数值分析5-2(高斯消去法)知识讲解
合集下载
数值分析Gauss消去法课件
高斯消元法的代码实现
初始化矩阵
将系数矩阵A进行初始化，并存储在二维数 组中。
消元过程
通过一系列行变换，将系数矩阵变为上三角 矩阵。
主元选择
选择主元，即系数矩阵中所在行和列的最大 元素。
回带求解
利用上三角矩阵的元素，求解线性方程组的 解。
选主元的优化策略
1 2
自然主元
选择系数矩阵中绝对值最大的元素作为主元。
病态问题
对于一些病态问题，高斯 消元法可能无法得到准确 解，需要采用其他方法进 行求解。
01
Gauss消去法的应 用实例
应用领域与案例介绍
线性方程组求解
01
Gauss消去法是求解线性方程组的一种常用方法，适用于大ห้องสมุดไป่ตู้模
、稀疏矩阵的求解。
矩阵求逆
02
通过Gauss消去法可以计算矩阵的逆，这在许多科学计算和工程
最小二乘主元
选择使所在行和列的绝对值之和最小的元素作为 主元。
3
随机主元
随机选择一个元素作为主元，可以避免某些数值 问题。
数值稳定性与误差控制
01
02
03
数值稳定性
高斯消元法在某些情况下 可能产生数值不稳定性， 如主元接近零或数值误差 累积。
误差控制
在消元过程中，可以通过 一些技巧来控制误差，如 预处理、选主元策略和舍 入误差控制。
领域中都有应用。
特征值和特征向量计算
03
Gauss消去法可以用于计算矩阵的特征值和特征向量，这在物理
、工程和经济学等领域有广泛的应用。
实际应用中的问题与挑战
数值稳定性
Gauss消去法在处理病态问题或 接近奇异矩阵时可能会出现数值 不稳定性，导致计算结果误差较 大。
数值分析第五版第5章学习资料
6
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
第一节 高斯消去法
2 x1 2 x2 3 x3 3 4 x1 7 x2 7 x3 1 2 x 4 x 5 x 7 1 2 3
解：首先写出增广矩阵
2 2 3 3 4 7 7 1 ( A b) 2 4 5 7
i1 2
行初等变换得下述方程组
(1 a11) 0 ... 0 (1 a12) (1 ... a1n)
a
( 2) 22
... a ...
( 2) 2n
...
( an32)
...
(3 ...... (3) bn
[ A3 b3 ]
a1(1) n ... ... ...
(k akn ) ... ( ... akk ,1n) 1
(k ann1)
b1(1) (k ) bk ( bkk 1) 1 ( k 1 ) bn
( i , j k 1, , n)
(4) 当 akk
A3 x b3
(3) 第 k 步消元。设第 k-1 次消元已经完成，若增广矩阵
a (1) 11
若a
a
(1) 12
a
(1) 13
... ...
(k akk )
(2 a22 )
(2 a23 )
a1(1) ... n ( 2) ... a2 n
(k ... akn )
k ,k
max ai ,k , i k , k 1,, n
k i n
否则转Step 7
算法: Gauss列主元消去算法（续）
Step 3 for i=k+1,…,n 计算
lik
数值分析课件 (第5、6章)
(1 ( La1n) b11) (2) (2) a L 2n b2 = A(3) : b(3) LM M (3) (3) Lamn bn
[
]
( ( ( aij3) = aij2) −mij a22) j (3) ( bi = bi(2) −mi2b22)
(i = 3,L m j = 3,L n) , ; , (i = 3,L m) ,
[
]
( ( ( aij2) = aij1) − mij a11) j (2) bi = bi(1) − mi1b(1) 1
研究生公共课程数学系列
(i = 2,L m j = 2,L n) , ; , (i = 2,L m) ,
机动 上页 下页 首页 结束
(2)
[A
(2)
: b(2)
]
(1 (1 a11) a12) (2 0 a22) = M M (2) 0 am2
(n)
续 述 程 到 成 s 消 计 。 继 上 过 , 直 完 第步 元 算
后 到 原 程 等的 单 程 A 最 得 与 方 组 价 简 方 组 (s+1) x = b,(s+1) 中（ ） 上 形 其 A s+1 为 梯 。
(1 (1 (1 a11) a12) L a1n) (2 ( a22) L a22) n = O M (n ann)
( a2k ) k m = (k ) ik akk
(k (akk ) ≠0)
−−−−−→
(i=k+1,Lm) ,
