概率论与数理统计习题解答

第一章 随机事件及其概率
1. 写出下列随机试验的样本空间：
（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；
（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；
（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下
（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x 2+y 2<1}
（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0}
2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生，而C 不发生； （3）A 、B 、C 都发生； （4）A 、B 、C 都不发生； （5）A 、B 、C 不都发生； （6）A 、B 、C 至少有一个发生； （7）A 、B 、C 不多于一个发生； （8）A 、B 、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下
(1)(2)(3)(4)(5)(6)
(7)(8)A B C A B C A B C
A B C
A B C A B C
A B B C A C
A B
B C
C A
3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年
级学生，事件C 表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？
（2）在什么条件下ABC =C 成立？
（3）在什么条件下关系式C B ⊂是正确的？ （4）在什么条件下A B =成立？ 解 所求的事件表示如下
（1）事件AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员.
（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC =C 成立.
（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B ⊂是正确的.
（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝0.7，P (A －B )＝0.3，试求()P AB 解 由于 A -B = A – AB , P (A )=0.7 所以
P (A -B ) = P (A -AB ) = P (A ) -P (AB ) = 0.3,
所以 P (AB )=0.4, 故
()P AB
= 1-0.4 = 0.6.
5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝14
，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 18
求A 、
B 、
C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,
⊂=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0
则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC)
1111500044488
=++---+=
6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}.
解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为22a b A A +，有利于B 的事件数为1111112a b b a a b A A A A A A +=, 则
2
2
1
1
2
22()()a b a b
a b
a b
A A A A
P A P B A A +++==
7. 若10件产品中有件正品，3件次品,
（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设A={取得三件次品} 则 333333101016
()()120720
或者====
C A P A P A C A .
（2）设B={取到三个次品}, 则
33327
()101000
==
P A .
8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人
会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求： （1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率.
解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语} 根据题意, 可得
(1) 32923()()()100100
100
=-=-=P ABC P AB P ABC
(2)
()()()P ABC P AB P ABC =-
()01()P A B P A B =+-=-+
1()()()P A P B P AB =--+
43353254
1100100100100
=--+=
9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：
（1） 取到的都是白子的概率；
（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解
(1) 设A={取到的都是白子} 则 3831214
()0.25555
===C P A C .
(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}
21
84
312
()0.509==C C P B C .
(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.745=-=P C P A .
(4) 设D={取到三颗子颜色相同}
33
84
3
12
()0.273+==C C P D C .
10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？
（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解
(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则 500
500
364()1()10.746365
=-=-=P A P A (2)设所求的概率为P(B)
412
6126
11()0.007312
⨯⨯==C C P B
11. 将C ，C ，E ，E ，I ，N ，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE 的概率p. 解 由于两个C ，两个E 共有2222A A 种排法，而基本事件总数为77A ，因此有 22
227
7
0.000794A A p A ==
12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率. 解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有⋅4452C 中取法.
设
A={4只手套都不配对}，则有
⋅==445410
280()210C P A C
13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i 只零件是不合格的概率为
=
+11i p i
，i=1，2，3，若以x 表示零件中合格品的个数，则P(x =2)为多少？
解 设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则1()1i i P A p i
==
+ 所以
()11i i i P A p i
=-=
+
123123123(2)()()()P x P A A A P A A A P A A A ==++
由于零件制造相互独立，有：
123123()()()()P A A A P A P A P A =，123123()()()()P A A A P A P A P A = 123123()()()()P A A A P A P A P A =
11112111311
,(2)23423423424
P x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
所以
14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独
立射击至少有一次命中目标的概率p.
解 设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B i ={第i 次击中目标}, i=1,2.
则 P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外 B=B 1+B 2，由全概率公式
12()()()
()()(|)()(()|)
P B P AB P AB P AB P A P B A P A P B B A =+===+ 另外, 由于两次射击是独立的, 故
P(B 1B 2|A)= P(B 1|A) P(B 2|A) = 0.36 由加法公式
P((B 1+B 2)|A)= P(B 1|A)+ P(B 2|A)－P(B 1B 2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84
因此
P(B)= P(A)P((B 1+B 2)|A)=0.7×0.84 = 0.588
15. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件
次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.
解 设A i ={一批产品中有i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品}, C={产品中次品不超两件}, 由题意
019149110
5019248210
5019347310
5019446110
50(|)0
1
(|)516
(|)4939
(|)98988
(|)2303
=========P B A C C P B A C C C P B A C C C P B A C C C P B A C
由于 A 0, A 1, A 2, A 3, A 4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式
4
0()()(|)0.196
===∑i i i P B P A P B A
由Bayes 公式
000111222()(|)
(|)0
()
()(|)
(|)0.255
()
()(|)
(|)0.333
()=
=====P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B
故
2
0()(|)0.588
===∑i i P C P A B
16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，
0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.
