解直角三角形思想方法中考题型

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

思想方法 中考题型
一、方程思想
根据题意设适当的未知数,从已知和未知中寻求等量关系,构造出方程或方程组,从而使问题获解.
例1 如图1,河旁有一座小山,从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°,又知河宽CD 为50米.现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ,求缆绳AC 的长(答案可带根号).
解:过A 点作AB ⊥CD 交CD 的延长线于点B ,设AB =x 在Rt △ABC 中,因为∠ACB =∠CAE =30°,所以AC =2ABC =2x ,
在Rt △ABD 中,因为∠ADB =∠EAD =45°,所以DB =AB =x 因为CD =50,所以 解得x =25(。

答:缆绳AC 的长为()5013
+
米.
说明 先得出边角之间的关系,再构造方程求解,这是直角三角形的边角关系
应用的常见方法,应值得注意.
二、数形结合思想
将数量和图形巧妙结合来寻找解题思路
例2 如图2,A 、B 、C 表示建筑在一座比较险峻的名山上的三个缆车站的位置,AB 、BC 表示连接三个缆车站的钢缆。

已知A 、B 、C 所处位置的海拔高度分别为124m 、400m 、1100m ,如图建立直角坐标系,即A(a ,124)、B(b ,400)、C(c ,
1100),若直线AB 的解析式为y =1
2 x +4,直线BC 与水平线BC 1的交角为45°.
⑴分别求出A 、B 、C 三个缆车站所在位置的坐标;
⑵求缆车从B 站出发到达C 站单向运行的距离(精确到1m).
A(240,124)、B(792,400)、C(2192,1100);(2)
(米).
三、转化思想
抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.
例3 如图3,学校旗杆附近有一斜坡.小明准备测量学校旗杆AB 的高度,他发现当斜坡正对着太阳时,旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上,此时小明测得水平地面上的影长BC =20米,斜坡坡面上的影长CD =8米,太阳光线AD 与水平地面成26°角,斜坡CD 与水平地面成30°的角.求旗杆AB 的高度(精确到1米).(tan26°=0.43)
解: 延长AD 、BC 交于点E ,过点D 作DF ⊥CE 于F .则依据题意可知, ∠E = °,∠DCE = °。

在Rt △CFD 中,得DF =4,CF =
.928,
在Rt △DFE 中, 在Rt △ABE 中,
答:旗杆AB 的高度约为 .
四、建模思想
所谓建模思想就是认真分析题意,将实际问题抽象、转化为数学问题,建立数学模型,再通过对数学模型的探索达到解决问题的目的.
例4 如图4,MN 表示一段高速公路的设计路线图.在点M 测得点N 在它的南偏东30°的方向.测得另一点A 在它的南偏东60°的方向;取MN 上另一点B ,在点B 测得点A 在它的南偏东75°的方向.以点A 为圆心,500m 为半径的圆形区域为某居民区.已知MB=400m ,通过计算回答:如果不改变方向,高速公路是否会穿过居民区?
解: 过点A 作AC ⊥MN 于点C .依题意,得 ∠AMC=60°-30°=30°,∠
ABC=75°-30°=45°.设AC 为x m ,
图2
A
图1 F
图3
E
D
C
B
A
测量类
例5、如图,小明在江南岸选定建筑物A,并在江北岸的B处观察,此时,视线与江岸BE所成的夹角是30°,小强沿江岸BE向东走了500m,到C处,再观察A,此时视线CA与江岸所成的夹角∠ACE=60°。

根据上述信息,你能测出江宽AD 吗?若能,写出求解过程(结果可保留根号);若不能,请说明理由。

解:过A作AD⊥BE,垂足为D,设AD=x,
在Rt△ABD中,BD=
在Rt△ACD中,CD=
又因为BC=50,所以列方程,得:
解得:
x=
练6、(2011安徽,19,10分)如图,某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m高度C处的飞机上,测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°.求隧道AB的长.(参考数据:3=1.73)635m.
练7、一次数学活动中,小明利用自己制作的测角器测量小山的高度C D.已知她的眼睛与地面的距离为1.6米,小明在B处测量时,测角器中的60
A O P
∠=°(量角器零度线A C和铅垂线O P的夹角,如图);然后她向小山走50米到达点F处(点B F D
,,在同一直线上),这时测角器中的45
E O P''
∠=°,那么小山的高度C D约为()A.68米B.70米C.121米D.123米
1.732