(1 (1 ( a11) a12) L a11) k (2 ( a22) L a22) k O M (k akk ) M 0
研究生数值分析第四版第二章2.1Gauss消去法
2 x1 2 x2 3x3 3 3x2 x3 5 6 x2 8 x3 4
消元2
(1) ×2-(2)
(1)+(3)
3x2 x3 5 6 x2 8x3 4
6 x3 6
x3 1 x 2 2 x 2 1
(1)
a23 a33
(1)
a2 n1 a3n1
(1)
a2 n a3n(1)(1)()(1)(1)
ann1
a1n1
(1) ( 2)
ann
a1n
(1)
(1)
an 3
a13
(1) ( 2)
(1)
(1)
(1) b2 (1) b3 (1) bn
(1)
x3 1 x 2 2 x 2 1
二、Gauss消去法 1、Gauss消去法的基本思想： 消元与回代。 Gauss消去法分为: 顺序Gauss消去法,列主元素Gauss消去法 2、顺序Gauss消去法 例1在四位十进制的限制下，试用顺序Gauss消去法求 解下列线性方程组
天河一号 曾经的王者
2011年6月21日日本理化学研究所20日宣布，与富士 通共同研发中的超级计算机“京”以每秒8612万亿次的 运算速度在最新全球超级计算机500强排名中位列第一。
9.707 10 31 4 8 3600 8612 10 10
20
由170个机 柜组成的 天河二号 整齐排列， 气势恢宏。
a13
a1n
(1) (1)
b1
a23 a33
a2 n1 a3n1
a2 n a3n
(1)
(1)
(1)
ann1
高斯消去法
高斯消去法高斯消去法，又称高斯消元法，实际上就是我们俗称的加减消元法。
数学上，高斯消去法或称高斯－约当消去法，由高斯和约当得名（很多人将高斯消去作为完整的高斯－约当消去的前半部分），它是线性代数中的一个算法，用于决定线性方程组的解，决定矩阵的秩，以及决定可逆方矩阵的逆。
当用于一个矩阵时，高斯消去产生“行消去梯形形式”。
目录例如信息学方面的应用下面介绍一下矩阵的初等行变换:对于增广矩阵A求解线性方程组的步骤：历史编辑本段例如一个二元一次方程组，设法对每个等式进行变形，使两个等式中的同一个未知数的系数相等，这两个等式相减，得到一个新的等式，在这个新的等式中，系数相等的未知数就被除去了（系数为0）。
同样的也适合多元多次方程组。
编辑本段信息学方面的应用高斯消元是求解线性方程组的重要方法，在OI中有广泛的应用。
本文就来讨论这个方法。
什么是线性方程组？含m个方程和n个未知量的方程组定义为a(11)x(1)+a(12)x(2)+...+a(1n)x(n)=b(1)a(21)x(1)+a(22)x(2)+...+a(2n)x(n)=b(2)...a(m1)x(1)+a(m2)x(2)+...+a(mn)x(n)=b(m)这个方程组称为m*n线性方程组，其中a(ij)和b(i)为实数，括号中为下标。
这个方程组有多种表示方法。
例如，我们知道m*n矩阵（用大写字母表示）是一个m行n列的数阵，n维向量（用加粗的小写字母表示）是n个数的数组，也就是一个n*1矩阵（列向量。
我们不考虑行向量）。
另外，大家也都知道矩阵乘法。
因此一个m*n线性方程组可以表示为Ax=b，其中A是由系数aij组成的m*n矩阵即系数矩阵，x是n维的未知数向量，b是m维的结果向量。
如果把向量b写到A的右边得到m*(n+1)的矩阵，得到的新矩阵称为这个方程组的增广矩阵。
每一个方程组均对应于一个增广矩阵。
编辑本段下面介绍一下矩阵的初等行变换:1 交换两行2 用非零实数乘以任一行3 把某一行的倍数加到另一行上同理可以定义初等列变换。
高斯消去法
A x=b
(2)
(2)
A
(1)
(1 a11) 1 ( a 21) (1) b = a (1) n1
( a12)
1 1
L L L L
a1(n)
1 1
( a 22) L ( a n12)
( a2 n) (1 ann)
b1( ) (1) b2 M ( bn1)
General procedure of Gaussian elimimation Step 1. Denote Ax=b as A x = b
(1)
(1 a11) (1) a 21 a (1) n1 ( a12)
1
(1)
(1) A(1) = (aij ) = (aij ) = A, b(1) = (bi(1) ) = (bi ) = b
线性方程组由增广矩阵唯一确定
A b
Existence and uniqueness of the solution？ ？
解存在唯一 ⇔| A |≠ 0
How to get the solution？ ？ Di xi = Cramer rule: Computation cost: (n+1)!