解 设B={三件都是好的}，A 1={损坏2%}, A 2={损坏10%}, A 1={损坏90%}，则A 1, A 2, A 3是两两互斥, 且A 1+ A 2 +A 3=Ω, P(A 1)=0.8, P(A 2)=0.15, P(A 2)=0.05. 因此有 P(B| A 1) = 0.983, P(B| A 2) = 0.903, P(B| A 3) = 0.13, 由全概率公式
3
1333()()(|)
0.80.980.150.900.050.100.8624
===⨯+⨯+⨯=∑i i i P B P A P B A
由Bayes 公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为
3
13
23
3()(|)0.80.98(|)0.8731
()0.8624()(|)0.150.90(|)0.1268
()0.8624()(|)0.050.10(|)0.0001
()0.8624
⨯===⨯===⨯=
==i i i i i i P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B
由于P( A 1|B) 远大于P( A 3|B), P( A 2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.
17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且
含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （1）一次通过验收的概率α；
（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解 设H i ={箱中实际有的次品数},
0,1,2
=i , A={通过验收}
则 P(H 0)=0.8, P(H 1)=0.15, P(H 2)=0.05, 那么有：
04
2314244222424(|)1,
5
(|),
695
(|)138
P A H C P A H C C P A H C =====
(1)由全概率公式
20
()()(|)0.96α====∑i i i P A P H P A H
(2)由Bayes 公式 得
00()(|)0.81
(|)0.83
()0.96
β⨯==
==i P H P A H P H A P A
18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的
概率为0.1，问在同一时刻
（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？
解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故
(1) 223
155(2)(0.1)(0.9)0.0729
===P P C
(2) 2555(3)(4)(5)
P P P P =++
3324415
50555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=
第二章 随机变量及其分布
1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示：
2. 进行某种试验，设试验成功的概率为34
，失败的概率为14
，
以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 解 X 的分布律为：
1
1
3(),1,2,3,44k P X k k -⎛⎫
⎛⎫
=== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
X 取偶数的概率：
21
13{}(2)4411116331165116
k k P X P X k -∞
∞
∞
⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎛⎫
==⨯=
⎪-⎝⎭∑∑∑k=1k=1k=1为偶数 3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数123,,x x x .求：
X ＝max (123,,x x x )的分布律及P(X ≤4)； Y ＝min (123,,x x x )的分布律及P(Y>3). 解 基本事件总数为：3510C =，
X 3
4
5
(1)X 的分布律为：
P(X ≤4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y 的分布律为
P(X>3) =0
4. C 应取何值，函数f(k) =!
k
C k λ，k ＝1，2，…，λ>0成为
分布律？
解 由题意, 1()1k f x ∞
==∑, 即
01
1
0(1)1!
!!0!k
k
k k k k C
C C C e k k k λλλλλ∞
∞
∞===⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭
∑∑
∑ 解得：1(1)
C e λ
=-
5. 已知X
的分布律 X －1
1
2
P
16
26
36
求：（1）X 的分布函数；（2）12P X ⎛⎫< ⎪⎝
⎭
；（3）312P X ⎛⎫
<≤ ⎪⎝
⎭
.
解 (1) X 的分布函数为()()k k x x
F x P X x p ≤=≤=∑
0,
1
1/6,11
()1/2,121,
2
x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨
≤<⎪⎪≥⎩;
(2) 11(1)26P X P X ⎛
⎫<==-= ⎪⎝
⎭
(3)
31()02P X P ⎛
⎫<≤=∅= ⎪⎝
⎭
6. 设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.6，求一次投篮时投
中次数X
解 X 的分布函数
0()0.6
0111
x F x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩
7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p ，求：
（1）三次射击中恰好命中两次的概率；
（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？ 解 设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则
(1) P(A) =2232233(2)(1)3(1)P C p p p p -=-=-
(2) P(B) =22323333233333(2)(3)(1)(1)32P P C p p C p p p p --+=-+-=-
8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：
（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；
（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率. 解
(1) P(X=6) =6
4
40.104
!6!
k e e k λλ--==或者
P(X=6) =
!k
e
k λ
λ-44
6744!!
k k k k e e k k ∞
∞--===-∑∑= 0.21487 – 0.11067 =
0.1042.
(2) P(X ≤10)10
44
011
44110.00284
!!k
k
k k e e k k ∞
--====-=-∑∑ = 0.99716
9. 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X ＝1)＝P(X ＝2)，求P(X ＝4) 解 由已知可得，
12,1!2!
e e λλ
λλ--=
解得λ=2， (λ=0不合题意)
42
2,(4)4!
P X e -==因此= 0.09
10. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率. 解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X 服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即X~B(1000, 0.003), 由于n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此
(1) P(X=2)
23
30.2242!
e -==
(2)32
3
(2)1(2)110.80080.1992
!
k k P X P X e k ∞
-=<=-≥=-=-=∑
(3)3
33(2)(2)0.5768!k k P X P X e k ∞
-=>=>==∑
(4)3
13(1)0.9502!
k k P X e k ∞
-=≥==∑
11. 设连续型随机变量X 的分布函数为
20,
0(),011,1x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩
求：（1）系数k ；（2）P(0.25<X<0.75)；（3）X 的密度函数；（4）四次独立试验中有三次恰好在区间(0.25，0.75)内取值的概率.
