辽宁省沈阳市沈北新区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)

辽宁省沈阳市沈北新区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题一．选择题（共10小题）
1.一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）．
A. 1
6
B.
1
2
C.
1
3
D.
2
3
【答案】B
【解析】
分析】
朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.
【详解】依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=31 = 62
故选B.
【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.
2.反比例函数
2
y
x
=的图象位于平面直角坐标系的（）
A. 第一、三象限
B. 第二、四象限
C. 第一、二象限
D. 第三、四象限【答案】A
【解析】
试题分析：∵k=2＞0，∴反比例函数
2
y
x
=的图象在第一，三象限内，故选A．
考点：反比例函数的性质．
3.反比例函数y=
1
m
x
+
在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）
A. m＜0
B. m＜0
C. m＜＜1
D. m＜＜1
【答案】D
【解析】
∵在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，∴m＋1＜0，∴m＜－1．
4.抛物线y=x2＜2x+2的顶点坐标为（）【
A. ＜1＜1＜
B. ＜＜1＜1＜
C. ＜1＜3＜
D. ＜＜1＜3＜
【答案】A
【解析】
分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
详解：∵y=x2-2x+2=＜x-1＜2+1＜
∴顶点坐标为（1＜1＜＜
故选A＜
点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
5. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为【】
A. 3：1
B. 4：1
C. 5：1
D. 6：1
【答案】C
【解析】
【分析】
菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质.
【详解】如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1，故选C.
6.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C，下列结论：
①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0，其中正确的个数为（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，进而判断①；根据x=﹣2时，y ＞0可判断②；根据对称轴x=﹣1求出2a 与b 的关系，进而判断③．
【详解】①由抛物线开口向下知a ＜0，
∵对称轴位于y 轴的左侧，
∴a 、b 同号，即ab ＞0．
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴c ＞0，
∴abc ＞0；
故①正确；
②如图，当x=﹣2时，y ＞0，则4a ﹣2b+c ＞0，
故②正确；
③∵对称轴为x=﹣2b a
＞﹣1， ∴2a ＜b ，即2a ﹣b ＜0，
故③错误；
故选：C ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
7.如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是（1，3）
，则CE 的长是（ ）
A. 3
B.
D 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据点D 的坐标是()1,3
和勾股定理求得OD =
CE OD ==．
【详解】Q 四边形COED 是矩形，
CE OD ∴=，
Q 点D 的坐标是()1,3，
OD ∴==
CE ∴=
故选C ．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
8.如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE ∥AC ，若DB ＝4，AB ＝6，BE ＝3，则EC 的长是（ ）
A. 4
B. 2
C. 32
D. 52
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，可得DB ：AB=BE ：BC ，又由DB=4，AB=6，BE=3，即可求得答案．
【详解】解：∵DE ∥AC ，
∴DB ：AB ＝BE ：BC ，
∵DB ＝4，AB ＝6，BE ＝3，
.
∴4：6＝3：BC，
解得：BC＝9
2
，
∴EC＝BC﹣BE＝3
2
．
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意掌握各比例线段的对应关系．
9.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（）
A. m
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC=BD+CD即可求解．
【详解】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，
∴ ，
在Rt△ACD 中，∵∠CAD=60°，AD=120m ，
∴，
∴BC=BD+CD=+=．
故选D ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
10.如图，在＜ABC 中，＜ABC＜90°＜AB＜8cm＜BC＜6cm ．动点P＜Q 分别从点A＜B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使＜PBQ 的面积为15cm 2的是＜ ＜
A. 2秒钟
B. 3秒钟
C. 4秒钟
D. 5秒钟
【答案】B
【解析】 【详解】解：设动点P ＜Q 运动t 秒后，能使＜PBQ 的面积为15cm 2，则BP 为（8＜t ＜cm ＜BQ 为2tcm ，由三角形的面积计算公式列方程得＜12
×＜8＜t ＜×2t =15，解得t 1=3＜t 2=5（当t =5时，BQ =10，不合题意，舍去）．故当动点P ＜Q 运动3秒时，能使＜PBQ 的面积为15cm 2＜
故选B＜
【点睛】此题考查借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
二．填空题（共6小题）
11.已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k y x
=
的图象相交，其中有一个交点的横坐标是2，则k 的值为_____．
【答案】6.
