重庆大学 工程力学3

由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。
例
重物A质量m=10kg,悬挂在支架铰接点 B 处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重 量，求重物处于平衡时，AB 、BC 杆的内力。
C
600 450
B
A
（a）
y 【解】 取铰B为研究对象， 其上作用有三个力：重力 mg；AB杆的约束反力F1 (设 为拉力)及 BC 杆的约束反 力F2 （设为压力），坐 标轴如图b所示，例出平衡 方程
B
90
0
A
450
O
M1
M2 O1
B
FAB FAB
A
【解】 作AB、AO及BO1 杆的受力 FAB 图，AB杆为二力构件 分析OA杆，有
B
M = 0
O
M2 O1
30
0
FAB AO sin 300 M1 = 0 FAB = 5N
FO
A
FAB
分析O1 B 杆，有
1
M = 0, M F O B = 0
FBC sin 60 = FCE = = 15.9 kN 2 sin 50.2 cos 45
FCD

60
C

由此解得
FCD
FAC
FCE
cos 60 = 10.4 kN FAC = 2 FCD cos 50.2 FBC
A y
FCD
45

所求结果如下：
45
FCE
FBC
M = 0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F = 1.5KN 1 = F 2 F 3 = F 4 = 1KN,求作用在板上的合力偶矩。 【解】 由式
F3
180 mm
F4
Fra Baidu bibliotekF2
M = M1 M 2
则 M
F1
80 mm
= F3 0.18 F1 0.08 = 300 N m
x
FAC = 10.4 kN FCD = FCE = 15.9kN
FAB = 34.6 kN
3.1.2 平面汇交力系 由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件 是该力系的合力为零，即 FR = 0
X
=0
Y = 0
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个 坐标轴中上的投影之代数和均等于零。
0
M 0 = [ M x ( F )]2 [ M y ( F )]2 [ M z ( F )]2
这是空间力系的平衡方程
X = 0,Y = 0, Z = 0, M (F ) = 0, M (F ) = 0, M (F ) = 0,
x y z
空间任意力系平衡的必要与充分条件:
力系中所有各力在任意相互垂直的三个坐标轴上之投影的 代数和等于零,以及力系对于这三个轴之矩的代数和分别等 于零. 在求解空间力系问题时要注意几点: (1)约束性质 (2)当空间任意力系平衡时,它在任何面上的投影力系也 平衡,可将空间转化为平面问题来处理 (3)除三投影式,三力矩式,还有四力矩,五力矩,六力矩式.
FT
300
B
x
45
0
FS
mg
0 0 F x = 0 , F 1 cos 30 F 2 cos 45 =0 （b） 0 0 45 = 0 Fy = 0,P F1sin30 F 2 sin 联立上述两方程，解得： F 2 =71.8 N 。 F 1 =88 N ， 由于求出的F 1 和 F 2 都是正值，所以原先假设的方
O 2 AB 1
M1
FO
M 2 = 3N m
O
§3.3 任意力系的平衡方程
3.3.1 空间任意力系 空间力系向一点简化后为:一个力和一个力偶 故空间力系平衡的必要条件是力系的主矢及主矩都 等于零,即
F 'R = F = 0 M0 = M (F ) = 0 F ' R = ( X ) 2 ( Y ) 2 ( Z ) 2
y
y B x
FAB sin 60 FBC sin 30 P = 0
解得
60
FBC
30
FAB
P
FBC = P = 20 kN,
FAB = 3P = 34.6 kN
2. 再选取C点为研究对象，它的受力图如图所示。
这是一空间汇交力系，作直角坐标系Axy，
z
把力系中各力投影到Axy平面和Az轴上。
FCD

60
C

FBC
先列出对Az轴的投影方程
F
z
= 0,
FCE
FAC
cos 60 FAC FCD cos FCE cos = 0 FBC
此力系在Axy平面上投影为一平面汇交力系，其中：
FCD
45
= arctan
A y
45
AD 6 = arctan = 50.2 AC 5
§3.1 汇交力系的平衡方程
3.1.1 空间汇交力系 平衡的必要与充分条件：该力系的合力FR为零。 空间汇交力系的平衡方程
X = 0 Y = 0 Z = 0
注意： (1) 当空间汇交力系平衡时，它与任何平面上的投影力 系也平衡。 (2) 投影轴可任意选取，只要三轴不共面且任何两根不 平行。
例
B
A

P

C
§3.2 力偶系的平衡方程
3.2.1 平面力偶系
空间力偶系平衡的必要与充分条件是:该力偶系中所有的 各力偶矩矢的矢量和为零 .
M = 0
投影形式有
M = 0, M = 0, M = 0,
x y z
3.2.2 平面力偶系
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力 偶系中各力偶矩的代数和等于零，即
（4）如图所示，矩形板重 P，用球铰链C以及柔绳BD支 承在水平面上，则力 FT 对x、y、z轴之矩为（ D ）
z
D

O
x A
FT
C b
y

a
B
3、长方体长 a ＝0.5m，宽b＝0.4m，高c＝0.3m，在其上作用 力F＝80N，方向如图所示，试分别计算： （1）力F在x、y、z轴上的投影； （2 ) 力F在 z1 轴上的投影。 z
（2）一空间力系中各力的作用线均平行于某一固定平面，而且 该力系又为平衡力系，则可列独立平衡方程的个数是（ ）。 A、6个 B、5个 C、4个 D、3个
（3）如果一空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点， 则当力系平衡时，可列独立平衡方程的个数是（ B ）。 A、6个 B、5个 C、4个 D、3个
X = 0 Y = 0 M A = 0
X = 0 M A = 0 M B = 0
1) 一般式
2)二矩式
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
3)三矩式
M A = 0 M B = 0 M = 0 C
A, B, C 三个取矩点，不得共线
注意：
以上格式分别有三个独立方程，最多只能求出三个未知数。
悬臂刚架ABC上作用有分布荷载 例 q=1kN/m,P=3kN,Q=4kN及力偶矩2kNm,刚架各部分尺寸如图示. 求固定端A处的约束反力及力偶矩.
q P C
m
B
P A
【解】作受力图,建坐标系 z
q
F = 0, F P = 0
x AX
B
C
30
解： 1. 先取滑轮B为研究对象。
注意，起重杆 AB 为桁架构件， 两端铰接，不计自重，它是一