解 (1) 由于当0≤x ≤1时，有
F(x )=P(X ≤x )=P(X<0)+P(0≤X ≤x )=k x 2 又F(1) =1, 所以k ×12=1
因此k=1.
(2) P(0.25<X<0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.752-0.252=0.5 (3) X 的密度函数为
2,01
()'()0,x x f x F x Other ≤≤⎧==⎨
⎩
(4) 由(2)知，P(0.25<X<0.75) = 0.5， 故
P{四次独立试验中有三次在(0.25, 0.75)内} =
334340.5(10.5)0.25C --=.
12. 设连续型随机变量X 的密度函数为
1()0,
1
x F x x ⎧
<⎪=⎨
⎪≥⎩
求：（1）系数k ；（2）12P X
⎛⎫<
⎪⎝
⎭
；
（3）X 的分布函数.
解 (1)由题意，
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
, 因此
1
1
1
()arcsin 111
k
f x dx k x k k ππ
+∞
+-∞
-====-=
⎰
⎰
解得:
(2)
1/21/21/21111arcsin 1/22663P x x ππππ--⎛
⎫⎛⎫<===-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰ (3) X 的分布函数
1()()1/2arcsin /1111
1/x
x F x f x dx x x x k π
π
-∞
<-⎧⎪
==+-≤≤⎨⎪>⎩
=⎰
解得:
13. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z 表示每天的耗电率(即用电量除以100万千瓦时)，它具有分布密度为
212(1),01
()0,
x x x F x ⎧-<<=⎨
⎩其他
若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的？
解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为： P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=1
2
0.8
12(1)0.0272x x dx -=⎰
如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：
P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=1
2
0.9
12(1)0.0037x x dx -=⎰ 14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为
600
1,0()600
0,x
e x F x x
⎧<⎪
=⎨⎪≥⎩
试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率.
解 设X 表示该型号电子元件的寿命，则X 服从指数分布，设A={X ≤200}，则 P(A)=
1200
600
3
11600
x e dx e
-
-
=-⎰
设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为：
10030
3
33
1
(1)1(0)1()(1())
1()1P Y P Y C P A P A e e
-
-≥=-==--=-=-
15. 设X 为正态随机变量，且X ～N(2，2σ)，又P(2<X<4) = 0.3，
求P(X<0) 解 由题意知
()222422(24)00.3X P X P σ
σ
σσ---⎛⎫⎛⎫<<=<<=Φ-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即20.30.50.8σ⎛⎫
Φ=+= ⎪⎝⎭
故
20222(0)10.2X P X P σσσσ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<=<=Φ=-Φ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
16. 设随机变量X 服从正态分布N(10，4)，求a ，使P(|X －10|<a ) = 0.9.
解 由于()()10|10|102
2
2a X a P X a P a X a P --⎛⎫-<=-<-<=<<
⎪⎝⎭
210.9222a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=Φ-Φ=Φ-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以0.952a ⎛⎫
Φ= ⎪⎝⎭
查表可得， 2
a =1.65
即 a = 3.3 17. 设某台机器生产的螺栓的长度X 服从正态分布N(10.05，0.062)，规定X 在范围(10.05±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率.
解 由题意，设P 为合格的概率，则
()10.05(|10.05|0.12)0.1210.050.12220.06
X P P X P X P -⎛⎫=-<=-<-<=-<< ⎪
⎝
⎭
(2)(2)2(2)120.977210.9544=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=
则不合格的概率=1-P = 0.0456
18. 设随机变量X 服从正态分布N(60，9)，求分点x 1，x 2，使X 分别落在(－∞，x 1)、(x 1，x 2)、(x 2，+∞)的概率之比为3:4:5. 解 由题，
111116060603()()0.253
333456060()1()0.75,
33
x x X P X x P x x ---⎛⎫
<=<=Φ== ⎪
++⎝⎭--Φ-=-Φ=
查表可得
160
0.673
x --
=
解得, x 1 = 57.99
22260606034()(
)0.5833333345x x X P X x P ---+⎛⎫
<=<=Φ== ⎪++⎝⎭
又
查表可得
260
0.213
x -=
解得, x 2 =60.63. 19. 已知测量误差X （米）服从正态分布N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.98？
解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p , 则由题可知
107.57.5107.5(10)10
1010(0.25)( 1.75)(0.25)1(1.75)0.598710.95990.5586
X p P X P ----⎛⎫
=<=<< ⎪
⎝⎭=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+=
设 Y 为n 次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n, 0.5586)
于是 P(Y ≥1)=1-P(X=0)=1-(1-0.5586)n ≥0.98 0.4414n ≤0.02, n ≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得：n ≥4.784
取n=5, 即，需要进行5次测量. 20.
