第五章 频率域方法

j2n
37
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A ( )
2 n
(
2 n
2 )2
(2 n
)2
1
1
n
2 2
2
2
n
2
( ) arctan
n
2
1
n
38
谐振频率
mn 122
谐振峰值
Am(m) 2
1
1 2
图5－13
39
图5－14 振荡环节的 幅相特性
图5－15 振荡环节的对数 幅频渐进特性
统）。 • 由图5－20看出，一阶不稳定环节的幅频与
惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一
样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又 称非最小相位环节。
47
九、延迟环节
延迟环节输入输出关系为 ctrt
Gs
Cs Rs
es
A1
Gj
L0
48
49
5－4 系统的开环频率特性
一、开环幅相特性曲线
设系统开环传递函数由若干典型环节串联
58
例5－2 G ( s )1( s 0 2 )0 1 1 0 1 1( 0 .5 s 1 ) s ( s 1 )s (2 )0ss 1 0 .0 s 5 1 五个基本环节 1 10 1 2 s 1 3 s1 1 4 0.05 s 1 5 (0.5s 1)
59
绘制开环系统的波特图
L ( ) 2 0 lgA ( )~ (lg )
对数相频特性:
()~(lg)
25
图5－6 对数坐标刻度图
26
注意
–纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。
–在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程的长度都是相等的。
复相特性）。
频率特性表达式为
j (j)
(s)|sj (j ) | (j )|e
20
例子 以RC网络为例
• 其传递函数
G(s) 1 Ts1
G(j)G(s)sjTj11
频率特性
G(j
)G(s)
sjTj
1
1
1
ejarctan (T)
(T)2 1
21
三、频率特性的几种表示方法
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
K
时，
i1 Tis 1
系统开环传递函 数不包含积分环 节和微分环节
图5－22 系统开环幅相特性曲线
52
（2）当
m
K is 1
G s
i=1 n
时，
Tis 1
i=1
系统开环传递函数 分子有一阶微分环 节，其开环幅相特 性曲线出现凹凸
图5－23 取m=1,n=3时系 统开环幅相特性曲线
53
（3）当
Gs
s
K
Ts1
时，
开环传递函数有 积分环节时，频 率趋于零时，幅 值趋于无穷大。
图5－24 含有积分环
节时的开环幅相特性曲
线
54
2.系统开环幅相的特点
① 当频率 ω → 0 时，其开环幅相特性完全由比例
环节和积分环节决定。
② 当频率ω→∞ 时，若n>m， G(jω) 相角为(mn)π/2。
③ 若G(s) 中分子含有s因子环节，其G(jω)曲线随 ω变化时发生弯曲。
2 1 πn π π / / f(t)ejn tdt ejn t (5-4)
若
，则
，此时
f(t)2 1 π f(t)ejtdt eitd
(5-5)
10
令
F() f(t)ejtdt
(5-6)
则
f(t)1 F()ejtd (5-7)
2π
式（5-6）和式（5-7）构成了非周期信号 f (t) 的Fourier变换
下面先将周期信号的Fourier级数展开式表示成如下指数 形式，即：
8
f (t) cnejn0t n
(5-3)
其中
cn
1 T
T/2 T/2
f(t)ejn0tdt
现设
0 n0n
则
T2π/
于是式（5-3）可以表示为
9
f(t)n 2π π π / / f(t)ejn td t ejn t
l im 0 2 1 πF (0 ) πn 1R e F (n )ejn t
= l im 0 2 1 π F (0 ) πn 1 a (n )c o sn t b (n )s in n t
l im 0 2 1 π F ( 0 ) πn 1 F ( n )s in ( n t( n ) )
40
2.对数频率特性
41
五、微分环节
G(Gj(s))jsejπ2
图5－17
42
六、一阶微分环节
G(s)s1
G (j )j 1 ( )2 1eja rcta n
图5－18
43
七、二阶微分环节
2
G(s)sn 2sn1
G(j)jn 22jn 1
2 1n2
j2
n
A()G(j) 1 n222 n2
n
0 2 0 3 0 4 0 图5-1 幅度频谱
0 2 0 3 0 4 0 图5-2 相位频谱
7
上述周期信号的频谱具有如下特点：
(1)谱线沿频率轴呈离散分布；
(2)各谱线之间呈等距分布，两相邻谱线之间的距离等于 基波频率，任两条相邻谱线之间不可能再出现其他的频 率分量。 对于非周期信号，可以认为是周期信号在其周期趋于无穷 大时的极限情况。
f(t)cosn
0tdt
bn
2 T
2/T 2/T
f(t)sinn
0tdt
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5
式（5-1）也可以表示成
f(t)A0 Ansin(0tn) (5-2) n1
其中
A0 a0 /2
An an2 bn2
narctan(an/bn)
6
可得周期信号
An
的幅度频谱，如图5-1所示。 的相位频谱，如图5-2所示。
F() 就称为信号 f (t ) 的频谱密度函数。
14
通过以上的分析可知，不论是周期信号还 是非周期信号，均可以看成是由无穷多个正 弦信号的叠加。由于线性定常系统满足叠加 原理，因此，通过对系统在不同角频率正弦 信号作用下响应的研究，所得到的结论是具 有普遍意义的，并非只适用正弦输入的情形。
15
5－2 频率特性
④ G(jω) 曲线与负实轴的交点，是一个关键点。
55
二、开环对数频率特性曲线的绘制
系统开环对数幅频与对数相频表达式为
L 2 0 lg G (j) 2 0 lg4G i(j) 42 0 lg G i(j)
i= 1
i= 1
1 2 3 4
系统开环对数幅频等于各环节的对数幅 频之和，相频等于各环节相频之和。
34
对数频率特性
L20 lgA 1
T221
20lg T221 GarctanT
当
T1,
L0
当
T 1,
L 2l0 g T
35
图5－11 惯性环节的对数频率特性曲线
36
四、振荡环节（二阶系统）
传递函数 频率特性
G(s)
n2
s2 2 nsn2
G(j)
n2
( j)2 2n j n2
(n2
n2 2)
性关系。 8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的
概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与 比较。
4
5-1 从傅里叶级数到傅里叶变换
周期为 的函数 示为
可用傅里叶级数表
f(t)a 2 0n 1anco n0 stbnsinn0t
(5-1)
其中
0
2π T
an
