第3章 随机变量模型确定与随机变量生成方法

P(l u ) 1
则称随机区间 (l , u ) 是 的(1 )% 置信区。 (1 )% 为置信区间 (l , u ) 的置信水平。
33
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
分布类型的假设
由观测数据来确定随机变量的分布类型——对观 测数据进行适当的预处理，然后根据预处理的结果 对分布类型进行假设。
e 2 2
2
0
f (x)
0.0 1.0 2.0
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
20
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
常用随机分布类型及其特性
2、典型随机变量的概率分布
(1) 正态分布
f (x)
1
(x )2
e 2 2
2
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
离散型随机变量
确定性活动： 可以事先预言的，即在准确地重复一定的条件下，
其变化的结果总是确定的，或者根据其过去的状态，相 同的条件下，可以预言将来的变化。 随机性活动：
这类活动变化的结果是事先不可预言的，即在相同 条件下进行重复实验，每次结果未必相同，或者知道其 过去的状况，在相同的条件下，未来的发展事先都不能 确定。
n i 1
xi 0
可得
n
xi
i1 x (n)
n
30
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
随机分布的参数估计
点估计：
极大似然估计法
d 2R
d2
n
2
2
3
n
xi
i 1
当
x (n)
时，由于xi为正，可见
d2R
d2
0，因而
x (n)为最
大值，从而得到参数β的最大似然估计值为
n
xi
ˆ x (n) i1
研究对象
离散事件 系统
系统特点
事件在随 机时间点
上发生
工业工程系 苏平
系统建模 随机模型
模型假定
分布类型、 参数
仿真算法
拟合优良 度检验
随机数发 生器
随机变量
的产生
1
第3章 随机变量模型确定与随机变量的 生成方法
3.1 随机变量和随机分布概述
3.2 随机变量模型的确定 3.3 随机数的生成方法 3.4 随机数发生器的检验 3.5 随机变量的生成原理 3.6 典型随机变量的生成
27
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
随机分布的参数估计
点估计：
极大似然估计法 在连续分布情形，令 f (x)为该分布的概率密度函数， 其
似然函数定义为：
L( ) f (x1) f (x2 )... f (xn )
28
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
随机分布的参数估计
点估计：
Yˆj Yˆj (x1, x2,, xn ) ( j 1, 2,, m)
就是Yj的点估计。
25
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
随机分布的参数估计
点估计：
极大似然估计法
设参数θ ， 观测数据为x1, x2, … , xn 。极大似然估计法 是从全部θ中选择一个使样本观测结果出现概率最大的 ˆ 。
34
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
分布类型的假设
1. 连续分布类型的假设
预处理方法有三种： 点统计法 直方图法 概率图法
35
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
分布类型的假设
1. 连续分布类型的假设
(1) 点统计法：基于连续分布的变异系数特征来进行分布类 型的假设。变异系数的定义是：
常用随机分布类型及其特性
1、随机分布的参数类型
(1) 位置参数(记为γ )
确定分布函数取值范围的横坐标。当 γ 改变时，相应
的分布函数仅仅向左或向右移动而不发生其它变化，因而又 称为位移参数。
15
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
常用随机分布类型及其特性
1、随机分布的参数类型
(1) 位置参数(记为γ )
例如， 均匀分布函数U(a, b), 其密度函数为：
f
(x)
b
1
a
a xb
0
其它
f(x)
1 ba
b a b ' a '
0 a ba b
x
a为位置参数
16
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
常用随机分布类型及其特性
1、随机分布的参数类型
(2) 比例参数(记为β )
决定分布函数在其取值范围内取值的比例尺。β的改变
f
(x)
x
e 1 ( x / 1.4)
1.2
0
1
0.8
x0 其它 3.0
2.0
f (x)
0.6
1.0
0.4
0.2
工业工程系 苏平
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x
19
3.1 随机变量和随机分布概述
常用随机分布类型及其特性
2、典型随机变量的概率分布
(1) 正态分布
f (x)
1
(x )2
连续随机变量X的方差计算式为
D(X ) E X E( X )2 x E(X )2 f (x)dx E(X 2 ) E(X )2
13
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
随机变量的数字特征
2、方差和标准差
标准差为方差的平方根
D(X )
14
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
工业工程系 苏平
λ=1.0
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
22
3.1 随机变量和随机分布概述
常用随机分布类型及其特性
2、典型随机变量的概率分布
(2) 泊松分布
P X k k e
只压缩或扩张分布函数， 而不会改变其基本形状。
17
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
常用随机分布类型及其特性
1、随机分布的参数类型
(2) 比例参数(记为β )
例如， 指数分布函数exp(β), 其密度函数为：
f
(x)
1
ex/
0
x0 其它
工业工程系 苏平
f (x)
2
1.8
1.6
0.5
26
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
随机分布的参数估计
点估计：
极大似然估计法 在离散分布情形，可令 Pθ(x)为该分布的概率质量函
数，定义似然函数L(θ) 为：
L( ) P (x1)P (x2 )...P (xn )
则L(θ)是联合质量函数，θ 的最大似然估计值 ˆ 是使L(θ) 取最大值的θ ， 即对于所有可能的θ值, L(ˆ) L( )。
p(xi ) pi 1
i 1
i 1
则X的平均值（数学期望值）为
E( X ) xi p(xi ) xi pi
i 1
i 1