设随机变量X 的分布列为
X －2 0
2
3
P
1
7
17
37
27
试求：（1）2X 的分布列；（2）x 2的分布列. 解 (1) 2X 的分布列如下
(2) x 2的分布列
21. 设X 服从N(0，1)分布，求Y
＝｜X ｜的密度函数. 解 y=|x|的反函数为,0
h(y)=,
x x x x -<⎧⎨
≥⎩, 从而可得Y=|X|的密度
函数为： 当
y>0
时
，
2
2
22
1
2
())
|
y
y y
Y X X f y f y
y
f y
y e e ---=--+=
+=
当y ≤0时，()Y f y =0 因此有 2
2,0()0,0y
Y e y f y y ->=≤⎩
22. 若随机变量X 的密度函数为
23,
01
()0,
x x f x ⎧<<=⎨
⎩其他
求Y ＝1x
的分布函数和密度函数.
解 y=1x
在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)=
1y
,
y>1, h ’(y)=2
1y -
222
41111
3()[()]|()|3Y X X f y f h y h y f y y y y
y
⎛⎫⎛⎫⎛⎫'==-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因此有
4
3
,1()0,Y y y f y other ⎧>⎪=⎨⎪⎩
Y 的分布函数为：433
131,1()10,y Y y y dy y y y F y other
---⎧=-=->⎪=⎨⎪⎩
⎰
23. 设随机变量X 的密度函数为
2
2,0(1)
()0,0
x x f x x π⎧
>⎪+=⎨⎪≤⎩
试求Y ＝lnX 的密度函数.
解 由于ln y x =严格单调，其反函数为(),
'()y y h y e h y e ==且,
则
2()[()]|()|()2(1)
2,()
y y
Y X X y
y y y f y f h y h y f e e e e y e e ππ-'===
+=-∞<<+∞+
24. 设随机变量X 服从N(μ,2σ)分布，求Y ＝x e 的分布密度.
解 由于x y e =严格单调，其反函数为1()ln ,'(),h y y h y ==且y
y>0,
则
2
2
1(ln )
21()[()]|()|(ln )
,0
Y X X y f y f h y h y f y y
y μσ--'===
>
当
0y ≤时()0Y f y =
因此
221(ln )2,0()0,
y Y y f y y μσ--⎧>=≤⎩
25. 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：Y ＝21x e --在区间(0, 1)上服从均匀分布.
解 由于21x y e -=-在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为：
1
()ln(1),01,2
h y y y =--<<
并且
1'()2(1)
h y y =
-，则当01y << 1
2(ln(1))
2
()[()]|()|
11
(ln(1))
22(1)1
21
2(1)
Y X X y f y f h y h y f y y e
y ---'==---==-
当y ≤0或y ≥1时，()Y f y =0.
因此Y 在区间(0, 1)上服从均匀分布. 26. 把一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中正面出现的次数，Y 表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X ，Y ）的联合概率分布.
解 根据题意可知, (X ,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y 的取值及概率分别为
P(X=3, Y=3)=18
P(X=2,
Y=1)=2
2
3
113
228
C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
P(X=1, Y=1)=
31
13
113228
C -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
P(X=0, Y=3)=
3
1128
⎛⎫= ⎪⎝⎭ 于是，（X ，Y ）的联合分布表如下：
27. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X 表示其中一级品件数，Y 表示其中二级品件数，求： （1）X 与Y 的联合概率分布； （2）X 、Y 的边缘概率分布； （3）X 与Y 相互独立吗？
解 根据题意，X 只能取0，1，2，Y 可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：
(1) 2
71
310
(,),
i
j k ij
C C C
p P X i Y j C
====其中,3,0,1,2,i j k i ++==0,1,2,3j =
0,1k =,可以计算出联合分布表如下
j
p
(2) X,Y 的边缘分布如上表
(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y 不相互独立.
28. 袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数分别为X 和Y ，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率P(X ＋Y>6)
解 (1) X,Y 可取的值都为2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分
j p
(2) P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)
=1/6+1/6+1/6=1/2.
29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为
(,)arctan arctan 23x y F x y A B C ⎛
⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭,
求：（1）系数A 、B 及C ； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X ，Y 的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量X 与Y 是否独立？
解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组：
arctan 0
22arctan 0
230
221
22x A B C y A B C A B C A B C ππππππ⎧⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎨
⎛⎫⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎪
⎛⎫⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎩
解得：2
1
,,,22
A B C π
π
π
===
(2)
22
22(,)6
(,)(4)(9)
F x y f x y x y x y π∂==∂∂++ (3) X 与Y 的边缘分布函数为：
211()(,)arctan arctan 222222X x x F x F x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+∞=
++=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 211()(,)arctan arctan 222322Y y y F y F y ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+∞=++=+ ⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
X 与Y 的边缘概率密度为：
'22()()(4)
X X f x F x x π==+
'23
()()(9)
Y Y f y F y y π==
+
(4) 由(2),(3)可知：(,)()()X Y f x y f x f y =, 所以X ，Y 相互独立.
