工程流体力学 第七章 不可压缩粘性流体的外部流动

3.边界层沿流动方向逐渐增厚； 边界层沿流动方向逐渐增厚； 边界层沿流动方向逐渐增厚 4.粘性力 ~ 惯性力； 粘性力 惯性力； 5.沿物面，先层流，后湍流。用 Re 沿物面，先层流，后湍流。 沿物面 临界
x
=
Vx
ν
判别。 判别。
§7. 2 层流边界层的微分方程
不可压缩粘性流体平面定常流动的微分方程 和连续性方程： 和连续性方程：
ν τ 0 = 0 . 025 V V δ ∞
2 ∞
u = V∞ δ
ρ
1 4
边界层厚度δ 二 . 边界层厚度
∫
δ
0
udy =
∫
δ
0
1 7 V y dy = 7 V δ ∞ ∞ 8 δ
∫
δ
0
u 2 dy =
∫
δ
0
V y 百度文库dy = 7 V 2 δ ∞ ∞ 9 δ
1 7
2
代入平板湍流边界层动 量积分关系式得 : 72 ν δ dδ = 0.0225 × 7 V∞
1 4
dx
1 5
1 4
ν δ = 0 . 37 积分得 : V x x + c ∞ B .C .( 平板前缘 ) x = 0, δ = 0 ∴ δ = 0 . 37 x Re
∂ 2u 1 dp 2 = =0 ∂y y =δ µ dx ∂u ∂u ( = = 0 , U = V∞ ) ∂y ∂x
∂ 2u (5) y = 0 , u = v = 0, 2 = 1 dp = 0 , ∂y y =δ µ dx
a2 = 0
δ = δ ( x)
∴上式中的偏导数可改为全导数, 得: 上式中的偏导数可改为全导数
∫
δ
0
d ρ u dy − V dx
2
∫
δ
0
dp −τ0 ρ udy = − δ dx
这就是卡门边界层动量积分关系式。 这就是卡门边界层动量积分关系式。
讨论： 讨论： 1 . 边界层动量积分关系式对层流，湍流都适用。 边界层动量积分关系式对层流，湍流都适用。 2 . 三个未知数，u, τ0, δ, 需补充二个关系式： 三个未知数， 需补充二个关系式：
δ
AB 2
− K
AC
∫
δ
0
∂ ρ u dy − V ∂x
∫
δ
0
ρ udy
二. X向冲量 向冲量
AB, CD和AC诸面上的总压力沿 方向的分量为 和 诸面上的总压力沿 方向的分量为: 诸面上的总压力沿X方向的分量为 P AB = p δ
PCD P AC ∂p dx )( δ + d δ ) = (p+ ∂x 1 ∂p dx ) d δ = (p+ 2 ∂x
数量级： 数量级：1
y y' = l
δ’
u u' = V
1
v v' = V
δ’
p p' = 2 ρV
1
( × Vl 2 )
1 ∂ 2 u' ∂ 2 u' ∂ u' ∂ u' ∂ p' u' ( ) + v' = − + + 2 2 ∂x' ∂y' ∂ x ' Re l ∂ x ' ∂y' 1 1 • 1 δ '• 1 (δ ' ) 1 δ '2 δ' ∂v' ∂v' ∂ p' 1 ∂ 2v' ∂ 2v' u' ( ) + v' = − + + 2 2 ∂x' ∂y' ∂ y ' Re l ∂ x ' ∂y'
2
1
( × Vl 2 )
1•δ '
δ '• 1
1
∂ u' ∂ v ' + =0 ∂x' ∂y'
δ'
(δ ' ) δ '
2
1
δ'
∂u u +v ∂x ∂p =0 ∂y ∂u ∂v + ∂x ∂y B .C .
