第八章答案

第八章 空间解析几何与向量代数
第一节 向量及其线性运算
一、填空题
1.点(1,2,3)-在第Ⅴ卦限，点(2,3,1)--在第Ⅲ卦限．
2.点(,,)x y z 到xoy 面、yoz 面、xoz 面的距离分别为z ，x ，y ；到x 轴、y 轴、
z
.
3.点(,,)a b c 关于yoz 面的对称点是(,,)a b c -；与(,,)a b c -关于xoz 面对称；关于原点的 对称点是(,,)a b c ---．
4.点M 的向径与x 轴成45
角，与y 轴成60
角，长度为6，若在z 轴上的坐标是负值，
则点M
的坐标为3)-．
提示：设(,,)OM x y z =
，cos 6
x x
r α===
，x =1cos 26y y r β===，3y =；
由2
22cos
cos cos 1αβγ++=，有1cos 2
γ=-，3z =-.
5.与向量(16,15,12)a =-
平行，方向相反且长度为75的向量为(48,45,36)--．
6．设()()11112222,,,,,M x y z M x y z ,则12M M
=
7.与向量(6,7,6)a =- 平行的单位向量为67
6,,111111⎛⎫±- ⎪⎝⎭
．
8.向量AB
在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为44-，，7，它的终点坐标为(2,1,7)B -， 则起点坐标(2,3,0)-．提示：若(,,)A x y z ，则AB
(4,4,7)(2,1,7)x y z =-=----.
9. 若()(),,,,,,x y z x y z a a a a b b b b ==
则a b ± =(,,)x x y y z z a b a b a b ±±±． b a ⇔ ∥y x z x y z
a a a
b b b ==．
10．在xoy 面上，与三点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点为3821,,05
5⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭．
提示：设点(,,0)D x y ，由222
AD BD CD ==得2610
8142
x y x y -=⎧⎨
-+=⎩.
二、单项选择题
1.设向量,a b
互相平行，但方向相反，当0a b >> 时，必有 A ．
Ａ．a b a b +=- Ｂ．a b a b +>- Ｃ．a b a b +<- Ｄ．a b a b +>+
2.下列各组角可以作为某向量的方向角的是 A ．
A ．90,150,60αβγ===
B ．45,135,60αβγ===
C ．60αβγ===
D ．60,120,150αβγ===
三、计算题
1.
已知两点()
1M 和()
23,0,2M ．计算向量12M M
的模、方向余弦和方向角．
解：()
1M ，()23,0,2M ，
∴()
121,M M =-
，122M M = ．
∴1212M M M M
11,2
22⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，方向余弦为12-
，，12，方向角为0120，0135，0
60． 2.设()()()3,5,8,2,4,7,5,1,4m n p ==--=- ，求向量43a m n p =+-
在x 轴上的投影
及在y 轴上的分向量．
解：()()()3,5,8,2,4,7,5,1,4m n p ==--=-
，
∴ 43(13,7,15)a m n p =+-= ， 故在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j ． 3.向量a 与三坐标轴的正向构成相等的锐角，其模长为3，求a ．
解：设 (,,)a x x x = ，且0x >，由3a = ，有2
39x =，
得x =
∴a =
．
第二节 数量积 向量积
一、填空题
1．a ⇔ ⊥b 0b a ⋅= ；a b ⇔ ∥0a b ⨯=
．
2．向量()(),,,,,x y z x y z a a a a b b b b ==
,若两向量夹角为θ，则 cos θ
a b a b a b ++
3．向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=- ,则()
23a b -⋅= 18-,2a b ⨯= 10214i j k ++
．
4．已知点()()()2,4,,3,7,5,,10,9A n B C m 三点共线，则m = 4 ，n = 1 ．
5．已知点()()()1231,1,2,3,3,1,3,1,3M M M -,与,M M M M 1223
同时垂直的单位向量
为2,2)--． 提示：与,M M M M 1223 同时垂直的单位向量为M M M M M M M M ⨯±⨯1223
1223
.
