结构力学

本章重点
1、静矩与形心
2、惯性矩、极惯性矩和惯性积
3、平行移轴公式、转轴公式
关键概念
静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形心主惯性轴
目录
§I-1 静矩和形心
§I-2极惯性矩·惯性矩·惯性积
§I-3 平行移轴公式
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的
§I -1 静矩和形心
一、基本概念
1. 静矩（或一次矩）O x
d A y y
x C x y
dA x ⋅——微面积对y 轴的静矩dA y ⋅——微面积对x 轴的静矩A x S A y d ⎰=A y S A x d ⎰=——整个平面图形对y 轴的静矩
——整个平面图形对x 轴的静矩
2.形心坐标公式
A
S A A
y y A S A A x x x A y
A ====⎰⎰d d 常用单位：m 3或mm 3。

数值：可为正、负或0 。

3.静矩与形心坐标的关系
y
A S x A S x y ==推论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。

1.组合截面的静矩
根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即：
∑=∑===n
i i i x n i i i y y A S x A S 11 和面积。

个简单图形的形心坐标分别为第和　式中：　i A y x i i i ,二、讨论：
2.组合截面的形心坐标公式
∑=∑===n i i i x n i i i y y A S x A S 1
1 组合截面静矩
∑==n i i A A 1
组合截面面积组合截面的形心坐标公式为：
∑∑==∑∑======n i i n
i i i x n i i n i i i y A y A A S y A x A A S x 1111 ，
例I —1：计算由抛物线、y 轴和z 轴所围成的平面图形对y 轴和z 轴的静矩，并确定图形的形心坐标。

z h y b =-⎛⎝ ⎫⎭⎪122O y z 解：S z A y A =⎰2d S y A z A =⎰d =-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎰12102
22
2
b h y b y d =-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎰yh y b y b
0221d =415
2
bh =
b h 24
O y z y d y b
h A A A =⎰d =
-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎰02
21b h y b y d =23
bh 形心坐标为:
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======5
2321548
33
242
2
h
bh bh A S z b
bh bh
A S y y C z C
例I —2：确定图示图形形心C 的位置。

解：
y S A C z =A
S z y
C ==⨯⨯+⨯⨯+=101205701045
1200700197.mm
mm
7.3970012005
10706012010=+⨯⨯+⨯⨯=目录
（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。

）3.惯性积
A
xy I A xy d ⎰=（其值可为正、为负或为零)结论：截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。

4.惯性半径
A
I i A
I i x x y y =
=
（单位：长度的一次方）O
x
y
y
x
d A
例I —3：试计算矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x 和y 的惯性矩。

解：取平行于x 轴的狭长条则
d A =b d y
12
d d 3
22
2
2
bh
y by A y I h h A x =
==⎰
⎰-同理
12
3
hb I y =
y
h
C
x
d y
y
b
思考题I —1：平行四边形对形心轴x 的惯性矩应怎样计算？
5.主惯性轴:当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积
=0时，则坐标轴y0、z0称为主惯性轴。

推论：具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。

0
0z
y
I
7.形心主惯性轴:过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。

可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。

8.形心主惯性矩:平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。

6.主惯性矩:平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。

目录
§I -3 平行移轴公式
1.平行移轴公式推导
左图是一面积为A 的任意形状的平面，c 为其形心，x c y c 为形心坐标轴。

与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为xy ,形心c 在oxy 坐标系下的坐标为(a , b )
任意微面元d A 在两坐标系下的坐标关系为：
a
y y b x x C C +=+=y c
y
x c
x
C
O
b
d A x c y c
y
x
()A
a I A a S I A
a
A y a A y A a y A y I c c c x x x A
A
c A
c A
c A x 2
2
2
2
2
2
d d 2d d d +=++=++=+==⎰
⎰⎰⎰⎰
同理，有：
⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=abA I I A
b I I
c c c y x xy y y 2
注：式中的a 、b 代表坐标值，有时可能取负值。

例I —4：求图示直径为d 的半圆对其自身形心轴x c 的惯性矩。

（1）求形心坐标
2
2
2)(y
R y b -=12
d 2d )(d 3
2
2
20
20
d
y y R y y
y b y A y S d d A x =
-⋅===⎰
⎰⎰π
328π1223
d d d A S y x c =
==解：
x
y
b(y)y c
C
d
x c y （2）求对形心轴x c 的惯性矩
128
π264π4
4d d I x =
=
思考题I —2：O 为直角三角形ABD 斜边上的中点，x 、y 轴为过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案(已知b >a )：
（A ）I xy ＞０（B ）I xy <０(C )I xy =０（D ）I x =I y
x
A B
D
y O
a
b
（思考题I —2）
思考题I —3：等腰直角三角形如图所示，x 、y 轴是过斜边中点的
任意一对坐标轴（即图中α为任意值），该图形的:(1)惯性积I xy ＝＿＿(2)惯性矩I x ＝＿＿、I y ＿＿＿。

y x
a
a
α
（思考题I —3）
目录
§I -4惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的
主惯性轴和主惯性矩
1. 转轴公式
新坐标系ox 1y 1旧坐标系o x y
α
αααsin cos sin cos 11x y y y x x -=+=将上述关系代入平
面图形对x 1轴的惯性矩：
A
y I A
x d 21
1⎰=x
y
O
x
y
A
B
C
D
E
d A
规定：上式中的α的符号为：逆时针为正，顺时针为负。

y
x y x I I I I +=+11即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。

将上述转轴公式中的前两式相加可得：
讨论：
从惯性积的转轴公式可推知，随着坐标轴旋转，惯性积将随着α角作周期性变化，且有正有负。

因此，必有一特定的
角度α
0，使截面对与该角对应的新坐标轴x
、y
的惯性积为零。

依此进行如下定义：
2.截面的主惯性轴和主惯性矩
(1) 主惯性轴:截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。

(2) 主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。

(3)形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。

(4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。

3.主惯性轴位置的确定
设坐标轴转动角度为α0，则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得：
2cos 2sin 2
00=+-ααxy y
x I I I 经整理，得
y
x xy I I I --=
22tan 0α4.主惯性矩的确定
由上面tan2α0的表达式求出cos2α0、sin2α0后，再代入惯性矩的转轴公式，化简后可得主惯性矩的计算公式如下：
例I —6：计算截面的形心主惯性矩。

解：作形心坐标轴x c y c 如
图所示。

（1）求形心坐标：
),( 、
),(ⅡⅡⅠⅠb a b a （2）求对自身形心轴的惯性矩。

、 , 、 2211c c c c y x y x I I I I （3）由平行移轴公式求整个截面的
、 、 c c y x yc xc I I I x y C
10
b 10
b 40
120
a 20
80
C
C
a Ⅰ
Ⅱ
ⅠⅡ
Ⅰ
Ⅱ
（4）由转轴公式得
093
.122tan 0=--=
c
c c c y x y x I I I α
8
.113 6.227200==αα()4
4
22
max mm
1032142
1
2
0⨯=+-++=
=I I I
I I I I c
c c
c
c
c c y x y x y x x ()
4
4
22
min mm
104.5742
12
0⨯=+--+=
=I
I I
I I I I c
c c
c
c
c c y x y x y x y x c0
y c0
°α=113.8
x y C
10
b 10
b 40
120
a 20
80
C
C
a Ⅰ
Ⅱ
ⅠⅡ
Ⅰ
Ⅱ
目录。