1 ∂p ∂v ∂ 2u =− +ν ρ ∂x ∂y ∂y 2
=0
y = 0 y = δ 得 u = v = 0 u = V (x) p = p( x )
解得： 解得：
∴
2 . τ = τ (δ ) 由牛顿内摩擦定律
δ δ 3 3 4 y y y u( y ) = V ∞ 2 − 2 + δ δ δ
a1 =
2V
∞
, a3 = −
2V ∞
,
a4 =
V
δ
∞ 4
2 3 du V∞ V∞ y y τ 0 = µ = µ 2 − 6 + 4 = 2µ dy δ δ δ δ y =0 y =0
m K
AB
= =
∫ ∫
δ
0
ρ udy ρ u dy
2
δ
0
AB
单位时间内经过CD面流出的质量和带出的动量为 单位时间内经过 面流出的质量和带出的动量为: 面流出的质量和带出的动量为 δ ∂( ρu) mCD = ∫ ρu + dxdy 0 ∂x δ δ ∂( ρu2 ) ∂ δ 2 2 2 K CD = ∫ ρu + dxdy = ∫ ρu dy + dx ∫ ρu dy 0 0 ∂x ∂x 0
1 ∂p ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ) u + v = − +ν ( + 2 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂v u ∂x ∂u + ∂x 1 ∂p ∂v ∂ 2v ∂ 2v ) + v = − +ν ( + 2 2 ρ ∂y ∂y ∂x ∂y ∂v = 0 ∂y
x 令 : x' = l
三 . 卡门边界层动量积分关系式
由动量定理:单位时间内控制体内流体动量的 由动量定理 单位时间内控制体内流体动量的 变化等于外力冲量之和, 变化等于外力冲量之和 得:
∂ ∂x
∫
δ
0
∂ ρ u dy − V ∂x
2
∫
δ
0
∂p −τ0 ρ udy = − δ ∂x
Q
d dx
p = p( x )
u = u( y )
ρV bl
2 ∞
= 1.372 Re l
− 1 2
−
1 2
）
§7 .5 平板湍流边界层的近似计算
一 . 二个湍流补充关系式
1 . u=u(y) （Re<107) 与圆管一样， 与圆管一样，湍流边界层内速度分布也假定 1 符合七分之一指数规律， 符合七分之一指数规律，即： y 7 2 . τ = τ (δ ) （Re<107) 借用圆管的切向应力公式， 借用圆管的切向应力公式，得：
∂p 由 = 0 ∂y
1 势流伯努里方程 : p + ρ V 2 = 常数 2 1 dp dV =V 即:− dx ρ dx
∴普朗特边界层方程为： 普朗特边界层方程为：
∂u dV ∂ 2u ∂u +v =V +ν u dx ∂x ∂y ∂y 2 ∂u + ∂v = 0 ∂x ∂y
(b)
边界层厚度δ 三 . 边界层厚度 ∫
δ
0
udy =
2
∫
δ
0
3 4 y 7 y y V ∞ 2 − 2 + dy = V∞δ 10 δ δ δ
(c)
∫
δ
0
y y y 367 2 u dy = ∫ V 2 − 2 + dy = V∞ δ 0 630 δ δ δ
∴边界层厚度: 边界层厚度
δ = 5 .84
νx
V∞
= 5 .84 x Re x
−
1 2
四 . 摩擦阻力
1 . 切向应力
τ 0 = 2µ
V∞
δ
= 0.343
µρV
x
3 ∞
= 0.343ρV
2 ∞
ν
V∞ x
= 0.343ρV Rex
2 ∞
−
1 2
2 . 总摩擦阻力 (宽度为 b, 长度为 l ) 宽度为
− x 1 5
∴c = 0
三 . 摩擦阻力
1 . 切向应力
1 − ν 2 = 0 .0289 ρ V ∞2 Re x 5 τ 0 = 0 .0289 ρ V ∞ V∞ x 1 5
2 . 总摩擦阻力 (宽度为 b, 长度为 l ) 宽度为
1 1 − l − ν 2 2 b ∫ x 5 dx = 0.036blρV∞ Re l 5 FD = b ∫ τ 0 dx = 0.0289 ρV∞ 0 V∞ 0 1 l 1 5
二 . 二个补充关系式