6．设()()2,5,1,1,3,2a b ==- ,a b λμ+
与z 轴垂直，则λ与μ的关系2λμ=． 提示：()0a b k λμ+⋅=
.
7．,,a b c 为三个非零向量，a b ⊥,a 与c 的夹角为π3，b 与c 的夹角为π
6
，且
a =1,2,3
b
c == ，则a b c ++=
提示：2()()a b c a b c a b c ++=++⋅++ . 二、单项选择题
1. 已知()()0,3,4,2,1,2a b ==- ，则a
b =
Pr j C ． A ．３ Ｂ．1
3
-
Ｃ．－１ Ｄ．１
提示：515a a b b a
⋅-==
=-
Prj . 2.已知向量,a b
的模分别为4,2a b ==
，且a b ⋅= ，则a b ⨯= C ．
A
．
2
B
．
．．2 提示： cos(,)a b a b a b ⋅= ，
cos(,)2a b = ， sin(,)a b a b a b ⨯=
=三、计算题
1．()()()2,3,1,1,1,3,1,2,0a b c =-=-=-
,求()
a b c ⨯⋅ ．
解：23185113
i j k
a b i j k ⨯=-=--+-
，所以()
(8,5,1)(1,2,0)2a b c ⨯⋅=--⋅-= ．
2．求向量()4,3,4a =- 在向量()2,2,1b =
上的投影．
解：6Pr j 23b a b a b ⋅==
==
． 3．已知3,26,72a b a b ==⨯=
，求a b ⋅ ．
解：∵sin 72a b a b θ⨯== ∴7212sin 32613θ=
=⨯
，5
cos 13
θ==±，从而5cos 3263013a b a b θ⎛⎫
⋅==⨯⨯±=± ⎪⎝⎭
．
4．化简：(
)()()
a b c c a b c b b c a ++⨯+++⨯--⨯
．
解：()()()a b c c a b c b b c a ++⨯+++⨯--⨯
a c
b
c a b c b b a c a =⨯+⨯+⨯+⨯-⨯+⨯ a c b c a b b c a b c a =⨯+⨯+⨯-⨯+⨯-⨯
2()a b =⨯ ．
第三节 曲面及其方程
一、填空题
1．xoy 面上双曲线224936x y -=分别绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转曲面的方程依次 为36)(94222=+-z y x 和369)(4222=-+y z x .
2．曲面2221x y z --=是由xoy 面上的曲线221x y -=绕x 轴旋转一周所得或由xoz 面上 曲线12
2
=-z x 绕x 轴旋转一周所得.
3．
222
1484
x y z ++=表示的曲面为 旋转椭球面 ． 4．2235x y z +=表示的曲面为 椭圆抛物面 ．
5．z =
表示的曲面为 圆锥面的上半部分 ．
6.22y x =表示的曲面为 母线平行于z 轴的抛物柱面 ．
二、计算题
1．一动点与两定点()2,3,1A 和()4,5,6B 等距离，求这动点的轨迹方程． 解：设动点为),,(z y x P ，则由题意知：22||||PB PA =,
从而2
2
2
2
2
2
)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x
即 0631044=-++z y x ∴动点的轨迹方程为：0631044=-++z y x ． 2.将xoz 坐标面上的曲线z x a =+分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程. 解：在xoz 面上的a x z +=绕x 轴旋转一周，所得旋转曲面为：a x z y +=+±
22即
222)(z y a x +=+，
同理，绕z 轴旋转一周后，得旋转曲面方程为：a y x z ++±=2
2， 即2
22)(y x a z +=-．
3.说明下列旋转曲面是怎样形成的：
⑴
2221499x y z ++= ⑵2
2214
y
x z -+= 解：(1) xoy 面上的曲线19
422=+y x (或xoz 面上的曲线1942
2=+z x )绕x 轴旋转一周所得；
(2) xoy 面上的曲线1422
=-y x (或yoz 面上的曲线14
22
=-y z )绕y 轴旋转一周所得． 4.
