解直角三角形思想方法中考题型

思想方法 中考题型

一、方程思想

根据题意设适当的未知数，从已知和未知中寻求等量关系，构造出方程或方程组，从而使问题获解．

例1 如图1，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50米．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求缆绳AC 的长（答案可带根号）．

解：过A 点作AB ⊥CD 交CD 的延长线于点B ，设AB ＝x 在Rt △ABC 中，因为∠ACB ＝∠CAE ＝30°，所以AC ＝2ABC ＝2x ，

在Rt △ABD 中，因为∠ADB ＝∠EAD ＝45°，所以DB ＝AB ＝x 因为CD ＝50，所以 解得x ＝25（

。答：缆绳AC 的长为()5013

+

米．

说明 先得出边角之间的关系，再构造方程求解，这是直角三角形的边角关系

应用的常见方法，应值得注意．

二、数形结合思想

将数量和图形巧妙结合来寻找解题思路

例2 如图2，A 、B 、C 表示建筑在一座比较险峻的名山上的三个缆车站的位置，AB 、BC 表示连接三个缆车站的钢缆。已知A 、B 、C 所处位置的海拔高度分别为124m 、400m 、1100m ，如图建立直角坐标系，即A(a ，124)、B(b ，400)、C(c ，

1100)，若直线AB 的解析式为y ＝1

2 x ＋4，直线BC 与水平线BC 1的交角为45°．

⑴分别求出A 、B 、C 三个缆车站所在位置的坐标；

⑵求缆车从B 站出发到达C 站单向运行的距离(精确到1m)．

A(240，124)、B(792，400)、C(2192，1100)；（2）

（米）．

三、转化思想

抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法．

例3 如图3，学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC ＝20米，斜坡坡面上的影长CD ＝8米，太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面成30°的角．求旗杆AB 的高度（精确到1米）．（tan26°=0.43）

解： 延长AD 、BC 交于点E ，过点D 作DF ⊥CE 于F ．则依据题意可知， ∠E ＝ °，∠DCE ＝ °。

在Rt △CFD 中，得DF ＝4，CF ＝

.928，

在Rt △DFE 中， 在Rt △ABE 中，

答：旗杆AB 的高度约为 ．

四、建模思想

所谓建模思想就是认真分析题意，将实际问题抽象、转化为数学问题，建立数学模型，再通过对数学模型的探索达到解决问题的目的．

例4 如图4，MN 表示一段高速公路的设计路线图．在点M 测得点N 在它的南偏东30°的方向．测得另一点A 在它的南偏东60°的方向；取MN 上另一点B ，在点B 测得点A 在它的南偏东75°的方向．以点A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为某居民区．已知MB=400m ，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？

解： 过点A 作AC ⊥MN 于点C ．依题意，得 ∠AMC=60°－30°=30°，∠

ABC=75°－30°=45°．设AC 为x m ，

图2

A

图1 F

图3

E

D

C

B

A

测量类

例5、如图，小明在江南岸选定建筑物A，并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸BE所成的夹角是30°，小强沿江岸BE向东走了500m，到C处，再观察A，此时视线CA与江岸所成的夹角∠ACE＝60°。根据上述信息，你能测出江宽AD 吗？若能，写出求解过程(结果可保留根号)；若不能，请说明理由。

解：过A作AD⊥BE，垂足为D，设AD=x，

在Rt△ABD中，BD=

在Rt△ACD中，CD=

又因为BC=50，所以列方程，得：

解得：

x=

练6、（2011安徽，19，10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长．（参考数据：3=1.73）635m．

练7、一次数学活动中，小明利用自己制作的测角器测量小山的高度C D．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小明在B处测量时，测角器中的60

A O P

∠=°（量角器零度线A C和铅垂线O P的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点B F D

，，在同一直线上），这时测角器中的45

E O P''

∠=°，那么小山的高度C D约为（）Ａ．68米Ｂ．70米Ｃ．121米Ｄ．123米

1.732

≈

1.414

≈供计算时选用）

例8、（2011山东德州20,10分）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B 之间的距离为4米，tan 1.6

α=，tan 1.2

β=，试求建筑物CD的高度．

解：设建筑物CD与EF的延长线交于点G，DG=x米．…………1分

在R t△D G F中,由tan D G

G F

α=，得tan

x

G F

α=．∴

tan

x

G F

α

=…2分

在R t△D G E中，tan D G

G E

β=，即tan

x

G E

β=．∴

tan

x

G E

β

=…3分

∴

tan

x

E F

β

=

tan

x

α

-．………5分

图1

A

C

D

B

E

F β

α

G