【解析】
【分析】
把x=2代入一次函数的解析式，即可求得交点坐标，然后利用待定系数法即可求得k 的值．
【详解】在y=x+1中，令x=2，
解得y=3，
则交点坐标是：（2，3），
代入y=k x
得：k=6．
故答案是：6．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．
12.二次函数的图象经过点（4，﹣3），且当x＝3时，有最大值﹣1，则该二次函数解析式为_____．
【答案】y＝﹣2（x﹣3）2﹣1
【解析】
【分析】
根据题意设出函数的顶点式，代入点(4，﹣3)，根据待定系数法即可求得．
【详解】∵当x=3时，有最大值﹣1，
∴设二次函数的解析式为y=a(x﹣3)2﹣1，
把点(4，﹣3)代入得：﹣3=a(4﹣3)2﹣1，
解得a=﹣2，
∴y=﹣2(x﹣3)2﹣1．
故答案为：y=﹣2(x﹣3)2﹣1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
13.如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE=______.
【答案】6
【解析】
【分析】
利用位似的性质得到AB：DE=OA：OD，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入计算即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴AB ：DE=OA ：OD ，即2：DE=1：3，
∴DE=6．
故答案是：6．
【点睛】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
14.2019年12月6日，
某市举行了2020年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，则共有_____家公司参加了这次会议．
【答案】8
【解析】
【分析】
每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x 家公司参加，则每个公司要签()1x -份合同，签订合同共有()112
x x -份． 【详解】设共有x 家公司参加了这次会议， 根据题意，得：
12x (x ﹣1)=28， 整理，得： x 2﹣x ﹣56=0，
解得：x 1=8，x 2=﹣7(不合题意，舍去) ，
答：共有8家公司参加了这次会议．
故答案是：8．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数．解答中注意舍去不符合题意的解．
15.在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，AC ＝2，则BC 的值为_____．
【解析】
【分析】
构造直角三角形，利用锐角三角函数及三角形的边角关系求解．
【详解】解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．
在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴∠BCD＝45°，
∵∠BCA＝75°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD ＝30°
在Rt△ACD中，
∵cos∠ACD＝cos30CD AC
，
∴CD
在Rt△ACD中，
∵sin∠B＝sin45°＝
2＝
CD
CB
∴CB DC
.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及直角三角形的边角间关系，构造直角三角形是解决本题的关键．16.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为_____．
【解析】
【分析】
先求出∠ACD=30°，进而可算出CE、AD，再算出△AEC的面积．
【详解】如图，
由旋转的性质可知：AC =AC '，
∵D 为AC '的中点，
∴AD =1122
AC AC ='， ∵ABCD 是矩形，
∴AD ⊥CD ，
∴∠ACD =30°，
∵AB ∥CD ，
∴∠CAB =30°，
∴∠C 'AB '=∠CAB =30°，
∴∠EAC =30°，
∴AE =EC ，
∴DE =
1122
AE EC =， ∴CE =22233
CD AB ==， DE =113AB =，
AD
∴12
AEC S EC AD ==n n
【点睛】本题考查了旋转性质、矩形的性质、直角三角形中30度角的性质，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．
三．解答题（共9小题）
17.（1）解方程：x 2+4x ﹣1＝0
（2）计算：12 cos30°+2
sin45°
【答案】（1）x=﹣（2）
24 【解析】
【分析】
（1）利用配方法解一元二次方程;
（2）利用特殊三角函数的值求解.
【详解】解：（1）∵x 2+4x ﹣1＝0，
∴x 2+4x+4＝5，
∴（x+2）2＝5，
∴x ＝﹣
（2）原式＝12×2 【点睛】本题考查了特殊三角函数的求解，掌握特殊三角函数值是解答此题的关键.
18.
＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜A＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜B＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜A＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜B＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜
＜1＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜
＜2＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜
【答案】（1）见解析；（2）
16
． 【解析】
【分析】
（1）列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；本题用列表法得出所有等可能的情况，进而可得转转盘可能出现的所有结果；
（2）无理数是无限不循环小数，找出乘积为无理数的情况数，再除以所有等可能出现的结果数，即可求出一等奖的概率．
【详解】（1）由题意列表如下，
由列表得知：当A 转盘出现0，1，-1时，B 转盘分别可能有4种等可能情况，
所以共有4×3=12种等可能情况．
即（0，12）、（0,1．5）、（0,-3）、（0,）、（1，12）、（1,1．5）、（1,-3）、（1,）、（-1，12）、（-1,1．5）、
（-1,-3）、（-1,）．
（2）无理数是无限不循环小数，由列表得知：乘积是无理数的情况有2种，即（1,）、（-1,）．乘
，
∴P （乘积为无理数）=212=16．即P （获得一等奖）=16
． 考点：用列表法或树状图法求随机事件的概率．
19.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BA ＝BC ，BD 平分∠ABC ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）过点D 作DE ⊥BD ，交BC 的延长线于点E ，若BC ＝5，BD ＝8，求四边形ABED 的周长．
【答案】（1）详见解析；（2）26.
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；
（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE
＝BC，根据勾股定理得到DE＝6，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵BA＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，
∵CB＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE＝BC，
∴BE＝2BC＝10，
∵BD＝8，
∴DE＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝5，
∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
20.如图，已知一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝k
x
的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．
（1）请直接写出不等式﹣x+n≤k
x
的解集；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接BC，求△ABC的面积．
【答案】（1）﹣2≤x＜0或x≥4；（2）y＝﹣8
x
，y＝﹣x+2；（3）6
【解析】
【分析】
（1）根据图像即可得到答案；
（2）将点A（4，﹣2），B（﹣2，m）的坐标分别代入解析式即可得到答案；
(3)过点B作BD⊥AC，根据点A、B的坐标求得AC、BD的长度，即可求得图形面积.
【详解】解：（1）由图象可知：不等式﹣x+n≤k
x
的解集为﹣2≤x＜0或x≥4；
（2）∵一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝k
x
的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．
∴k＝4×（﹣2）＝﹣2m，﹣2＝﹣4+n 解得m＝4，k＝﹣8，n＝2，
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为y＝﹣8
x
，y＝﹣x+2；
（3）由（2）知B(-2，4),
过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于D，∵A（4，﹣2），B(-2，4),
∴AC=2，BD=2+4=6，
S△ABC＝1
266 2
⨯⨯=.
【点睛】此题考查反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的关系，在求图像中三角形面积时用点的坐标表示线段的长度.
21.如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点
A＜B＜C＜D＜M＜N均在同一平面内，CM∥AN＜＜
＜1＜求灯杆CD的高度；
＜2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．=1.73＜sin37°≈060＜cos37°≈0.80＜tan37°≈0.75＜
【答案】（1）10米；（2）11.4米
【解析】
【分析】
（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；
＜2）在Rt △BCH 中，求出BH＜CH ，在 Rt △ADH 中求出AH 即可解决问题.