解线性方程组
非零元素 较多，零 元素较少
上万阶，零元素很多， 非零元素很少
矩阵计算 高阶稀疏
低阶稠密 直接法:
Gaussian elimination 完全主元素(pivoting)消去法 列/行/完全主元素 行 完全主元素 消去法 Gauss-Jordan elimination Square root/improved square root methods
第三章-高斯消去法
对于（A (1) , b (1) )中个元素的计算公式为：
( ( (0 a11j) a10) / a11) j (1) ( 0) ( 0 ) (1) a ij a ij a i1 a1 j
( j 2, , n 1) (i 2, , n; j 2, n 1)
2 1 3 1 4 2 5 4 2 0 2 6
第一步：先将方程（1）中未知数 边，得到下列方程组：
x 1的系数2除（1）的两
1 3 1 x1 2 x 2 2 x 3 2 I1 4 x1 2 x 2 5x 3 4 2x 2x 3 6 1
( a 10 ) n
a (0) 22
(0 a 32)
a (0) 2n
( a 30 ) n
a (0) 42
a (0) 4n
( a 10 ) 1 n (0) a 2 n 1 ( a 30 )1 n (0) a 4n 2
(0 第一步：对（A ( 0) , b ( 0)）的第一行个元素除以a11) , 然 0 后用第i行元数（i 2, , n )减去第一行对应元素的a i(1 ) (0 倍， 2, , n ), 这样，a11) 位置变为 ，其余各行的第一 (i 1
(1 a12) 1
(1 a13) a ( 2) 23
0 0
( a 11)1 n a ( 2 )1 2n 记为 ( 2) ( 2) a 33 a 3n 1 （A ( 2 ) , b ( 2 )） ( 2) ( 2) a n 3 a nn 1
k 对第k行各元素除以a (kk1) , 第i行的元素减去第k行对应 (k 元素的a ik 1)倍（i k 1, , n ), 这样就将第k行第k个元
高斯消去方法详解
§2 Matrix Factorization – Doolittle
道立特分解法:—— LU 分解的紧凑格式
a a 11 ... 1 n 1 很浪费哦 ……
思 通过比较法直接导出L 和 U 的计算公式。 路 反复计算,
. . . . l21 1 . . . . . . ... . . . . . ln a 1 ... n 1 ... a nn u 11 ... u 1 n . ... . . . . . 1 u nn
1
n
直接比较等式两边 的元素，可得到计 算公式（p.52）。
x y , x y x ( i n 1 , ... , 1 ) Step 3: 赶——即解U ：n x y n i i i i 1
பைடு நூலகம்
i
§2 Matrix Factorization – Tridiagonal System
k 1 ,k
.. . m n ,k
1
§2 Matrix Factorization – Matrix Form of G.E.
1
1
1 L k
1 m m
k 1 ,k
L L ... L
1
1 1 1 2
1 n 1
1
记为
.. .
