积分变换与微分方程

拉普拉斯变换的基本特性是可以将微分和积分运算转 化为基本的代数运算。 比如：
In[3]:=LaplaceTransform[0 f [u]du ,t,s]
LaplaceTransform[ f [t ], t , s ] Out[3]= s
t
傅立叶变换
傅立叶变换函数 函数名称
FourierTransform[expr,t,w] InverseFourierTransform[expr,w,t] FourierSinTransform[expr,t,w]
或 Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]y[x], y[0]1},y,{x,0,1}]],{x,0,1}] 初始条件y(1)=1 In[4]:=NDSolve[{y’[x]==y[x],y[1]==1},y,{x,0,1}] Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察 In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]y[x], y[1]1},y,{x,0,1}]],{x,0,1}] Out[5]=
1 Out[5]= e 4
s2 4
2 s 2
• 微分方程
常微分方程的求解 Байду номын сангаас微分方程的解析解
常用格式：
DSolve[eqn,y[x],x] 求微分方程的解y(x) DSolve[eqn,y,x] 求微分方程的解y DSolve[{eqn1,eqn2,…},{y1,y2,…},x]
• 求方程x2y՛՛+xy՛+(x2-n2)y=0的通解 Mathematica命令为 In[11]:=DSolve[x^2*y''[x]+x*y'[x]+ (x^2+n^2)y[x]==0,y[x],x] Out[11]={{y[x] → BesselJ[I n,x] C[1]+BesselY[I n,x] C[2]}}
第七讲
积分变换与微分方程
• 积分变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数 函数名称
LaplaceTransform[expr,t,s] InverseLaplaceTransform[expr,s,t]
意义
对expr的拉普拉斯变换 对expr的拉普拉斯逆变换
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}]
例如 默认情况下的傅立叶变换为 In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
Out[4]=
e
s2 4
2 2 s
4 2
以下是纯数学的傅立叶变换 In[5]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s, FourierParameters{-1,1}]
InverseLaplaceTransform[expr, {s1,s2,…},{t1,t2,…}]
对expr的多维拉普拉斯变换
对expr的多维拉普拉斯逆变换
• 函数f(t): 拉普拉斯变换为：
F s f t e dt
st 0
拉普拉斯逆变换为：
1 2

i
常微分方程的数值解
常用格式：
NDSolve[{eqn,y[x0]==y0},y[x],{x,x0,x1}]
求微分方程eqn在满足初始条件y(x0)=y0的并在 x[x0,x1]的数值解
NDSolve[{eqn1,eqn2,…, y1[x0]==y10 ,…}, {y1[x], y2[x],…},{x,x0,x1}]
i
F s e st ds
例1 给出t3sint的拉普拉斯变换
Mathematica命令为： In[1]:=LaplaceTransform[t^3Sin[t],t,s] Out[1]=
24s 1 s 2
1 s
2 4
上式的逆变换是： In[2]:=InverseLaplaceTransform[%,s,t] Out[2]= t3sint
Out[10]=
• 求方程y’’’ +y’’=y1/2在区间[0,10]上满足条件 y(0)=0, y’(0)=0.5, y’’(0)=1的特解 Mathematica命令为： In[11]:=s2=NDSolve[{y’’’[x]+y’’[x]Sqrt[y[x]],y [0]0,y’[0]0.5, y’’[0]1},y,{x,0,10}]; Plot[Evaluate[y[x]/.s2],{x,0,10}]
2 2 2 2 2 3 2 6 , Out[6]= 2 3 2 3 1 1
在不同的领域，对傅立叶变换和其逆变换的定义是不同 的，可以用FourierParameters来指出是哪一种定义。
领域 默认 现代物理 取值 {0，1} 傅立叶变换公式 傅立叶逆变换公式
1 2