画出由曲面4z =22z x y =+及221x y +=所围立体(含z 轴部分).
解：4z =)4,0,0(的下半圆锥面，22z x y =+表示旋转抛物面，
221x y +=表示圆柱面，从而三者所围立体即可得到，如图所示．
第四节 空间曲线及其方程
一、填空题
1.母线平行于y 轴且经过曲线222222
2160
x y z x z y ⎧++=⎨+-=⎩的柱面方程为22
3216x z +=. 2.
球面z =
z =xoy 面上的投影方程为
221
x y z ⎧+=⎨
=⎩. z 22
z x y =+ 221x y +=
4z =图8-1
x y
O
3.旋转抛物面()2
2
04z x y z =+≤≤在xoy 面上的投影为224
x y z ⎧+≤⎨=⎩，在y
o z 面上的投 影为240y z x ⎧≤≤⎨=⎩
.
4.
圆锥面z =2
2z x =所围立体在xoy 面上的投影为2220x y x
z ⎧+≤⎨=⎩
，在
xoz
面上的投影为0
x z y ⎧≤≤⎪⎨
=⎪⎩ 二、单项选择题
1.曲线222
1
:1645
230x y z x z Γ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩
关于xoy 面的投影柱面的方程是 A . A .2220241160x y x +--= B .22441270y z z +--=
C .22202411600x y x z ⎧+--=⎨=⎩
D .224412700y z z x ⎧+--=⎨=⎩
2.曲线2220
3y z x z ⎧+-=⎨=⎩
在面xoy 上的投影曲线的方程是 B .
A .220y x z ⎧=⎨=⎩
B .2290y x z ⎧=-⎨=⎩
C .2293y x z ⎧=-⎨=⎩
D .223y x
z ⎧=⎨=⎩
三、将曲线方程2222
2443812y z x z
y z x z ⎧++=⎨+-=⎩化成母线分别平行于x 轴及z 轴的柱面的交线方程. 解：将2222
2443812y z x z y z x z ⎧++=⎨+-=⎩
分别消去,x z ，得 224y z z += ① 240y x += ②
再将①②联立得交线方程：222440
y z z
y x ⎧+=⎨+=⎩．
第五节 平面及其方程
一、填空题
1.设一平面经过点()
000,,x y z
,且垂直于向量(),,A B C ，则该平面方程为
000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=
. 2.平面260x y z -+-=与平面250x y z ++-=的夹角为
π
3
.
3.平行于xoz 面且经过点()2,5,3-的平面方程为50y +=.
4.经过x 轴和点()3,1,2--的平面方程为20y z +=. 提示：过x 轴的平面方程设为0By CZ +=.
5.点()1,2,1到平面22100x y z ++-=的距离为 1 .
提示：d =
.
二、求平行于x 轴且经过两点()4,0,2-和()5,1,7的平面方程.
解：设所求平面方程为0By Cz D ++=， 又平面过()4,0,2-()5,1,7两点
2070C D B C D -+=⎧∴⎨
++=⎩, 29D C
B C
=⎧∴⎨=-⎩， ∴所求平面方程为：920y z --=． 三、一平面过点()1,0,1-且平行于向量()2,1,1a = 和()1,1,0b =-
,试求该平面方程.
解：设平面的法向量为n ，则n a b =⨯ ，2113110
i j k
n i j k ∴==+--
，从而
(1,1,3)n =-
． 又 平面过点(1,0,1)-，∴所求平面方程为(1)3(1)0x y z -+-+=，即340x y z +--=.
四、求平面2250x y z -++=与各坐标面夹角的余弦.
解：平面2250x y z -++=的法向量(2,2,1)n =-
，设平面与,,yoz xoz xoy 面的夹角分
别为,,αβγ， 又yoz 面的法向量(1,0,0)i =
2c o s .