n ,k
m
L
i, j
1
a
(1 ) 11
~ ~ T A L L
T Since det( u > > k)0? ii A A Lis L 使得 Why 。若限定 L 对角元为正，则分解唯一。
n n 定理 设矩阵A对称正定，则存在非奇异下三角阵 L R
数值分析5(高斯消元法)
a31 a11
b1 b1
an 1 a11
a12 ann
an 1 a11
an 1 a11
消元阶段: 所用除法次数(n-1)+ (n-2)+· · · +1= n(n-1)/2, 所用乘法次数(n-1)*n+ (n-2)* (n-1) +· · · +1*2= (n3-n)/3。
回代阶段:
25/44
13:30
含n个变量的n个方程的一般形式是
a11 a21 a n1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann b1 b2 bn
消去阶段: 使用行初等变换使对角线以下的每个 元素都为零。 例如,消去第一列对角线以下的元素a21 , a31, · · · , an1。
13:30
求解
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
12/44
13:30
线性方程组的矩阵形式
27/44
计算：xn = bn /ann
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a nn x n bn
13:30
高斯消元法由不相等的两部分组成:工作量相对多 的消元阶段和工作量相对少的回代阶段。对于大的n, 幂次较低的n相比而言可以忽略不计,最高次幂决定了 当n趋近于无穷时的极限形态。换而言之, 对大的n, 低 阶项对算法的执行时间的估计没有太大的影响, 当仅需 近似估计执行时间时可以忽略不计。
高斯消去法
第二節 高斯消去法 (Gaussian Elimination)在上一節中的例11中，利用基本列運算化簡線性方程組的增廣矩陣求得一組解，而且恰有一組解，但是否每一個線性方程組都是如此呢？試觀察下面的例子：例1：解{)1(164143510∗=++−=−+=+L zyx z y x z x 解：將方程組以增廣矩陣方式表示，並化簡：−−1156144131001 131243R R R R −−−−−−1916534103410100123R R −−−−316500034101001 因此 與下列是等價的)1(∗)2(∗{)2(301634510∗−=−=−=+L z y z x由第三個方程式，可知中含有矛盾式，因此原方程組無解。
)2(∗)1(∗例2：解 …（1−=++−=++=−+15177125222z y x z y x z y x ＊） 解：化簡方程組之增廣矩陣：−−−1517712522121 131272RR R R −−−−−15123054102121233RR −−−000054102121 212R R −−−0000541012901 因此（1＊）與 是等價的。
=−=+=−0054129z y z x 令 ，則t z = −−=+=54129t y t x 故方程組之解集合為 {}R t t t t ∈−−+),54,129(。
註：上式中的解之表示為參數式，其中為參數，其實也可以令為參數或t y x 為參數，但會得出不同形式的解集合，這些不同形式的集合都是一樣。
定義（a ）一個矩陣若有下面的形式則稱為列梯形（row-echelon form ）RE1. 零列一定排在最底下RE2. 在非零列中，左邊看過來第一個非零元素是1，稱為領導元1（leading 1）RE3. 每一個領導元1都在上方領導元1的右邊（好像下樓梯一般）（b ）一個列梯形的矩陣若有下列的情形又稱為最簡（reduced ）RE4. 在有領導元1的那一行只有那一個領導元1不是零。
高斯消去法
mi1
a (1) i1
/
a (1) 11
(i 2, 3,L , m)
用-mi1 乘方程组的第一个方程加到第i个方程，则原方程组同
解方程组为：
a1(11)
0
M 0
a1(12) a2(22)
M am(22)
L L M
a1(1n) a2(2n)
M
x1
x2
M
b1(1) b2(2)
M
L am(2n) xn bm(2)
2020/6/3
数值分析
引言
在自然科学和工程技术中许多问题的解决转化为解线性方 程组，而这些方程组的系数矩阵大致分为两种，一种是低阶稠 密矩阵，一种是高阶稀疏矩阵。
解线性方程组的数值解也有两种： 直接法，就是经过有限步算术运算，可以求得线性方程 组的解，但实际计算时有舍入误差的存在和影响，所以求 得的结果也只能是近似解对低阶稠密矩阵和部分大型稀疏 矩阵有效。
第五章 解线性方程组的直接方法
5.1 高斯消去法 5.2 高斯主元素消去法 5.3 矩阵的三角分解 5.4 误差分析
2020/6/3