1.414
≈供计算时选用)
例8、(2011山东德州20,10分)某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度.如示意图,由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β,在A和C之间选一点B,由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α.测得A,B 之间的距离为4米,tan 1.6
α=,tan 1.2
β=,试求建筑物CD的高度.
解:设建筑物CD与EF的延长线交于点G,DG=x米.…………1分
在R t△D G F中,由tan D G
G F
α=,得tan
x
G F
α=.∴
tan
x
G F
α
=…2分
在R t△D G E中,tan D G
G E
β=,即tan
x
G E
β=.∴
tan
x
G E
β
=…3分

tan
x
E F
β
=
tan
x
α
-.………5分
图1
A
C
D
B
E
F β
α
G
A
B
C

∴4
1.2
1.6
x x =
-
. ………6分 解方程得:x =19.2. ………8分 ∴ 19.2 1.220.4C D
D G G C =+=+=.
答:建筑物高为20.4米. ………10分
练9、如图,小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15 的倾斜角斜靠在栏杆上,严重影响了同学们的行走安全.他自觉地将拖把挪动位置,使其的倾斜角为75 ,如果拖把的总长为1.80m ,则小明拓宽了行路通道 m .1.28 (结果保留三个有效数字,参考数据:sin 150.26

,cos 15
0.97


航行类
练10、如图,某渔船上的渔民在A 处观测到灯塔M 在北偏东60o 方向处,这艘渔船以每小时28海里的速度向正东方向航行,半小时后到达B 处,在B 处观测到灯塔M 在北偏东30o
方向处,问B 处与灯塔M 的距离是多少海里?14
例11、
(2011山东济宁,18, 5分)日本福岛出现核电站事故后,我国国家海洋局
高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海检船,在相关海域进行现场检测与海水采样,针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估.上午9时,海检船位于A 处,观测到某港口城市P 位于海检船的北偏西67.5°,海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶,下午2时海检船到达B 处,这时观测到城市P 位于海检船的
南偏西36.9°方向,求此时海检船所在B 处与城市P 的距离?(参考数据:sin36.9°≈3
5

tan36.9°≈
34
,sin67.5°≈
1213
,tan67.5°≈
125

解:过点P 作PC ⊥AB ,垂足为C ,设PC=x 海里.
在Rt △APC 中,∵tan ∠A= ,∴AC= 在Rt △PCB 中,∵tan ∠B= ,∴BC= ∵AC +BC=AB=21×5,∴
5421512
3
x x +=⨯,解得.
答:海检船所在B 处与城市P 的距离为100海里.
练12、一艘轮船自西向东航行,在A 处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C ,继
续向东航行60海里到达B 处,测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5°方向上.之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C 最近? (参考数据:sin21.3°≈
925
,tan21.3°≈25, sin63.5°≈
910
,tan63.5°≈2)
分析:只要过C 作AB 的垂线段CD 就构造了直角三角形,然后再根据题目所给
的条件进行计算,从而求出BD 的距离,那就是最短距离
练13、问题可变为:如果小岛C 周围 海里内有暗礁,轮船继续向东航行有触礁危险。

练14、再变为:如果轮船行驶时,小岛C 周围 米以内会受到噪音的影响.那么轮船以 海里/时的速度继续向东航行时,岛C 受噪音影响的时间为多少?
75°
15°

16
筑坝类
练15、(2011甘肃兰州)某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度i=1
坝外斜坡的坡度i=1∶1,则两个坡角的和为 。

【答案】75
练16、一座建于若干年前的水库大坝的背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 横断面如图所示。