3
n i n i α⋅∴== 同理．21cos ,cos .33
βγ=
= 第六节 空间直线及其方程
一、填空题
1．设直线经过点()000,,x y z ，且平行于向量(),,m n p ,则该直线的对称式方程为
00o x x y y z z m n p ---==
,参数方程为000x x mt
y y nt z z pt
=+⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
. 2．直线124
x y z x y z -+=⎧⎨
++=⎩的对称式方程为302213x y z --+==-. 3．过点()0,2,4且与两平面21x z +=和32y z -=平行的直线方程为
02
4
23
1
x y z ---==-. 4．直线30
x y z x y z ++=⎧⎨
--=⎩与平面10x y z --+=的夹角为 0 .
5．点()3,1,2-到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨
-+-=⎩
的距离为. 提示：过(3,1,2)A -与10
:240
x y z L x y z +-+=⎧⎨
-+-=⎩垂直的平面为1y z +=，该平面与直线L 的
交点131,,22B ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，则A 到直线L 的距离即为AB .
6．过直线1:L 4020x z y +-=⎧⎨-=⎩
且平行于直线221:211x y z
L +-==的平面方程为 320x y z -++=.
提示：过1L 的平面束
:(4)(2)0x z y λ∏+-+-=， 2∥L ∏20n s ∴⋅= ,2(1,,1),(2,1,1)n s λ==
210λ∴++=,得3λ=-．∴平面为43(2)0x z y +---=，即320x y z -++=..
7．直线3260
40
x y z x y z D -+-=⎧⎨
+-+=⎩与z 轴相交，则D = 3 .
二、单项选择题
1．两直线1158
:121x y z L --+==-与26:23
x y L y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 C . A ．
π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2
2．直线
111
x x y y z z m n p
---==与平面0Ax By Cz D +++=的夹角θ满足 C . A ．
sin θ=
B ．cos θ=
C ．sin θ=
D ．cos θ=
3．过点()2,0,3-且与直线2470
35210
x y z x y z -+-=⎧⎨
+-+=⎩垂直的平面方程是 A .
A ．16(2)14(0)11(3)0x y z --+-++=
B .(2)2(0)4(3)0x y z ---++=
C ．3(2)5(0)2(3)0x y z -+--+=
D .16(2)14(0)11(3)0x y z -++++-= 4．设直线3210
:21030
x y z L x y z +++=⎧⎨
--+=⎩及平面:4220x y z ∏-+-=，则直线L C .
A ．平行于∏
B ．在∏上
C ．垂直于∏
D ．与∏斜交
提示：判断直线的方向向量与平面的法向量的关系.
三、计算题
1．求过点()4,1,3-且与直线230
:510
x y L y z --=⎧⎨
-+=⎩平行的直线方程．
解：设直线L 的方向向量1202
5051
i j k
s i j k =-=++-
，∴所求直线的方向向量(2,1,5)s '=
，从而直线方程为：413215
x y z -+-==． 2．求直线240
3290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩
在平面41x y z -+=上的投影直线的方程．
解：过已知直线的平面束方程为：329(24)0x y z x y z λ---+-+=，
即(32)(14)(2)90x y z λλλ+-++--=．要使其与平面41x y z -+=垂直，则满足
4(32)1420,λλλ++++-= 11
.13λ=-
1731371170.x y z ∴+--= ∴投影直线方程为 41.1731371170
x y z x y z -+=⎧
⎨
+--=⎩ 3．求过直线20:4236x y L x y z +=⎧
⎨
++=⎩且切于球面222
4x y z ++=的平面方程．
解：设所求平面方程为：4236(2)0x y z x y λ++-++=
即(42)(2)360x y z λλ++++-= 由题意知：(0,0,0)到平面的距离为2
2=即2440λλ++=2λ∴=-∴所求平面方程为：2z =．
第八章 自测题
一、填空题（每小题3分，共24分）
1．设a =()2,5,1-，b =()1,3,2,问λ与μ有怎样的关系2λμ=，λa +μb 与z 轴垂直． 2．若已知向量a =()3,4,0,b =()1,2,2,则a ,b
夹角平分线上的单位向量
为
．提示： a ，b 夹角平分线上的单位向量为a b a b a b
a b
+±+
.