【详解】（1）如图，延长DC 交AN 于H＜
∵∠DBH=60°＜∠DHB=90°＜
∴∠BDH=30°＜
∵∠CBH=30°＜
∴∠CBD=∠BDC=30°＜
∴BC=CD=10（米）＜
＜2）在Rt △BCH 中，CH=
12 ∴DH=15＜
在Rt △ADH 中，AH=tan 37DH ︒≈150.75
=20＜ ∴AB=AH＜BH=20＜8.65=11.4（米）．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
22.如图，在ABC V 中，AB AC =，点E 在边BC 上移动（点E 不与点B 、C 重合）
，满足DEF B ∠=∠，且点D 、F 分别在边AB 、AC 上．
（1）求证：BDE CEF V :V ；
（2）当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分DFC ∠．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C ，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，DEF B ∠=∠，即可判定
CEF BDE ∠=∠，根据相似三角形的判定方法即可得△BDE ∽△CEF ；
（2）由相似三角形的性质可得BE DE CF EF =，再由点E 是BC 的中点，可得BE=CE ，即可得CE DE CF EF
=，又因C DEF ∠=∠，即可判定△CEF ∽△EDF ，根据相似三角形的性质可得CFE EFD ∠=∠，即可证得即FE 平分∠DFC ．
【详解】解：（1）因为AB=AC,所以∠B=∠C ，
因为∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，DEF B ∠=∠
所以CEF BDE ∠=∠,
所以△BDE ∽△CEF ；
（2）因为△BDE ∽△CEF ，所以BE DE CF EF
=, 因为点E 是BC 中点，所以BE=CE,即
CE DE CF EF =, 所以CE CF DE EF
=，又C DEF ∠=∠,故△CEF ∽△EDF, 所以CFE EFD ∠=∠,即FE 平分∠DFC ．
23.小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．
销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w （元），求每月获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
【答案】（1）21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．
【解析】
【分析】 的
（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．
【详解】解：（1）由题意，得：w=（x ﹣20）•y
=（x ﹣20）•（﹣10x+500）
=21070010000x x -+-，
即21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；
（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x=7002(10)
-
⨯-=35． 又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．
∴当20≤x≤32时，W 随着X 的增大而增大，
∴当x=32时，W=2160
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
（3）取W=2000得，210700100002000x x -+-=
解这个方程得：1x =30，2x =40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵20≤x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设每月的成本为P （元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000
∵k=﹣200＜0，
∴P 随x 的增大而减小，
∴当x=32时，P 的值最小，P 最小值=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．
考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．
24.如图，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是射线CB 和射线DC 上的动点，且始终∠MAN ＝45°．
（1）如图1，当点M 、N 分别在线段BC 、DC 上时，请直接写出线段BM 、MN 、DN 之间的数量关系； （2）如图2，当点M 、N 分别在CB 、DC 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M 、N 分别在CB 、DC 的延长线上时，若CN ＝CD ＝6，设BD 与AM 的延长线交于点P ，
交AN 于Q ，直接写出AQ 、AP 的长．
【答案】（1）BM+DN ＝MN ；（2）（1）中的结论不成立，DN ﹣BM ＝MN ．理由见解析；（3）AP ＝AM+PM
＝．
【解析】
【分析】
（1）在MB 的延长线上，截取BE=DN ，连接AE ，则可证明△ABE ≌△ADN ，得到AE=AN ，进一步证明△AEM ≌△ANM ，得出ME=MN ，得出BM+DN=MN ；
（2）在DC 上截取DF=BM ，连接AF ，可先证明△ABM ≌△ADF ，得出AM=AF ，进一步证明△MAN ≌△FAN ，可得到MN=NF ，从而可得到DN -BM=MN ；
（3）由已知得出DN=12，由勾股定理得出AN ＝＝6 ，由平行线得出
△ABQ ∽△NDQ ，得出BQ DQ ＝AQ NQ ＝AB DN ＝612＝12，∴AQ AN ＝13
，求出AQ=2 ；由（2）得出DN -BM=MN ．设BM=x ，则MN=12-x ，CM=6+x ，在Rt △CMN 中，由勾股定理得出方程，解方程得出BM=2，
由勾股定理得出AM PBM ∽△PDA ，得出PM PA ＝BM DA ＝13
，，求出
PM= PM＝1
2
AM
，
得出AP＝AM+PM＝
【详解】（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠D，
在△ABE和△ADN中，
AB AD
ABE D BE DN
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝45°＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中，