30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为
-(x+y)e ,
0,
(,)0,x f x y ⎧<<+∞=⎨
⎩
其他
（1）求分布函数F(x, y)；
（2）求(X ，Y)落在由x ＝0，y ＝0，x ＋y ＝1所围成的三角形区域G 内的概率.
解 (1) 当x>0, y>0时，
()0
(,)(1)(1)y x
u v x y F x y e dudv e e -+--==--⎰
⎰
否则，F (x, y ) = 0.
(2) 由题意，所求的概率为
11()10
((,))(,)120.2642
G
x
x y P x y G f x y dxdy
dx e dy e --+-∈===-=⎰⎰⎰⎰
31. 设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为
-(3x+4y)Ae ,
0,0,
(,)0,x y f x y ⎧>>=⎨
⎩
其他
求：（1）常数A ；（2）X ，Y 的边缘概率密度；（3）
(01,02)P X Y <≤<≤.
解 (1) 由联合概率密度的性质，可得
(34)00(,)1/12x y f x y dxdy Ae dxdy A +∞+∞+∞+∞
-+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ 解得 A=12.
(2) X, Y 的边缘概率密度分别为：
(34)30123,0()(,)0,x y x X e
dy e x f x f x y dy other +∞
-+-+∞-∞
⎧=>⎪==⎨
⎪⎩⎰⎰ (34)40124,0()(,)0,
x y y Y e
dx e y f y f x y dx other +∞
-+-+∞
-∞
⎧=>⎪==⎨
⎪⎩⎰⎰
(3) (01,02)P x y <≤<≤
2
1
(34)
03
8
12(1)(1)
x y e
dxdy
e e -+--==--⎰
⎰
32. 设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为
2,
01,02,
(,)3
0,
xy
x x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他
求 P(X ＋Y ≥1).
解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G 中, 则
1
2
2012310((,))(,)3
456532672G x P x y G f x y dxdy
xy dx x dy x x x dx -∈==+
=++=⎰⎰⎰⎰
⎰
33. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G 上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度.
解 由于(X, Y)服从均匀分布，则G
的面积A 为：
2
11
2001(,)()6
x x G
A f x y dxdy dx dy x x dx ===-=⎰⎰⎰⎰⎰,
(X, Y)的联合概率密度为：
6,01
(,)0,x f x y other ≤<⎧=⎨⎩
.
X,Y 的边缘概率密度为：
2
266(),01()(,)0,
x x
X dy x x x f x f x y dy other +∞-∞
⎧=-≤<⎪
==⎨⎪⎩⎰⎰ ),01()(,)0,
y
Y dy y y f y f x y dx other +∞-∞
⎧=≤<⎪
==⎨⎪⎩⎰
34. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y 的概率密度是
55,0
()0,0y y e y f y y -⎧ >=⎨≤⎩
求：（1）X 和Y 和联合概率密度； （2）P(Y ≤X).
解 由于X 在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以()1/0.25X f x == (1) 由于X ，Y 相互独立，因此X, Y 525,0,00.2
(,)()()0,y X Y e y x f x y f x f y other -⎧><<==⎨⎩
(2) 由题意，所求的概率是由直线x=0, 所围的区域，
如右图所示， 因此
0.2
50
0.2
511
()(,)255111x
y G
x P Y X f x y dxdy dx e dy
e dx e e ----≤===-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰
35. 设（X ，Y ）的联合概率密度为
1
,01,02
(,)20,x y f x y ⎧ ≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他
求X 与Y
中至少有一个小于12
的概率.
解 所求的概率为
0.50.5
1
2
0.50.511()()2
2111,221(,)15128
P X Y P X
Y f x y dxdy
dxdy +∞+∞
⎛
⎫<< ⎪
⎝⎭
⎛⎫=-≥≥ ⎪⎝⎭=-=-=⎰⎰
⎰
⎰ 36. 设随机变量X 与Y 相互独立，且
X －1
1
3 Y －3 1
P
12
15
310
P 14
34
求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律.
解 由独立性，计算如下表
37. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为
X 1 2 3
Y
1
1
6
19
118
2
a
b
c
（1）求常数a ，b ，c 应满足的条件；
（2）设随机变量X 与Y 相互独立，求常数a ，b ，c. 解 由联合分布律的性质，有：
11116
918
a b c +++++=, 即 a + b + c =12133
-= 又，X, Y 相互独立，可得 111::::6918
a b c =
从而可以得到： 121,,399a b c ===
38. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
2
2
23
2
,0,1,1(,),0,01,10,x x y x x y F x y x y x
⎧ >>⎪+⎪
⎪= ><≤⎨+⎪⎪ ⎪⎩
其他， 求边缘分布函数()x F x 与()y F y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.
解 由题意, 边缘分布函数
22
22
lim
,0()(,)110,0y X x x x F x F x x x x →+∞⎧=>⎪=+∞=++⎨⎪≤⎩
下面计算F Y (y )
23322
2
0,0()(,)lim ,011lim
1,11Y x x y x y F y F y y y x
x y x →+∞→+∞⎧⎪≤⎪
⎪
=+∞==<≤⎨+⎪⎪=>⎪+⎩
可以看出，F(x,y)= F x (x ) F Y (y ), 因此，X ，Y 相互独立.