f t e dt
it
1 2
1 2




F eit d
F eit d
纯数学 系统工程
经典物理
{1，-1}

1 2


f t e

it
dt


{-1，1}
为使迭代开始，NDSolve指定yi 及其导数为初 始条件。初始条件给定某定点x处的yi [x]及尽 可能的导数y'i [x]，一般情况下，初始条件可 在任意x处，NDSolve将以此为起点自动覆盖 xmin到xmax的全区域。
• 对初始条件y(0)=0和y(1)=0分别求出x从0到1的 范围内y’(x)=y(x)的解。 初始条件y(0)=1 In[1]:=NDSolve[{y՛[x]y[x],y[0]0},y,{x,0,1}] Out[1]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察 In[2]:= s=NDSolve[{y'[x]y[x],y[0]1},y,{x,0,1}] Out[2]={{y → InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} In[3]:= Plot[Evaluate[y[x]/.s],{x,0,1}] Out[3]=
求微分方程组的解
• 求方程y՛՛՛-y՛՛=x的通解 Mathematica命令为 In[6]:=DSolve[y՛՛՛[x]-y՛՛[x]==x,y[x],x] Out[6]={{y[x]→-x2/2 –x3/6+exC[1]+C[2]+xC[3]}}
• 求方程组x՛-y=0， y՛+x=0的通解 Mathematica命令为 In[7]:=DSolve[{x՛[t]-y[t]==0, y՛[t]+x[t] ==0}, {x[t],y[t]},t] Out[7]={{x[t] → C[1]Cos[t]+C[2]Sin[t], y[t] → C[2]Cos[t]-C[1]Sin[t]}}
Out[11]=
• 求方程x’(t) =y(t),y’(t)=-0.01y(t)-sin(x)在区间 tϵ[0,100]上满足条件x(0)=0, y(0)=2.1的特解 Mathematica命令为： In[12]:=s3=NDSolve[{x’[t]y[t],y’[t]-0.01y[t]Sin[x[t]],x[0]0, y[0]2.1},{x,y},{t,0,100}]; ParametricPlot[Evaluate[{x[t],y[t]}/.s3],{t,0,100}]
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解 Mathematica命令为 In[10]:=DSolve[{x^2*y՛՛[x]-2x*y՛[x]+2y[x]==3x, y[1]==m, y՛[1]==n}, y[x], x] Out[10]={{y[x]→-3 x+2 m x-n x+3 x2-m x2+n x2-3 x Log[x]}}
• 已知y՛՛+y՛-2y=0, (1) 求方程的通解 (2)求方程满足初始条件y(0)=4, y՛(0)=1的特解 Mathematica命令为 In[8]:=DSolve[y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[x],x] Out[8]={{y[x]→e-2 x C[1]+ex C[2]}} In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x] Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
对expr的傅立叶余弦变换 对expr的傅立叶余弦逆变换
• 在Mathematica中，函数f(t)的傅立叶变换在默 认情况下定义为
1 F 2



f t eit dt
函数F(w)的逆变换为
1 f (t ) 2



F eit d
例2 给出cos(x2)的傅立叶变换 Mathematica命令为：
In[4]:=FourierTransform[Cos[t^2],t,w]
2 2 1 Out[4]= Cos Sin 2 4 4
上式的傅立叶逆变换为：
In[5]:=InverseFourierTransform[%,w,t] Out[5]= Cos[t2]
求微分方程组在满足初始条件的并在x[x0,x1] 的数值解
NDSolve以InterpolatingFunction 目标生成函 数yi的解，InterpolatingFunction目标提供在独 立变量x的xmin到xmax范围内求解的近似值。 NDSolve用迭代法求解，它以某一个x值开始， 尽可能覆盖从xmin到xmax的全区间。
Out[12]=
• 求方程x’(t) =y(t),y’(t)=-0. 1y(t)-sint在区间 tϵ[0,100]上满足条件x(0)=0, y(0)=2.1的特解 Mathematica命令为： In[13]:=s4=NDSolve[{x’[t]y[t],y’[t]-0.1y[t]Sin[t],x[0]0, y[0]2.1},{x,y},{t,0,100}]; ParametricPlot[Evaluate[{x[t],y[t]}/.s4],{t,0,100}]



f t e dt
it



F eit d
符号处理 {0，-2Pi}


f t e

2it
dt
1 2
b



F e2it d

一般情况
{a，b}
2
1 n
b

f t eibt dt
2
1 n

F eibt dt
• 求方程y’’ +y’+x3y=0在区间[0,8]上满足条件 y(0)=0, y’(0)=1的特解 Mathematica命令为： In[10]:=s1=NDSolve[{y’’[x]+y’[x]+x^3*y[x]==0,y [0]==0,y’[0]==1},y,{x,0,8}]; Plot[Evaluate[y[x]/.s1],{x,0,8}]
• 为了避免复杂的指数运算, 傅立叶变换中引进 了傅立叶正弦变换和傅立叶余弦变换。它们用 Sin[wt]和Cos[wt]代替傅立叶变换定义中的函 数Exp(iwt), 而且用积分区间(0,)代替(- ,)。 例3 给出t2exp(-t)的傅立叶正弦和余弦变换 Mathematica命令为：
In[6]:={FourierSinTransform[t^2Exp[-t],t,w], FourierCosTransform[t^2Exp[-t],t,w]}
意义
对expr的傅立叶变换 对expr的傅立叶逆变换 对expr的傅立叶正弦变换
InverseFourierSinTransform[expr,w,t]
FourierCosTransform[expr,t,w] InverseFourierCosTransform[expr,w,t]
对expr的傅立叶正弦逆变换