11
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
随机变量的数字特征
1、平均值 对于连续随机变量X，其平均值（数学期望值）为
E(X ) xf (x)dx
12
工业工程系 苏平
3
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
离散型随机变量
设离散随机变量X分别以概率p(x1) ，p(x2) ，… ， p(xn) 取值x1 ，x2 ，… ，xn 其中，0 < p(xi) < 1，且
n
n
p(xi ) pi 1
i 1
i 1
则X的累计分布函数为：
F (x) p(x xi ) pi
R( ) ln L( ) n ln 1 n
i1
xi
29
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
随机分布的参数估计
点估计：
极大似然估计法
由于 R(β) = ln L(β) 是严格递增的， L(β)取最大值等 价于R(β) 取最大值，为此，对R(β)求极值：
dR n 1
d 2
7
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
连续型随机变量
F(x
P a,b
工业工程系 苏平
ab
x
8
3.1 随机变量和随机分布概述
连续型随机变量
例如：均匀分布函数U(a, b), 其密度函数和分布函数 分别为：
f
(x)
b
1
a
a xb
0
其它
0
F
(
x
)
x b
1
a a
xa a xb
xb
n
n
x (n) xi / n S 2 (n) xi x (n)2 /(n 1)
i 1
i 1
则δ的似然估计为：
ˆ S 2 (n) / x (n)
然后根据 ˆ 值并参照各类分布的变异数据δ来假设观测数
1.4
1.2
1 1.0
0.8
0.6
2.0
0.4
0.2
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
x
18
3.1 随机变量和随机分布概述
常用随机分布类型及其特性
1、随机分布的参数类型
(3) 形状参数(记为α )
确定分布函数的形状， 从而改变分布函数的性质，例
如，韦伯分布Weibull(α, β), 其密度函数为：
9
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
连续型随机变量
例如：均匀分布函数U(a, b), 其密度函数和分布函数 分别为：
1 ba
10
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
随机变量的数字特征
1、平均值
设离散随机变量X分别以概率p(x1) ，p(x2) ，… 取值 x1 ，x2 ，… ，其中，0 < p(xi) < 1，且
3.1 随机变量和随机分布概述
随机变量的数字特征
2、方差和标准差
方差表示随机变量相对于均值的平均分散和变动程度。 随机变量X的方差定义为
D(X ) E X E(X )2
离散随机变量X的方差计算式为
D(X ) E X E(X )2 xi E( X )2 pi E( X 2 ) E( X )2 i0
k!
(k 0,1,...)
p(x) p(x)
λ=2.0
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
λ=5.0
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
23
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
三种情形：
① 随机变量分布的类型已知，需要由观测数据确 定该分布的参数；
in
in
4
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
离散型随机变量
F(x
p x2 p x1
x1
x2
p x4 p x3
x3 x4
p(xn p(xn-1
xn-1 xn
x
5
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
连续型随机变量
若随机变量X可取一连续区间上的任何一个值，就 不能定义X取一点值的概率。只考察X落入某个小区间(a, b)内的概率。定义：
极大似然估计法
例： 指数分布，被估计的参数 ( 0)，其分布密度函
数为
f
(x)
1
ex
由 L( ) f (x1) f (x2 )... f (xn )
L(
)
1
e x1 /
1
e x2 /
1
e xn /
n
exp
1
n i 1
xi
为求使L(β)取最大值的 ˆ ，先对L(β)取自然对数：
n
31
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
随机分布的参数估计
区间估计： 区间估计是估计θ 的分布区间，以及θ位于该区
间的可靠度。
32
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
随机分布的参数估计
区间估计：
设总体X的分布含有一个未知参数 ， 如果由样 本确定两个统计量 l 和 u ，对于给定的 (0 1)， 满足：
Var(x) / E(x)
其中Var(x) 与E(x)分别为分布的方差与均值
36
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
分布类型的假设
1. 连续分布类型的假设
(1) 点统计法：
37
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
分布类型的假设
1. 连续分布类型的假设
(1) 点统计法：
点统计法对观测数据进行如下预处理：
若存在非负函数f(x)，使得随机变量X取值于任意区 间(a, b)的概率为
b
P(a,b) a f (x)dx
X —— 连续型随机变量；f(x) ——X的概率密度函数。
6
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
连续型随机变量
f (x) 0
f (x)dx 1
随机变量X概率分布函数
x
F(x) f (x)dx
2
0
6
5
0.5
4
f (x)
3
2
1.0
1
1.5
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1ห้องสมุดไป่ตู้
2
3
4
5
x
21
工业工程系 苏平
3.1 随机变量和随机分布概述
常用随机分布类型及其特性
2、典型随机变量的概率分布
(2) 泊松分布
P X k k e
k!
(k 0,1,...)
p(x) p(x)
λ=0.5
0.4
② 由观测数据确定随机变量概率分布类型，并在 此基础上确定其参数；
③ 由已有的观测数据难以确定该随机变量的理论 分布形式，则定义一个经验分布。
24
工业工程系 苏平
3.2 随机变量模型的确定
随机分布的参数估计
点估计：
设Yj ( j = 1, 2, … , m ) 为要估计的m个未知参数，xi ( i = 1, 2, … , n ) 是一个样本，则用来估计位置参数的统计量