3．若两个非零向量a ,b
的方向余弦分别为111cos ,cos ,cos αβγ和222cos ,cos ,cos αβγ， 设a ,b
夹角为ϕ，则cos ϕ=122112cos cos cos cos cos cos ααββγγ++．
4．过直线
122
232
x y z -+-==-且与平面3250x y z +--=垂直的平面方程为 81390x y z -++-=．
提示：L ：122232x y z -+-==-，化为一般方程12
23
22
3
2x y y z -+⎧=⎪⎪-⎨+-⎪=⎪-⎩， 即3210
2320
x y y z ++=⎧⎨+-=⎩，过L 的平面束为：321(232)0x y y z λ++++-= ① (3,22,3)n λλ=+ ，(3,2,1)s =-
，由0n s ⋅= 得13λ=-，代入①，可得平面方程.
5．直线1l :
158121x y z --+==-与直线2l :623
x y y z -=⎧⎨-=⎩的夹角θ=1
arccos 6． 6．点()3,-4,4到直线
452
221
x y z ---==-
的距离为 提示：过()A 3,-4,4与L ：452
221
x y z ---==-垂直的平面为：
2(3)2(4)(4)0x y z --++-=，与L 的交点为(8,1,4)B ，A 到L 的距离即为AB . 7．曲线22210x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在xoy 面上的投影曲线为222221
0x y xy z ⎧++=⎨=⎩
．
8．与两直线1
12x y t z t
=⎧⎪
=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行，且过原点的平面方程为 0x y z -+=．
二、单项选择题（每小题3分，共12分）
1．点()3,2,2P -在平面32210x y z -+-=上的投影点是 B ． A ．()3,1,2- B ．301720,,7
77⎛⎫
-
⎪⎝⎭ C ．()7,2,1 D ．()2,21,3--
提示：过()3,2,2P -与平面 垂直的直线为322
312x y z -+-==-，
其与平面∏的交点即为投影点. 2．直线
224
213
x y z -+-==-与平面4x y z ++=的关系是 A ． A ．直线在平面上 B ．平行 C ．垂直 D ．三者都不是 3．两平行平面23490x y z -++=与234150x y z -+-=的距离为 C ．
A ．
629 B ．2429 C
D
提示：两平行平面的距离为平面上任一点到另一平面的距离 4．xoz 平面上曲线e x
z =绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为 A ．
A
e x = B ．22e x y z += C ．2
2
e x
y z += D
．z =三、计算题（共64分）
1．求与坐标原点O 及点()2,3,4A 距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程，它表示 怎样的曲面？（本题6分）
解：设所求曲面上的点为(,,)x y z ，则由题意知：2222221
(2)(3)(4)4
x y z x y z ++=
-+-+-， ∴ 曲面方程为：222333468290x y z x y z +++++-=，表示一球面．
2．将空间曲线方程22216
0x y z x z ⎧++=⎨+=⎩
化为参数方程．（本题5分）
解：把z x =-代入2
2
2
16x y z ++=，得22
216x y +=
，令x t =，4sin y t =，
则z t =-，
∴空间曲线方程的参数方程为：4sin x t
y t z t
⎧=⎪
=⎨⎪
=-⎩．
3．求中心点在直线2470
45140x y z x y z +--=⎧⎨++-=⎩
上且过点A ()0,3,3和点B ()1,3,4-的球面方
程．（本题6分）
解：把247045140
x y z x y z +--=⎧⎨++-=⎩化为对称式方程：
7
002322x y z -
--==-，设球心坐标为 73,2,22O t t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则OA OB =，从而 ()()()22