39.
设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布
函数为
132,1,1
(,)0,y
e x y
f x y x -⎧ ≥≥⎪=⎨⎪ ⎩其他，
求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.
解 先计算()X f x , 当x <1时, ()0X f x =
当x ≥1时,
11333
1222()1y
y X f x e dy e x x x
+∞--+∞-===⎰
再计算()Y f y , 当y <1时, ()0Y f y =
当y ≥1时, 11132
1
21()1y y y
Y f y e dx e e x x
+∞---+∞-===⎰
可见, (,)()()X Y f x y f x f y =
,
所以随机变量X, Y 相互独立
40.
设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布
函数为
,(,)0,x y x y f x y + 0≤,≤1,
⎧=⎨ ⎩其他，
求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.
解 先计算()X f x , 当x <0或者x >1时, ()0X f x = 当1≥x ≥0时,
1
2
12
011
()02
X f x x y dy xy y x =+=+=+⎰ 再计算()Y f y , 当y <0或者y >1时, ()0Y f y = 当1≥y ≥0时, 1
20111()022
Y f y x ydx xy x y =+=+
=+⎰ 由于
11(,)()()22X Y f x y x y f x f y x y ⎛
⎫⎛⎫=+≠=++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭,
所以随机变量
X,Y 不独立
41.
设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布
函数为
22,00
(,)0,x y e x y f x y --⎧ >,>=⎨ ⎩其他
求随机变量Z ＝X －2Y 的分布密度. 解 先求Z 的分布函数F(z ) :2()()(2)(,)D X Y z
F z P Z z P X Y z f x y dxdy -≤=≤=-≤=⎰⎰
当z<0时，积分区域为：
求得2
220()2z
z y
x y F z dy e dx +∞+---=⎰⎰
2
24122
z y y z z e e dy e +∞
----=-=
⎰ 当z ≥0时，积分区域为：2200
()2z y
x y
F z dy e dx +∞+--=⎰⎰ 2401
212
y
y z
z e
e
dy e +∞
----=-=-⎰
由此, 随机变量Z 的分布函数为
11,02
()1,02
z
z e z F z e z -⎧-≥⎪⎪=⎨
⎪<⎪⎩ 因此, 得Z 的密度函数为：
1,02
()1,0
2
z
z e z f z e z -⎧≥⎪⎪=⎨
⎪<⎪⎩
42. 设随机变量X 和Y 独立，X ～2()N μ,σ，
Y 服从［－b ，b ］(b>0)上的均匀分布，求随机变量Z ＝X ＋Y 的分布密度. 解 解法一 由题意，
2
2
()21()()()2z y a b
X Y F z f z y f y dy dy b
σ---+∞-∞
-=-=⋅
⎰
⎰
令)/,,[,],z y a t dy dt y b b σσ--==-∈-(则
()()()22
11()22z b a
z b a
t z b a z b a
F z e dt b b
σ
σ
σσ+----+---=
=
Φ-Φ⎰ 解法二
2
2
()()(),
()1
()
2
2
11
22
1
11
2
1
2
X Y
z b
z b
F z f x f z x dx
-b<z-x<b,
z-b<x<z+b
x a
F z dx
b
z b
x a z b a z b a
z b
b b
a z
b a z b
b
a z b
b
σ
σσσ
σσ
σ
+∞
-∞
+
-
=-
∴
--
=⋅
+
-⎛+---⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=Φ=Φ-Φ
⎪ ⎪ ⎪
⎪
-
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎛⎫
--⎛-+⎫
⎛⎫⎛⎫
=-Φ--Φ
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
-+
⎛⎫
=Φ ⎪
⎝⎭
⎰
⎰
a z b
σ
⎛--⎫
⎛⎫
-Φ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
43.设X服从参数为1
2
的指数分布，Y服从
参数为1
3
的指数分布，且X与Y独立，求Z＝X＋Y的密度函数.
解由题设，X~
1
2
1
2
0,0
()
,0
X x
x
f x
e x
-
≤
⎧⎪
=⎨
>
⎪⎩
, Y~1
3
1
3
0,0
()
,0
Y x
x
f y
e x
-
≤
⎧⎪
=⎨
>
⎪⎩
并且，X，Y相互独立，则()()()
Z X Y
F z f x f z x dx
+∞
-∞
=-
⎰
由于()
X
f x仅在x>0时有非零值，()
Y
f z x
-仅当z-x>0，即z>x时有非零值，所以当z<0时，()
X
f x=0, 因此()
Z
f z=0.