数值分析
【本章重点】 1．Gauss 消去法和列主元消去法及其实现条件。 2．矩阵的三角分解，含LU分解和LLT 分解及三对角方程组的追
赶法。 3．向量和矩阵范数的定义及性质。 4．矩阵条件数及病态矩阵定义和解方程组直接法的误差估计。
即
a(1) 11
0
M
a(1) 12
a(2) 22 M
L L M
a(1) 1n
a(2) 2n M
x1
x2
M
b(1) 1
b(2) 2 M
0
0
数值分析(05)高斯消元法
求解 Ax b
A Rnn
将原方程组 Ax b 化为同解的上三角方程组 Ux g
初等变换
ຫໍສະໝຸດ
中依次 解出xn-1,xn-2,….,.x..1..。..这.....样....就....完....成....了....上....三.. 角..方程组
的求解 过程。这个过程被a称n为1n回1 xn代1 过 a程n1其n x计n 算b步n1骤如
下：
其中aii 0
am1
am 2
amn
b1
b2
bm
数值分析
数值分析
结论1 （线性代数方程组有解判别定理）线性方程组 Ax b有解的充分必要条件是：秩（A）=秩（A）
结论2 线性方程组Ax b有解（即相容）时， (1)秩( A) 秩( A ) r n,则方程组Ax b存在唯一解。
直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算 可求出精确解。
迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限 次迭代过程求解。有限次截断得近似解。
极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次
模函数的极小化问题，即变分法（经n
次运算，理论上得精确解）要求A
对称正定(S.P.D)
数值分析
数值分析
第二节 高斯消元法
a21 x1 a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
5.2高斯消去法
行变换相 当于左乘 初等矩阵
由于
1 ai(1 ) mi 1 ( 1) a11
i 2 ,3 , , n
令
1 m21 L1 mn 1
( 1) ( 1)
1 1
(2) (2)
则
L1 ( A , b ) ( A , b )
A LU
该过程称之为 矩阵A的LU分解. 由上述分析不难得到
a11 A ak 1 a n1
k阶顺序主子式
a( 1) a( 1) a( 1) 1k 1n 11 ( ( kakkk ) aknk ) (n 1 ann )
例：用矩阵的直接三角分解法（LU分解，L为单位 下三角阵、U为上三角阵）解方程组
。
1 0 1 0
0 2 0 x1 5 1 0 1 x2 3 2 4 3 x3 17 1 0 3 x4 7
(1 a11) ( 1) ( 1) ( 1) a21 (A ,b ) a( 1) n1 (1 ( a12) a11 ) n (1 ( a22) a21 ) n ( 1) ( 1) an 2 ann ( b11 ) ( 1) b2 ( 1) bn
(k (k akk ) akn ) (k (k ank ) ann )
b b (k ) bk (k ) bn
( 1) 1 (2) 2
第i行 第k行 mik , 则
( ( ( aijk 1) aijk ) mik akjk )
(1 (1 a11) a12) (2 a22 ) (k ) (k ) ( 1) ( 1) ( A , b ) (A ,b ) 定义行乘数 ( aikk ) mik ( k ) i k 1, , n akk
数值分析(05)高斯消元法
下三角形方程组的求解顺序是从第一个方程开始，按从上到下
的顺序，依次解出：x1 , x2 , , xn , 其计算公式为：
x1 xi
b1 / a11
i 1
(bi
k 1
aik
xk
)
/
aii
(i 2, 3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
数值分析
数值分析
二、顺序高斯消元法
0
1
2
3
0 1 1 0
a (2) 22
1
0, m32
a (2) 32
/ a22(2)
1 /(1)
1
1
L2
=
1
,L2 L1
Ax
L2 L1b完成第二步消元,得
1 1
1
(3)
A
0
0
2 1 0
3 2 3
6 3 3
ann xn bn
数值分析
数值分析
数值求解方法有以下三条途径
直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算 可求出精确解。
迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限 次迭代过程求解。有限次截断得近似解。
极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次