1 . u=u(y) 假定 u 表成 y 的幂级数
u( y) = a0 + a1 y + a2 y + a3 y + a4 y
2 3 4
根据下列边界条件确定待定系数a 根据下列边界条件确定待定系数 0 , a1 , a2 , a3 , a4 (1) y=0, u=0, a0=0 (2) ∂u y =δ , =0 ∂y (3) y =δ (4) y = δ ,
将普朗特边界层方程运用到壁面上， 将普朗特边界层方程运用到壁面上，y=0, u=v=0
1 dV ∂ u ( 2 ) y=0 = − V dx ∂y ν
2
§7. 3 边界层的动量积分关系式
一. 沿X向的动量变化 向的动量变化
单位时间内经过AB面流入 单位时间内经过 面流入 的质量和带入的动量为: 的质量和带入的动量为
dp 3 . 动量积分关系式中的 dx , V 可由势流求解。 可由势流求解。
u = u( y ) , τ = τ (δ )
§7 . 4 平板层流边界层的近似计算
一 . 平板边界层动量积分关系式
在边界层外边界上： 在边界层外边界上： V ( x ) = V ∞ 1 dp 2 ∴ =0 由伯努里方程： 由伯努里方程： p + 2 ρ V∞ = 常数 dx 平板边界层动量积分关系式： ∴平板边界层动量积分关系式： δ δ d d τ0 2 (a) ∫ 0 u dy − V dx ∫ 0 udy = − ρ dx
根据连续性方程，对不可压缩流体有： 根据连续性方程，对不可压缩流体有： ∆ m = m CD − m AB
∆ K = K CD − K ∂ = dx ∂x
∂(ρu) ∂ δ dxdy = dx = ∫ ∫0 ρ udy 0 ∂x ∂x 这些质量从边界层外边界AC流入 并带入动量： 流入， 这些质量从边界层外边界 流入，并带入动量： ∂ δ K AC = Vdx ∫0 ρ udy ∂x ∴单位时间内该控制体内 方向的动量变化为： 沿X方向的动量变化为： 方向的动量变化为
1 ∂p ∂p pδ + ( p + dx ) d δ − ( p + dx )( δ + d δ ) − τ 0 dx 2 ∂x ∂x ∂p dx − τ 0 dx ≈ −δ ∂x
壁面BD作用在流体上的切 壁面 作用在流体上的切 向应力的合力为: 向应力的合力为 ∴单位时间内作用在该控制体上沿X方向的总冲量 单位时间内作用在该控制体上沿 方向的总冲量
F D = b ∫ τ 0 dx = 0 . 343 b
0 l
µρ V
3 ∞
∫
l 0
dx x
− l 1 2
= 0 . 686 b
µρ lV
3 ∞
= 0 . 686 bl ρ V ∞2 Re
3 . 摩擦阻力系数 C f = 1
FD
（布拉修斯精确解：C f = 1 .328 Re l 布拉修斯精确解：
2
工程流体力学
东南大学动力系归柯庭
2003. 3
第七章 不可压缩粘性流体的外部流动
§7.1边界层 §7.2绕平板流动边界层的近似计算 §7.3绕曲面流动及边界层的分离 §7.4粘性流体绕小圆球的蠕流流动 §7.5粘性流体绕流物体的阻力
§7. 1边界层
在大Re数下，粘性流体绕流物体时，流场分为三个区域： 在大 数下，粘性流体绕流物体时，流场分为三个区域： 数下 一. 边界层 粘性流体的有旋流动 二. 尾涡区 势流区: 三. 势流区 理想流体的无旋流动
}
边界层的厚度为：流速达到 势流速度时， 边界层的厚度为：流速达到99%势流速度时， 势流速度时 流体所在位置与物面间的距离δ。 流体所在位置与物面间的距离 。 即： u = 0.99U ∞ , 边界层厚度） y = δ （边界层厚度） 边界层的基本特征： 边界层的基本特征： 1. δ＜＜ l; 2. 很大； 很大；
δ
3 2 ∞
4 2
(d)
代入边界层动量积分关系式(a), 得: 代入边界层动量积分关系式 367 2 dδ 441 2 dδ 2 µ V∞ V∞ V∞ − =− 630 dx 630 dx ρδ
37 化简得: 化简得 V ∞ δ d δ = ν dx 630 37 V∞δ 2 = νx + c 积分得: 积分得: 1260