1.1.2 弧度制 教案(优秀经典公开课比赛教案)

1.1.2 弧度制

一、教学目标：

知识与技能：

1.通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．

2.掌握弧度与角度的转换，会推导和运用弧度制下的扇形弧长和面积公式。

过程与方法：

通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．

情感、态度与价值观

通过类比长度、重量的不同度量制，让学生体会类比思想方法的运用，帮助学生形成科学的世界观、价值观．

二．重点难点

重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．

难点：弧度的概念及其与角度的关系．

三、教材与学情分析

在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度

为单位进行度量，并且一度的角等于周角的1

360，记作1°.

通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．

通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点的目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式．使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的．进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点．四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

1.导入新课

思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？

思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度换算的关键．

在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样．每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．

2.推进新课

（1）提出问题：问题①：在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？

问题②：我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题

带来方便.那么角的度量是否也能用不同的单位制呢？

活动：教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，

并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教

师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的

角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作 1 rad.

如图1中，的长等于半径r，AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角，

即l

r＝1

图1

讨论结果：①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就

是1°.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．

②能，用弧度制．

（2） 提出问题：问题①：作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连接圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？

问题②：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数是多少？

既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？

活动：教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况，让

学生找出区别和联系．教师给予补充和提示，对表现好的学生进行表扬，对回答不准确的学生提示和鼓励．引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1

360；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一

个与半径大小无关的定值．教师要强调为了让学生习惯使用弧度制，本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制．

讨论结果：①完全重合，因为都是1弧度的角．

②α＝l r ；将角度化为弧度：360°＝2π rad,1°＝π180 rad≈0.017 45 rad ，将弧度化

为角度：2π rad ＝360°，1 rad ＝(180π)°≈57.30°＝57°18′.弧度制与角度制的换

算公式：设一个角的弧度数为α rad ＝(180απ)°，n °＝n π

180

(rad)．

（3） 提出问题：问题①：引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该

怎么用弧度来表示？扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？

问题②：填写下列的表格，找出某种规律.

的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数

∠AOB 的度数

πr

逆时针方向