列）开 始，给这个0元素加圈，记。
0 13 7 0
66 9
053 2 010 0
➢从只有一个0元素的行（或列） 开始，给这个0元素加圈，记，
0 13 7 0
66 9 5 3 2
010 0
Ø 13 7 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
可见m=n=4,得到最优解。
0001 0100 1000 0010
即甲译俄文、乙译日文、丙 译英文、丁译德文所需时间 最少。Z=28小时
例6 分配问题效率矩阵
任务 A B C D E 人员
甲 12 7 9 7 9 乙8 9 6 6 6 丙 7 17 12 14 9 丁 15 14 6 6 10 戊 4 10 7 10 9
12 7 9 7 9 7 89666 6 7 17 12 14 9 7 15 14 6 6 10 6 4 10 7 10 9 4
50202 23000 0 10 5 7 2 98004 06365
➢从只有一个0元素的行开始，给 这个0元素加圈，记
50202 23000
10 5 7 2
98004 06365
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 8 Ø 4 Ø 6365
的个数m=4,而n=5, m<n，转下 一步。
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 8 Ø 4 Ø 6365
然后划去所在的列的其他0元素， 记作Ø。
50202 23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
➢从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
52 0 2
23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
52Ø 2
23000
10 5 7 2
98004