高考数学总复习必做数学归纳法试题含解析
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专题5 数学归纳法
【三年高考】
1．【2015江苏高考，23】 已知集合{
}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈= ，{,),(a b b a b a S n 整除
或整除=
}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.
（1）写出(6)f 的值；
（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明. 【解析】（1）()613f =．
（2）当6n ≥时，()2,623112,61
2322,62
2312,632312,64
2
3122,65
23n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫
+++= ⎪⎪
⎝⎭⎪
⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪
⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭
=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝
⎭⎪
-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪
--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩
（t *∈N ）．
下面用数学归纳法证明：
3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()11
122223
k k f k f k k --+=+=++
++
()()12
11223
k k k +-+=+++
+
，结论成立；4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++
++()()1111223
k k k +-+=++++，结论成立；
5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223
k k
f k f k k -+=+=++
++ ()()11
11223
k k k +-+=+++
+
，结论成立；6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++
++()()()11121223
k k k +-+-=++++，结论成
立．
综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立． 2. 【2014江苏，理23】已知函数0sin ()(0)x
f x x x
=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()2
22
f f ππ
π
+
的值； （2）证明：对任意*
n N ∈，等式12
()()4
442
n n nf f ππ
π-+
=
都成立. 【答案】(1)1-；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知102sin cos sin ()'()()'x x x f x f x x x x
===-， 21223
cos sin sin 2cos 2sin ()'()()'x x x x x
f x f x x x x x x
==-=--+， 所以124()2f ππ=-，23216
()2f πππ
=-+，
故122()()2
22
f f ππ
π
+
1=-.
（1）1n =时命题已经成立，
（2）假设n k =时，命题成立，即1()()sin()2
k k k kf x xf x x π-+=+， 对此式两边求导可得1'()()'()cos()2k k k k kf x f x xf x x π-++=+1sin()2
k x π+=+， 即11
(1)()()sin()2
k k k k f x xf x x π++++=+
，因此1n k =+时命题也成立. 综合（1）（2）等式1()()sin()2
n n n nf x xf x x π
-+=+对一切*n N ∈都成立.
令4x π=，得11()()sin()44442
n n n nf f πππππ-++=+，
所以1()()4
442
n n nf f ππ
π-+
=
. 3．【2016山东文12】观察下列等式：
22π2π4
(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；
2222π2π3π4π4
(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；
2222π2π3π6π4
(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；
2222π2π3π8π4
(sin )(sin )(sin )(sin )4599993
----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；
…… 照此规律，
2222
π2π3π2π(sin
)(sin )(sin )(sin )21212121
n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________． 【答案】()4
13
n n ⨯⨯+
【解析】通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是4
3，接下来是和项数有
关的两项的乘积，经归纳推理可知是()1n n +，所以第n 个等式右边是()4
13n n ⨯⨯+.
4．【2015高考山东，理11】观察下列各式：
0014C =
011334C C +=
01225554;C C C ++=
0123377774C C C C +++=