当z>0时，有0>z>x, 因此
1
1
3
2
()
11
()
23
z z x
x
Z
F z e e dx
--
-
=⎰
1
6332
1
6
z
z z
z x
e dx e e
--
--
==-
⎰
44.设（X，Y）的联合分布律为
X0 1 2 3
Y
0 0 0.05 0.08 0.12
1 0.01 0.09 0.1
2 0.15
2 0.02 0.11 0.1
3 0.12
求：（1）Z＝X＋Y的分布律；（2）U＝max（X，Y）的分布律；（3）V＝min（X，Y）的分布律.
解(1) X+Y的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0
P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06
P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28
P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12
同理，U=max(X,Y)的分布如下U∈{0,1,2,3}
同理，V=min(X,Y)的分布分别如下V∈{0,1,2}
第三章 随机变量的数字特征
1. 随机变量X 的分布列为
X －1 0 12
1
2
P
13
16
16
112
14
求E(X)，E(－X ＋1)，E(X 2) 解 1111111
36261243()1012E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
111111
2
36261243
(1)((1)1)(01)(1)(11)(21)E X -+=--+⨯+-+⨯+-+⨯+-+⨯+-+⨯=
或者1233(1)()(1)()11E X E X E E X -+=-+=-+=-+=
2222223511111
1362612424
()(1)(0)()(1)(2)E X -=-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
2. 一批零件中有9件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望. 解 设取得合格品之前已经取出的废品数为X, X 的取值为0, 1, 2, 3, A k 表示取出废品数为k 的事件， 则有：
1
39
112123
0(),0,1,2,3,
66
()()0.3220
k k k k
k k C C P A k C C E X k P A -==∙==⋅=
=∑
3. 已知离散型随机变量X 的可能取值为－1、0、1，E(X)＝0.1，E(X 2)＝0.9，求P(X=-1)，P(X ＝0)，P(X ＝1). 解 根据题意得：
2
2
2
2
()1(1)0(0)1(1)0.1()(1)(1)0(0)1(1)0.9
E X P X P X P X E X P X P X P X =-=-+=+===-=-+=+==
可以解得 P(X =-1)=0.4, P(X=1)=0.5,
P(X=0) = 1- P(X =-1) - P(X=1) = 1-0.4-0.5=0.1
4. 设随机变量X 的密度函数为
2(1),()x x f x - 0<<1,⎧=⎨ 0, ⎩
其他.
求E(X). 解 由题意,
1
1()()2(1)3
E X xf x dx x xdx ∞-∞
==-=
⎰⎰,
5. 设随机变量X 的密度函数为
,0()x e x f x x -⎧ ≥,=⎨ 0, <0.
⎩
求E(2X)，E(2x e -). 解
(2)2()2x E X xf x dx xe dx ∞∞
--∞
==⎰⎰
(
)
()000
2|20|2x x x xe e dx e
∞
-∞--∞
=+=-=⎰ 22230
()()11|33
X
x x x
x E e
e f x dx
e
e dx e ∞
---∞∞
---∞===-=⎰⎰
6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间［a ，b ］上，
求球的体积的数学期望.
解 由题意，球的直接D~U(a,b), 球的体积V=()3432D π
因此，3
41
()()32b
a
x E V Vf x dx dx b a
π∞-∞⎛⎫== ⎪-⎝⎭⎰⎰ 4220|()()24()
24
x a b a b b a π
π
∞=
=
++-
7. 设随机变量X ，Y 的密度函数分别为
22,0()x X e x f x x -⎧ >,
=⎨ 0, ≤0.⎩
44,0()y Y e y f y y -⎧ >,
=⎨ 0, <0.
⎩
求E(X ＋Y)，E(2X －3Y 2). 解
()()(E X Y E X E Y
+=+
240
()()24113
244
X Y x y x f x dx y f y dy
xe dx ye dy
+∞
+∞-∞-∞
+∞
+∞
--=+=+=
+=⎰
⎰
⎰⎰
22222400
(23)2()3()
2()3()223435188
X Y x
y E X Y E X E Y x f x dx y f y dy
xe
dx y e dy
+∞
+∞
-∞-∞
+∞
+∞
---=-=-=-=-
=⎰
⎰
⎰⎰
8. 设随机函数X 和Y 相互独立，其密度函数为
2,1()X x x f x 0≤≤,
⎧=⎨ 0, .⎩
其他
5,5() 5y Y e y f y y -⎧ >,
=⎨ 0, ≤.
⎩（－）
求E(XY).
解 由于XY 相互独立, 因此有
()()()1
2
(5)05
(5)(5)5(5)()()()()()22532055322
5(01)(6)4
33
X Y y y y y E XY E X E Y x f x dx y f y dy
x dx ye dy
ye e dy e +∞
+∞
-∞
-∞
+∞--+∞------===⎛⎫⎛+∞⎫=
-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛
⎫⎛+∞⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=-----=-⨯-=⎰
⎰
⎰⎰
⎰
9. 设随机函数X 的密度为
()f x <,= 0, ≥⎩
x 1x 1. 求E(X), D(X). 解
1
1
()()0E X x f x dx +∞-∞
-==
=⎰
⎰
π
22
1
1
2
2
21
1000
10
1
2
()()2
222211()arcsin |1422
E X x f x dx x +∞
-∞
-==
=
=-=-+=-+=-+=⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰
ππππππππ
()2
21()()()2
D X
E X E X =-=
10.