5m
个二力构件，把滑轮B简化为一
点，它的受力图如图所示。 这是一平面汇交力系，列平衡方程
D
60
G E
45 45
F
F
x
= 0,
= 0,
A
FAB cos 60 FBC cos 30 = 0
负号表明转向为 顺时针。
例
长为 4 m 的简支梁的两端 A、B 处作用有二个力 偶矩，各为 M1 = 16N m M 2 = 4 N m 。求 A 、B 支 座的约束反力。
M1
A
4m (a )
B
M2
。 60
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束 反力也必须组成一个同平面的力偶 （ M FA ， M FB） 与之平衡。 M1 由平衡方程 得
M = 0
0
A
B
M1 M2 FB l cos60 = 0
解得 故
FA
M2
FB
d
(b )
FB = 6 N m
FA = FB = 6 N m
FA 、FB为正值，说明图中所示FA 、FB 的指向正确。
例
如图所示，机构 OABO1 ，在图示位置平衡。已知：OA ＝400mm， O1 B＝600mm，作用在OA上的力偶矩之大小 M 1 ＝1Nm。试求力偶矩 M 2 的大小和杆AB 所受的力F。各杆 的重量及各处摩擦均不计。
z1
y1

c
1
F o

2

a
y
b
x
x1
解法一 一次投影法 a Fx = F cos = F a2 b2 c2
= 0.5 2 80 = 40 2N b Fy = F cos = F a 2 b2 c2 = 0.4 2 80 = 32 2N c Fz = F cos = F a 2 b2 c2 2 = 0.6 80 = 24 2N 2 设力F与 z1 轴之间的夹角为 ，则 F a2 c2 4 Fz = F cos = = 80 = 64 N 2 2 2 a b c 5
求解得:
FAx = 3kN FAy = 4kN FAz = 2kN M x = 13kN m
M y = 20kN m
M z = 12kN m
若负值说明与设定方向相反。
【思考题】
1、填空题 （1）空间汇交力系平衡的几何条件是：该力系的多边形 自行封闭 。 ( 2 )力对点O的矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于 力对该轴之矩 。 2、选择题 （1）空间力偶矩是（ D ） A、代数量 B、滑动矢量 C、定位矢量 D、自由矢量
x
P 0
P
(b) 如 Fx = 0
FN
P
(c)
FN
(a)
F
x
=0
FT cos 300 FN cos 600 = 0
这样建立坐标系 FT 和FN 相互藕合
FT cos 300 FN cos 600 = 0
可求得 FT=？
思考题
匀速起吊重 P 的预制梁如图所示，如果要 求绳索 AB、BC 的拉力不超过0.6P ，问 角应在什么范围内？
m
P C
B
F = 0, F Q = 0
y Ay
F = 0, F 2q = 0
z Az
x x Q
RAZ
Q
mz
A
M ( F ) = 0, M 3P 2q 1 = 0 mx M y ( F ) = 0, M y 6P m = 0 x
R Ax
RAy
my
y
M
z
( F ) = 0, M y 4 P = 0
B
C
30


5m
D
60
G E
45 45
A
桅杆式起重机可简化 为如图所示结构。 AC 为立 柱， BC ， CD 和 CE 均为钢 索， AB 为起重杆。 A 端可 简化为球铰链约束。设B点 滑轮上起吊重物的重量 P=20 kN ， AD=AE=6 m ， 其余尺寸如图。起重杆所 在平面 ABC 与对称面 ACG 重合。不计立柱和起重杆 的自重，求起重杆 AB 、立 柱 AC 和钢索 CD ， CE 所受 的力。
A、M x ( FT ) = 0, M y ( FT ) = 0, M z ( FT ) = FT a B、M x ( FT ) = aFT cos , M y ( FT ) = bFT cos , M z ( FT ) = 0 C、M x ( FT ) = FT a sin , M y ( FT ) = FT b sin , M z ( FT ) = 0 D、M x ( FT ) = FT a cos , M y ( FT ) = FT b cos , M z ( FT ) = 0
3.3.2 空间平行力系 取坐标轴z与各力平行,则
Z = 0, M
x
(F ) = 0, M y (F ) = 0,
空间平行力系平衡的必要充分条件是:该力系所有各力在与 力线平行的坐标轴上的投影代数和等于零,以及各力对于两 个与边线垂直的轴之矩的代数和分别为零.
3.3.3 平面任意力系 平面任意力系的平衡方程
向是正确的，即 AB 杆承受拉力，BC 杆承受压力。若 求出的结果为负值，则说明力的实际方向与原假定的方 向相反。
应注意： 为避免解联立方程，可把一个轴放在垂直于一个未知 力的作用线上，这个未知力在轴上的投影为零，这个投影方程 就只有一个未知数，不必解联立方程。如在下例中 y o
30
FT
x
y o
FT
FCE
FBC
x
= FBC sin 60 FBC
= FCD sin 50.2 FCD
= FCE sin 50.2 FCE
列平衡方程
z
F F
FBC
x
= 0,
sin 45 FCD sin 45 = 0 FCE
x
= 0,
FCD cos 45 FCE cos 45 = 0 FBC