2 T
2/T 2/T
–为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量。
27
5－3 典型环节的频率特性
一、比例环节（放大环节）
G(j)KKej0
幅频特性
A()K
相频特性
()0
对数幅相特性 L ( )2l0g K
28
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图5－7 比例环节的频率特性曲线
D
(s)
Ar s2 2
(s
j)
sj
(j) Ar
2j
(j)
j[ (j)π]
2
2 AreLeabharlann 17同理B
(j)
j[ (j)π]
2
2 Are
将B、D代入式（5－12）则
(j)
j[ t (j) π] j[t (j) π]
2
2
cs(t) 2 A r(e
(j)Ar cos(t
e
(j)π)
2
(j)Arsin[t (j)]
29
二、积分环节
传递函数 幅相特性
G(s) 1 s
G(j)
1
jπ
e2
相频特性是一常值 π 2
30
图5－8 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线
31
对数频率特性
图5－9
32
三、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
G(s) 1 Ts1
G (j)Tj 11
1
ejarctanT
(T)21
33
图5－10 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
(5-9) 13
其中
(n)arctan
a(n) b(n)
上述表达式说明，非周期信号 f (t ) 也可以分解为无穷多个正
弦信号的和，但不同于周期信号的情形，这里正弦信号的角频
率是连续变化的，对于频率为 n的正弦信号，其幅度为
F(n) /π。
为了描述频谱连续分布的情况，这里引入单位频带内的频谱— —频谱密度的概念。
第五章 频率域方法
主要内容
5－1 从傅里叶级数到傅里叶变换 5－2 频率特性 5－3 典型环节的频率特性 5－4 系统的开环频率特性 5－5 频率稳定判据 5－6 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 5－7 开环频率特性与系统阶跃响应的关系
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2
基本要求
1. 正确理解频率特性的概念。 2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性
Acsint()
（5－17）
18
• 式中
Ac (j)Ar
( j )
从式（5－17）看出，线性定常系统， 在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输 入同频率的正弦信号。
19
二、频率特性的定义
线性定常系统，在正弦信号作用下，输 出的稳态分量与输入的复数比，称为系统
的频率特性（即为幅相频率特性，简称
一般规则：
– 写成典型环节之积； – 找出各环节的转折频率； – 画出各环节的渐近线； – 在转折频率处修正渐近线得各环节曲线； – 将各环节曲线相加即得波特图。
G sG 1sG 2sG 3s
开环频率特性
G
j
3
i1
Gi(j)
ej( i31 Gi(j))
50
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系统开环幅频与相频分别为
3
AGjGi(j)
1 i 2 1 3
L20lgG(j)
3
3
20lg Gi(j) 20lgGi(j)
i=1
i=1
51
1.开环幅相特性曲线
（1）当
n
Gs
曲线及对数频率特性曲线。 3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对
数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。 4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅
频特性曲线求开环传递函数的方法。
3
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5. 熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其 应用。
6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。 7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定
一、控制系统在正弦信号作用下的 稳态输出
输入信号： 其拉氏变换式
r(t)Arsint
R(s)
A s2 2
(5-10)
16
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输出
C(s)i n1sC isi sBjsD j(5-11)
拉氏逆变换得 c(t) n Ciesit (Dejt Bejt)
i1
（5-12）
ct (t)cs(t)
其中
G(j)G(j) G(j)
= A()ej()
:0 ，
A()~为系统的幅频特性。
() ~ 为系统的相频特性。
22
图5－4
RC网络的幅频特
性和相频特性
23
图5－5 RC网络
的幅相特性曲线
24
2. 对数频率特性
• 对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
对数幅频特性：
44
图5－19 二阶微分环节的对数频率特性
()
2
G(
j)
arctan
1
n
2
n
45
八、一阶不稳定环节
G(s) 1 Ts1
G (j ) 1 1 ej[πarctan(T)] Tj 1 (T)21
图5－20
46
非最小相位环节
• 定义：传递函数中有右极点、右零点的环节
（或系统），称为非最小相位环节（或系
和Fourier逆变换。
f (t) 的Fourier变换可以表示为
11
F () f(t)c o std t j f( t)s intd t
a()jb()
(5-8)
显然
，所以式（5-7）可以表示为
f(t)lim1
F(n)ejnt
02πn
12
l im 021πF(0)21πn n 0 F(n)ejnt
56
例5－1
系统开环传递函数
G(s) 10 (0.1s1)(s1)
绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。
解：
G (s) 10 101 1 (0.1s1)s(1) 0.1s1s1
57
开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与 相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线 绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。