模函数的极小化问题，即变分法（经n
次运算，理论上得精确解）要求A
1 3 2 6
n 3, a11 1 0
m21 a21 / a11 2 / 1 2
m31 a31 / a11 1 / 1 1
1
高斯消去法
第 k 步：消去第 k 列 高斯消去法 (k) (k) (k) 设 akk 0，计算 mik aik akk
(i k 1, ..., n)
( ( ( 计算 aijk 1) aijk ) mik akjk ) ( bi( k 1) bi( k ) mik bkk ) ( i = k+1, …, n )
m21 a21 / a11 109 Gauss消去法：
9个 a22 1 m21 1 0.0...0 1 1010 0.10...0 1010 小主元 可1010 0.10... 0 能导致计 10 10 10 b2 2 m21 1 0.0...02 10 0.10...0 10 0.10... 0 10 算失败。
(k ) b
b1( k ) ( bkk ) , (k ) bn
第k步计算步骤： 即确定i k 使 a i ,k max a ik ； 消元： （1）按列选主元： k in 当 （2）换行： ik k时，交换( A, b )第k行与第ik 行元素； （3）消元计算：
b1(1) b ，即 a (1) a , b (1) b 。 (1) ij ij i i b n
A
b
(i, j 2, ..., n)
第二步：消去第二列 (2) (2) (2) 设 a22 0 ，计算 mi 2 ai 2 a22 (i 3, ..., n) 依次将上述矩阵的 第 i 行 + mi2 第 2 行，得
( (n 回代求解： xn bnn) ann)
xi bi( i )
(
j i 1
数值分析5-2(高斯消去法)
M M ... (3) xn bn (3) ann
…
( 1 0 ... 0 x1 b1n) 0 1 ... 0 x b(n) • 2 = 2 O M M 0 0 ... 1 x (n) n bn
高斯-约当消去法的应用 高斯 约当消去法的应用
1.同时求解系数矩阵相同的多个方程组 同时求解系数矩阵相同的多个方程组 用高斯-约当消去法求解两个方程 例 用高斯 约当消去法求解两个方程 组 AX=b1 和AX=b2 ，其中
3 4 6 2 4 5 A= 1 2 3
3 b1 = 4 1
(1 a11) ≠ 0
第一次 消元
(2 a22) ≠ 0
(2 (2 ( 1 a12) ... a1n) x1 b12) b(2) (2) (2) 0 a22 ... a2n x2 2 • = ... M M (2) (2) (2) 0 an2 ... ann xn bn
1 1 1 A = 0 4 − 1 2 − 2 1 1 0 0 1 1 1 ∆ = 0 1 0 • 0 4 − 1 = LU ห้องสมุดไป่ตู้ 2 − 1 1 0 0 − 2
则求解原方程组可转化为如下两个三角形方 程组： 程组：
第五章 解线性方程组的直接法 §2 高斯消去法
一、高斯消去法 二、矩阵的三角分解 三、高斯消去法的计算量 四、高斯—约当消去法 高斯 约当消去法
一、高斯消去法
1. 高斯消去法的基本思想 举例 用消去法解方程组
基本思想：用逐次消去未知数的方法把 x1 + x2 + x3 = 6
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a1(n3) a2(3n) a3(3n)
... an(3n)
•
x1
x2
xn
b1(3)
b2(3)
bn(3)
…
1 0
0 1
.(nn))
0 0
...
1
xn
bn(n)
故方程组的解为
x 1 x 2 .x . n T . b 1 ( n )b 2 ( n ).b . n ( n ) T .
四、高斯—约当消去法(Gauss-Jordan)
高斯消去法在消元时始终消去对角线下方的 元素，而高斯——约当消去法则同时消去对 角线上方和下方的元素。
aa12((1111))
a1(12) a2(12)
... ...
aa12((11nn))•xx12 bb12((11))
...
an(11) an(12) ... an(1n) xn bn(1)
高斯消去法的特点：消元和回代不同步！
3. 使用高斯消去法的条件
使用高斯消去法要求在每步消元时 ak(kk) 0 ， 那么矩阵A满足什么，才能保证这一条件呢？
引理：约化的主元素 ak(kk) 0 (i=1,2,…,n) 的充 要条件是矩阵A的顺序主子式 D i 0(i1,2,..n.),
推论：如果A的顺序主子式不等于0，则
a1(11) 0
第一次 消元
a1(11) a1(12) ... a1(1n) x1 b1(1)
0
a2(22) ... a2(2n)•x2 b2(2)
...