AE AN
EAM NAI AI All
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，
则∠ABM＝90°＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
AB AD
ABM D BM DF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABM≌△AD F（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BA D＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中，
AM AF
MAN FAN AN AN
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，
∵CN＝CD＝6，
∴DN＝12，
∴AN
，
∵AB∥CD，
∴△ABQ∽△NDQ，
∴BQ
DQ
＝
AQ
NQ
＝
AB
DN
＝
6
12
＝
1
2
，
∴AQ
AN
＝
1
3
，
∴AQ＝1
2
AN＝
；
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，
∴BM＝2，
∴AM
，
∵BC∥AD，
∴△PBM∽△PDA，
∴PM
PA
＝
BM
DA
＝
2
6
＝
1
3
，
∴PM＝1
2
AM
，
∴AP＝AM+PM＝
．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
25.如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．的
（3）如图2，点E的坐标为（0，
3
2
-），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接
写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点D（1，4）或（2，3）；（3）当点P在x轴上方时，点P（1
3
，
32
9
）；
当点P在x轴下方时，点（﹣7
3
，﹣
64
9
）
【解析】
【分析】
(1)c=3，点B(3，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+3，解得a=﹣1即可得出答案；
(2)由S△COF：S△CDF=3：2得OF：FD=3：2，由DH∥CO得CO：DM=3：2，求得DM=2，而DM=
()
2233
x x x
+++
﹣﹣﹣=2，即可求解；
(3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．
【详解】(1) ∵OB=OC=3，
∴点C的坐标为C(0，3)，c=3，点B的坐标为B(3，0)，
将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+3，解得：a=﹣1，
故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+3；
(2)如图，过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于点M，
∵S△COF：S△CDF=3：2，
∴OF：FD=3：2，
∵DH∥CO，
∴CO：DM= OF：FD=3：2，
∴DM=2
3
CO=2，
设直线BC的表达式为：y kx b
=+，
将C (0，3)，B (3，0)代入得330b k b =⎧⎨+=⎩
， 解得：13
k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的表达式为：y =﹣x +3，
设点D 的坐标为(x ，﹣x 2+2x +3)，则点M (x ，﹣x +3)，
∴DM =()2
233x x x +++﹣﹣﹣=2， 解得：x =1或2，
故点D 的坐标为：(1，4)或(2，3)；
(3)①当点P 在x 轴上方时，
取OG =OE ，连接BG ，过点B 作直线PB 交抛物线于点P ，交y 轴于点M ，使∠GBM =∠GBO ， 则∠OBP =2∠OBE ，过点G 作GH ⊥BM ，如图，
∵点E 的坐标为(0，32-
)， ∴OE=32
， ∵∠GBM =∠GBO ，GH ⊥BM ，GO ⊥OB ， ∴GH= GO=OE=32
，BH=BO=3，
设MH =x ，则MG =，
在△OBM 中，OB 2+OM 2=MB 2，即()2
223332x ⎛+=+ ⎝， 解得：x =2，
故MG
5
2
，则OM=MG+ GO=
5
2
+
3
4
2
=，
点M的坐标为(0，4)，
设直线BM的表达式为：y kx b
=+，
将点B(3，0)、M(0，4)代入得：
30
4
k b
b
+=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得：
4
3
4
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线BM的表达式为：y=
4
3
-x+4，
解方程组
223
4
4
3
y x x
y x
⎧=++⎪
⎨
=-+
⎪⎩
﹣
解得：x=3(舍去)或1
3
，
将x=1
3
代入y=
4
3
-x+4得y=
32
9
，
故点P的坐标为(1
3
，
32
9
)；
②当点P在x轴下方时，如图，过点E作EN⊥BP，直线PB交y轴于点M，
∵∠OBP=2∠OBE，
∴BE是∠OBP的平分线，
∴EN= OE=32
，BN=OB=3， 设MN =x ，则ME
=
在Rt △OBM 中，OB 2+OM 2=MB 2
，即()2
223332x ⎛++=+ ⎝， 解得：2x =，
∴52ME ==，则OM=ME+ EO=52+342=， 点M 的坐标为(0，-4)，
设直线BM 的表达式为：y kx b =+，
将点B (3，0)、M (0，-4)代入得：304
k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得：434
k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
∴直线BM 的表达式为：443
y x =-， 解方程组223443y x x y x ⎧=++⎪⎨=-⎪⎩
﹣ 解得：x =3(舍去)或73-
， 将x =73-代入443
y x =-得649y =-， 故点P 的坐标为(73-，649
-)； 综上，点P 的坐标为：(
13，329)或(73-，649-) ． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理、勾股定理、角平分线的性质等，其中第(3)问要注意分类求解，避免遗漏．。