设随机函数X 服从瑞利(Rayleigh)分布,
其密度函数为
2
2
22,0()x x e x f x x σ-⎧ >,
⎪=σ⎨⎪ 0, ≤0.⎩
其中σ>0是常数，求E(X)，D(X). 解
222
2
222
2
()()x x x E X x f x dx e
dx xde
σσσ
-
-
+∞+∞
+∞
-∞
===-⎰
⎰
⎰
222
2222222
2
00/0
0222
x x x u u x xe e dx e dx
e
du σσσσ
π
π
σσ
σ---+∞+∞+∞
-=⎛⎫
+∞=--= ⎪⎝⎭−−−→===⎰⎰⎰
222
2
22222
222
2222
2
23
2
2
2
2
2002
220
()()2202220
x x x x x x u u u
x E X x f x dx e
dx x de
x e xe dx xe dx e du e
σσσσσ
σσ
σ
σσ=+∞
+∞
+∞-
-
-∞
+∞+∞---+∞
--===-⎛+∞⎫=--= ⎪⎝⎭+∞
−−−→==-=⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰
()
2
2
22
2
()()()2(2)22D X E X E X ππσσ
σ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
11. 抛掷12颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差.
解 掷1颗骰子，点数的期望和方差分别为： E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2 E(X 2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6 因此 D(X) = E(X 2)-(E(X)) 2 = 35/12
掷12颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有： E(X 1+X 2+…+X 12)=12E(X) = 42
D(X 1+X 2+…+X 12) =D(X 1)+D(X 2)+…+D(X 12)=12D(X)=35 12. 将n 只球（1～n 号）随机地放进n 只盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X 为配对的个数，求E(X), D(X).
解 （1）直接求X 的分布律有些困难，我们引进新的随机变量X k
1,
0,k k X k ⎧=⎨⎩第只球装入第k 号盒子第只球没装入第k 号盒子
,
则有：
1
n
k
k X X ==∑，X k 服0-1分布
因此：11
(0)11,(1),k
k P X p P X p n n
==-=-===
()11
111(),()11()1
k k n
n
k k k k E X p D X n
n n E X E X E X n n ==⎛⎫==
=
- ⎪⎝⎭
⎛⎫
===⋅= ⎪⎝⎭∑∑
（2）k j X X 服从0-1分布，则有
11(1)(1)(1)(1,1),()k j k j k j n n n n P X X P X X E X X --======
1()n k k D X D X =⎛⎫
= ⎪⎝⎭
∑
()112222(,)
1112(()()())11112(1)1111112111(1)n
k k j k k j
n
k j k j k k j
k j n D X Cov X X E X X E X E X n n n n n n n C n n n n n n =<=<<=+⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎛⎫=-
+- ⎪-⎝⎭⎛⎫-⎛⎫=-+-=-+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑∑
故，E(X)=D(X)=1. 我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，X 服从参数为1的泊松分布. 13. 在长为l 的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差.
解 设所取的两点为X,Y , 则X,Y 为独立同分布的随机变量, 其密度函数为
1
1
,01,01(),
(),
0,
0,
X Y x x f x f y l l other other ⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩ 21
,0,1
(,)()(),
0,
Y Y x y f x y f x f y l other ⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩
依题意有
()(,)E X Y x y f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
-=-⎰⎰
()()2200
011
l x
l l x x y dydx y x dydx l l
=-+-⎰
⎰⎰⎰ 222
2
20
01
1222l
l
x l x dx lx dx l
l =+-+⎰
⎰
322322110032262l l x l x lx x l l ⎛⎫⎛⎫
=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
66
3
l l l =+= ()2
2
()(,)E X Y x y
f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
-=-⎰
⎰
()2
200
1
l l
x y dxdy l
=-⎰⎰ ()222003
222012103l l l dx x xy y dy l
l y
x y xy dx
l =
-+⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭⎰⎰⎰ 3
2
2
20332222
1
31110
3
2316
l
l x l xl dx l l
l x l x l x l
l =-+⎛⎫=-+
⎪⎝⎭=⎰ D(X -Y) = E((X -Y)2)-(E(X -Y))2 = 2221116918
l l l -= 14.
设随机变量X 服从均匀分布，其密度
函数为
12,()2x f x ⎧
0<<,
⎪=⎨⎪0, .⎩其他,
求E(2X 2)，D(2X 2). 解
12
2
2
2
20
1(2)2()2()226E X E X x f x dx x dx +∞-∞
====
⎰
⎰ 1
2
4
4
420
11()()2,()80
12
E X x f x dx x dx E X +∞
-∞===
=
⎰⎰ ()
()
2
22421
11(2)4()4()()48014445
D X D X
E X E X ⎛⎫==-=⨯-=
⎪⎝⎭ 15. 设随机变量X 的方差为2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率
(()7.5)P X E X -≥ 的值.。