现需将其整修并进行美化,方案如下:① 将背水坡AB 的坡度由1∶0.75改为1
② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面
分成9块相同的矩形区域,依次相间地 种草与栽花 ⑴ 求整修后背水坡面的面积;
⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元,种草的成本是每平方米20元,那么种植花草至少..
需要多少元? 解题关键:搞清坡度的意义,将梯形问题转化为直角三角形问题 720米 2
16000元
辅助练习:
练17、如图,某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求
救,便立即派三名救生员前去营救.1号救生员从A 点直接跳入海中;2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C 点,再跳入海中; 3号救生员沿岸边向前跑3 0 0米到离B 点最近的D 点,再跳人海中.救生员在岸上跑的速度都是6米/秒,在水中游泳的速度都是2米/秒.若∠BAD=4 5°,∠BCD=6 0°,三名救生员同时从A 点出发,请说明谁先到达营救地点B . (
1.4
1.7) 2号
练18、(2011湖北武汉)如图,铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇,∠QON=30°.公路PQ 上A 处距离O 点240米.如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影
响.那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时,A 处受噪音影
响的时间为
A .12秒.
B .16秒.
C .20秒.
D .24秒.【答案】B
练19、(2011内蒙古乌兰察布,16,4分)某厂家新开发的一种电动车如图,它的大灯A 射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8︒和10︒,大灯A 与地面离地面的距离为1m 则该车大灯照亮地面的宽度BC 是 m .(不考虑其它因素)【答案】1.4
练20、(2011浙江绍兴,20,8分)为倡导“地摊生活”,常选择以自行车作为代步工具,如图1所示是一辆自行车的实物图,车架档A C 与C D 的长分别为45cm ,60cm ,且它们相互垂直,座杆C E 的长为20cm ,点,,A C E 在同一条直线上,且75C A B
∠=︒,
如图2. (1)求车架档A D 的长(75 )(2)求车座点E 到车架档A B 的距离(63)
B
(精确到1cm ,参考数据:sin 750.959cos 750.2588tan 75 3.7321︒≈
︒≈︒≈,,)
第19题图
练21、(2011湖南常德,24,8分)青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且是屡败屡试,永不言弃.(如图所示)一天,灰太狼在自家城堡顶部A 处测得懒羊羊所在地B 处的俯角为60°,然后下到城堡的C 处,测得B 处的俯角为30°.已知AC=40米,若灰太狼以5m/s 的速度从城堡底部D 处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果精确到个位)7
例22、(2011四川宜宾,22,7分)如图,飞机沿水平方向(A ,B 两点所在直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行过低,就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN .飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素,飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离),请设计一个求距离MN 的方案,要求: (1)指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出); (2)用测出的数据写出求距离MN 的步骤.
【答案】解:⑴如图,测出飞机在A 处对山顶的俯角为α,测出飞机在B 处对山顶的俯角为β,测出AB 的距离为d ,连接AM ,BM . ⑵第一步,在AMN Rt ∆中,AN
MN =α
tan ∴α
tan MN AN
=
第二步,在BMN Rt ∆中,BN
MN =
βtan ∴β
tan MN BN
=
其中BN
d AN
+=,解得α
ββαtan tan tan tan -⋅⋅=
d MN

练23、(2011湖北黄冈,21,8分)如图,防洪大堤的横断面是梯形,背水坡AB
的坡比1:
i
=(指坡面的铅直高度与水平宽度的比).且AB=20 m .身高为1.7 m
的小明站在大堤A 点,测得高压电线杆端点D 的仰角为30°.已知地面CB 宽30 m ,
求高压电线杆CD
1.732
)21.71+36.0
练24、小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上,量得CD=8米,BC=20米,CD 与地面成30º 角,且此时测得1米杆的影长为2米,求电线杆的高度
C
第23题图
(22题图)
21图
B
D
C
(第22题解答图)
练25、如图,两个高度相等的圆柱形水杯,甲杯装满液体,乙杯是空杯.若把甲杯中的液体全部倒入乙杯,则乙杯中的液面与图中点P的距离是()
(A)2cm(B)(C)6cm(D)8cm
练26、如图,在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(100)
,,点B在第一象
限内,5
B O=,
3
sin
5
B O A=
∠.则cos B A O
∠= .
练27
、如图,一束光线照在坡度为1:
平行的光线,则这束与坡面的夹角α是度.练28、某段笔直的限速公路上,规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h(即50
3
m/s).交通管理部门在离该公路100 m处设置了一速度监测点A,在如图11所示的坐标系中,点A位于y轴上,测速路段BC在x轴上,点B在点A的北偏西60°方向上,点C在点A的北偏东45°方向上.
(1)请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC,并标出点C的位置;
(2)点B坐标为,点C坐标为;
(3)一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15 s,请通过计算,判断该汽车
1.7)
(第25题)
(第27题)。

相关文档
最新文档