2227932233423222t t t t t ⎛⎫⎛⎫
-+-=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴32t =， ∴(1,3,3)O -，1OA =，所以球面方程为2
2
2
(1)(3)(3)1x y z ++-+-=．
4．求通过直线0
230x y z x y z ++=⎧
⎨
-+=⎩且平行于直线23x y z ==的平面方程．（本题7分）
解：设所求平面的方程为：(23)0x y z x y z λ+++-+=，即
(12)(1)(13)0x y z λλλ++-++=，(12,1,13)n λλλ=+-+ ，又∵直线11
123
x y z
==
平行于平面， ∴1112(1)(13)023λλλ++
-++=， ∴1115
λ=-， ∴所求平面方程为：726180x y z -+=．
5．点()2,1,1P --关于平面∏的对称点为1P ()-2,3,11，求∏的方程．（本题7分）
解：设1PP 的中点为0P ，则0(0,1,5)P ，1(4,4,12)PP =- ，∵1
//PP n ，取(1,1,3)n =-
，由题意知所求∏的方程为：(0)(1)3(5)0x y z --+-+-=，即3160x y z -++-=．
6．直线10
:10
x y z L x y z +--=⎧⎨
-++=⎩在平面:0x y z ∏++=上投影直线L 0的方程．（本题7分）
解：设所求平面方程为：1(1)0x y z x y z λ+--+-++=，即
(1)(1)(1)10x y z λλλλ++-+-+-=，1(1,1,1)n λλλ=+--
， 又∵2(1,1,1)n = ，22n n ⊥
， ∴1110λλλ++-+-= ∴1λ=-，
∴ 10y z --=， ∴ 投影直线L 0的方程为：1
0y z x y z -=⎧⎨
++=⎩
．
7．求过直线5040
x y z x z ++=⎧⎨
-+=⎩且与平面48120x y z --+=成π
4角的平面方程．（本题7分）
解：设所求平面的方程为：5(4)0x y z x z λ+++-+=，
即(1)5(1)40x y z λλλ+++-+=，1(1,5,1)n λλ=+- ，又∵2(1,4,8)
n =--
，12
12πcos 4n n n n ⋅==
，=即，解得34λ=-， 又平面40x z -+=与平面48120x y z --+=
的夹角余弦cos =
=
θ π.4
∴=
θ ∴所求平面方程为：207120x y z ++-=及40x z -+=.
8．求过点()P 2,1,3且与直线l :
11321
x y z
+-==-垂直相交的直线方程．（本题7分） 解：由题意知，过点P ()2,1,3且垂直与l 的平面方程为：3(2)2(1)(3)0x y z -+---=
即3250x y z +--=，令31
21x t y t z t
=-⎧⎪
=+⎨⎪=-⎩，代入上述平面方程，解得37t =．所以平面与l 的
交点为02133,,777P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，由于所求直线的方向向量0
//s P P ，所以取(2,1,4)s =- ， 所以直线方程为
213
214
x y z ---==-． 9．直线过点()3,5,9A --且和直线1l :3523y x z x =+⎧⎨=-⎩,2l :47
510y x z x =-⎧⎨=+⎩
相交，求此直线方程．
（本题7分）
解：设所求直线为l ，则l 与1l ，2l 分别相交，1l ：5332y z x -+=
=，2l ：710
45
y z x +-==， 所以取11(0,5,3)P l -∈，1(1,3,2)s = ，1(3,0,6)AP = ；22(0,7,10)P
l -∈，2(1,4,5)s =
， 2(3,12,19)AP =- ，令111(18,0,9)n s A P =⨯=-
，222(136,4,24)n s AP =⨯=--
，
过l 与1l 的平面方程为：2(3)(9)0x z +-+=，即230x z --=；过l 与2l 的平面方程为：
34(3)(5)6(9)0x y z +---+=，即346530x y z --+=；所以直线l 的方程为：
230
346530x z x y z --=⎧⎨
--+=⎩
．。