定积分元素法

0
b sint(a sint )dt 4ab
0sin2 tdt


2
2


4ab
2 sin2
0
tdt

4ab
1 2


2
ab
9
一般地，当曲边梯形的曲边:
y f ( x) ,( f ( x) 0, x [a,b])
由参数方程

x y

(t) (t)
给出时，

o
圆扇形面积公式为
x
面积元素为：
A

1 2
R2
dA

1 2
[
(
)]2
d

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所以曲边扇形的面积为： A

1 2
[
(
)]2
d
11
例4 计算阿基米德螺线
r a (a 0)
上相应于 从0 变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积。
解 积分变量为
积分区间为 [0,2 ]
第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积
内容提要：定积分的元素法, 平面图形的面积的求法. 重点： 定积分的元素法, 平面图形的面积的求法. 难点： 定积分的元素法,
1
第一节 定积分的元素法
我们知道求由 x a, x b, y 0 和 y f (x)所围成的曲边梯形
a
A1
A 4A1 4 0 ydx
利用椭圆的参数方程
x a cost
y bsint
应用定积分换元法，令 x a cost
则： 当a b时， 椭圆变为圆，
y bsint,dx a sintdt
当
x
由
0
变到
a
时，t
由

2
变到0，所以：
A a 2。
A 4
1
(
0
x x2 )dx
x 3
22
x3
3
3
1 0

1 3
.
6
注：当然所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即
1
A 0
xdx
1 x 2dx
0

1 3
一般地，由x a, x b, y ( x), y ( x)
所围成的图形的面积
b
A a [ ( x) ( x)]dx
即： A f (x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素,记为
dA f (x)dx
oa
（3）写出A的积分表达式，即：
b
A a f ( x)dx
y f (x)
A dA
xdxx dx b x
4
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量；
二、极坐标情形
设由曲线 r ( ) 及射线 , 围成一图形（称为
曲边扇形）。
d
假设( ) 在 [, ] 上连续，且
( ) 0 。
下面我们求这个曲边扇形的面积。

d
r ( )

取极角 为 积分变量，积分区间为
[, ] ， 任取小区间 [ , d ] 。
(a 0)
解 如图所示，这个图形关于极轴对称,
因此所求图形的面积 A 是极轴以上部分图形面积 A1 的两倍，
即
A


2 A1
a2
2 1 a 2 (1 cos )2 d

(1
0

2 2 cos


cos
2
)d
0
a 2

1 cos 2
(1 2cos
的近似表达式
U dU f (x)dx
（叫做积分元素）
b
（3）写出 U 的积分表达式，即： U f ( x)dx a
这种方法叫做 定积分的元素法。
5
第二节 平面图形的面积
一、直角坐标情形
例１ 计算由 y 2 x, y x 2 所围成的图形的面积。
解 这两条抛物线所围成的图形如图所示
A
4
( y 4)dy
2
4 2
1 2
y 2dy

y2 2

4y
4 2

y3 6
4 2

18
o
x
(2,2)
注：当然这个题也可以用元素法来解。
8
1 例3 求椭圆
x2 a2
y2 b2
所围成的图形的面积
解 设椭圆在第一象限部分的面积为 A1
则椭圆的面积为
n
xi 高阶的无穷小，因此和式 f ( i )xi 的极限就是 i 1
A的精确值， 即：
b
A a f ( x)dx;
3
求A的积分表达式的步骤可简化如下：
（1）确定积分变量x及积分区间[a，b]；
（2）在[a,b]上任取小区间[x, x dx] y
以 f ( x)dx 作为 A 的近似值。
的面积 A 须经过以下四个步骤：
（1）分割: 把 [a,b] 分成n个小区间，
设第 i 个小曲边梯形的面积为 Ai y
n
则： A Ai i 1
（2）近似计算：
y f (x)
o Ai f ( i )xi ( xi1 i xi );
a
（3）求和：
n
A f ( i )xi
（2）U对于区间[a，b]具有可加性； （3）部分量 U i 的近似值可表示为 f ( i )xi
那么这个量就可以用积分来表示。
具体步骤是：
（1）根据具体问题，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定 它的变化区间[a,b]；
（2）在[a,b]上任取小区间 [x, x+ dx]，求出 U 在这个小区间上
y
(1,1) 1
y
( x)
( x)
o x x dx b x
o
1x
a
7
例２计算抛物线 y 2 2 x 与直线 y x 4 所围成的图形的面积。
解 这个图形如右图所示， 解方程组
y2 2x

y

x

4
得交点 (2,2) (8,4)
以y为积分变量，所求的面积为
y
(8,4)
解方程组
y2 x

y

x2
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点(0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 [0,1] ， 在 [0,1]上任取小区间 [ x, x dx]
面积元素为 dA ( x x 2 )dx. o x x dx 1 x
故所求面积为 A
i 1
lim n
b
（4）取极限：
A
0
f ( i )xi
i 1
f ( x)dx;
a
xi1 xi
bx
2
在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质： （1）A是一个与变量x的区间[a,b]有关的量； （2）A对于区间[a,b]具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于
所有小曲边梯形面积的和。 （3）以 f ( i )xi 近似代替部分量 Ai 时，它们只相差一比
如果 x (t) 适合：( ) a,( ) b,(t)
在[, ]（或 [ , ] ）上具有连续导数， y (t ) 连续
则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知， 曲边梯形的面积为
b

A a f ( x)dx (t)'(t)dt
10
在此区间上任取小区
间 [ , d ] ，

o
d
2a
x
面积元素为
dA

1 2
(a )2 d
于是所求面积为
a A 2 a 2 02
2 d

a2 2
3 2

3
0

4 3
2
3
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例5 计算心形线
r a(1 cos )
所围成的图形面积。
)d
0
2
d
o
2a
x

a
2

3 2


2 sin

1 4
sin 2
0

3 2
a 2
注：当然这个题可以用定积分的元素法来解。
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