0
an(22) ... an(2n) xn bn(2)
……
(记 为 A(2)x = b(2))
a1(11)
a1(12) a2(22)
... ...
a1(1n) a2(2n)
x1 •x2
bb12((12))
第n-1
次消元
... an(nn) xn bn(n)
(记 为 A(n)x = b(n))
(2) 回代过程
xxkn
bn(n) an(nn)
n
(bk(k)
ak(kj ) xj )
ak(kk)
jk1
(k n1,n2,...2, ,1)
消元时的 系数
1
1
1
而且
1
m
21
1
L1 m 31
1
m n1
1
1
m
21
1
L11 m 31
1
m n1
1
重复这一过程，共进行 ｎ－1
A(n) Ln1L1A(1), b(n) Ln1L1b(1)
次消元，得 Gauss消 去法将A 分解为
将上三角矩阵 A(n) 记为 U，则有
三、高斯消去法的计算量
定理：如果 A 为 n 阶非奇异矩阵，则用高斯 消去法解 Ax = b 所需的乘除法次数及加减法 次数分别为
(1)乘除 法 n33次 n2数 n3 (2)加减 法 n(n 次 1)2 (n数 5)/6
例如：n=10时，高斯消去法需要430次乘除 法，而Cramer法则却需要39916800次乘法。
由高斯消去法， m21=0，m31=2 m32=－1，故
1 1 1 A 0 4 1
2 2 1
1 0 0 1 1 1 0 1 0•0 4 1LU
2 1 1 0 0 2
则求解原方程组可转化为如下两个三角形方
程组：
1 0 0 y1 b1 0 1 0•y2 b2 2 1 1 y3 b3
1 1 1 x1 y1 0 4 1•x2 y2 0 0 2 x3 y3
二、矩阵的三角分解
由矩阵理论可知，对系数矩阵 A 实施行的初
等变换相当于用初等矩阵左乘 A ，即
A 行初等变换
A'
等价于
A'LA
E 其中
行初等变换
初等 矩阵
L
例
1 1 1
A 0 4 1 2 2 1
①*(-2)+③
则 A'LA
E 其中
①*(-2)+③
1 0 0
L
0
1
0
2 0 1
1 1 1 A' 0 4 1
0 4 1
L
考察高斯消去法过程 ：
A(1)xb(1)
第一次消元
A(2)xb(2)
等价于 其中
A (2 ) L 1 A ( 1 ),b (2 ) L 1 b ( 1 )
1
0
L1 0
m n1
1 1
• • 1
1
0
m 31
0
1 1
1
m
21
• 0
1 0
高斯——约当消去法的特点：
三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，且
这种分解是唯一的。
求解两个三角形 方程组!
注：若A 实现了LU分解，则
Ax = b
(LU)x=b
Ly = b Ux = y
举例：用系数矩阵的LU分解求下列方程组
4x1x2x2x3x53 6 2x1 2x2 x3 1
解： 系数矩阵为
1 1 1
A 0 4 1 2 2 1
数值分析5-2(高斯消去法)
2. 高斯消去法的一般过程
记 Ax = b 为 A(1)x = b(1)， (1) 消元过程
aa12((1111))
a1(12) a2(12)
... ...
a1(1n) a2(1n)
x1 •x2
bb12((11))
...
an(11) an(12) ... an(1n) xn bn(1)
两个三
A A (1 ) L 1 1 L 2 1 L n 1 1 U LU 角相矩乘阵
1
其中
m21 1
LL11 Ln11 m31 m32 1
mn1 mn2 mn,n1 1
定理: (矩阵的LU分解)
设 A 为 n 阶矩阵，如果 A 的顺序主子式 Di 0 ( i = 1,2,…,n-1)， 则 A 可分解为一个单位下
aa1k((1k1k))
D1 Dk
Dk1
(k=2,3,…,n)
定理：如果 n 阶矩阵A的所有顺序主子式均 不为零，则可通过高斯消去法（不进行交 换两行的初等变换），将方程组约化为三 角形方程组。
定理：如果A为 n 阶非奇异矩阵，则可通过 高斯消去法（及交换两行的初等变换）将方 程组 Ax=b 化为三角形方程组。
a1(11) 0
第一次 消元
1 0
a1(22) a2(22)
...
0 an(22)
... ...
a1(n2) a2(2n)
x1 •x2
bb12((22))
... an(2n) xn
bn(2)
(与高斯消去法不相同)
a2(22) 0
第二次 消元
1 0 0
0 1
0
...
... a3(33) ... ... an(33) ...