简单的优化模型.

第三章 简单的优化模型

1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量.证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中找结果都与原来的一样.

解：设购买单位重量货物的费用为k ，对于不允许缺货模型，每天平均费用为

c （T ）=c1/T+c2rT/2+kr,T,Q 的[最优结果不变。对于允许缺货模型，每天平均费用为c(T,Q)=1/T[c1+c2Q^2/2r+c3(rT-Q)^2/2r+kQ],利用

0,0=∂∂=∂∂Q

c T c ，可求出T,Q 的最优结果为 3

2))32(23323212(*,)32332212(*21222212

c c kr c c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T +-+-+=-+= T*,Q*均比不考虑费用k 时的结果减少。

3.在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.

解：不妨设1)('

+=b b λλ，表示火势b 越大，灭火速度λ越小，分母b+1中的1是防止0

→b 时∞→λ而加的。最优解为

.)1()32)1]()1(221[('212'2'λ

βλβλ+++++=b c b b b c b c x

4.在3.4节最优价格模型中，如果考虑到成本q 随着产量x 的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型.

解：不妨设k kx q x q ,)(0-=是产量增加一个单位时成本的降低。最优价格为.2)1(2*0b

a k

b ka q p +--=

5.在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设q=q0+βt ，

β为增长率.又设单位时间的销售量为x=a-bp

（p 为价格）.今将销售期分为0

解：总利润为

)]}43(2[)2()]4(1[)1{(2)2()](2[)1()](1[)2,1(002/2

/0T q p b bp a T q p b bp a T dt bp a t q p dt bp a t q p p p U T

T T ββ+---++---=--+--=⎰⎰

由02

,01=∂∂=∂∂p U p U ，可得最优价格 )]4

3([212)],4([21100T q b a b p T q b a b p ββ++=++= 设总销量为Q 0， ).21(2

)2()1(2/02/0p p bT aT dt bp a dt bp a Q T T T +-=-+-=⎰⎰ 在此约束条件下U(p1,p2)的最大值点为

8

2~,81~00T bT Q b a p T bT Q b a p ββ--=--=

6.在3.6节消费者的选择模型中，

（1） 证明若条件B 成立，则条件A 成立.

（2） 验证（3），（5），（7）式给出的效用函数是否满足条件B 和A.

（3） 若消费者的效用函数为（7）式，求最优比例p1q1/p2q2，并分析参数a ，b 的意

义.

（4） 若商品甲的价格p1增加，其余条件不变，讨论消费者均衡状态的变化.

（5） 若消费者购买商品的钱s 增加，其余条件不变，讨论消费者均衡状态的变化.

（6） 推广到消费者购买m （m>2）种商品的情况。

解：（1）用隐函数求导规则可以证明当条件B 成立时，,01

2,01222>

（3）1

2221122p b p a q p q p =,a,b 分别表示消费者对商品甲、乙的偏爱程度。 （4）p1增加时，消费者均衡状态Q 点将左移（见书中图7）.

（5）s 增加时,消费者状态Q 点将向右上方移动（见书中图7）.

（6）优化模型为Max U(q1,…,qm ) ,∑==m

i s piqi 1.

7.要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少.

将人体简化成一个长方体，高a=1.5cm （颈部以下），宽b=0.5m ，厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m ，跑步最大速度vm=5m/s ，雨速u=4m/s ，降雨量w=2cm/h ，记跑步速度为v 。按一下步骤进行讨论：

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量.

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，w ，θ之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少.计算θ=0，θ=︒30时的总淋雨量.

（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图

2.建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，w ，α之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少.计算α=︒30时的总淋雨量.

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面模型会有什么变化.

解：（1）全身面积s=2ab+2ac+bc=2.2m 2 ,淋雨时间t=d/v m =200s,降雨量w=2cm/h=10- 4/18m/s,所以总淋雨量Q=st w ≈2.44升.

（2）顶部淋雨量Q1=bcdwcos θ/v;雨速水平分量usin θ,方向与v 相反，合速度usin θ+v,迎面单位时间、单位面积的淋雨量w(usin θ+v)/u,迎面淋雨量Q2=abdw(usin θ+v)/uv,所以总淋雨量Q=Q1+Q2=.)sin (cos v

v u a cu u bdw ++θθv=v m 时Q 最小. θ=0, Q ≈1.15升. θ=300, Q ≈1.55升.

（3）与（2）不同的是，合速度为|usin θ+v|，于是总淋雨量

Q=｛a u v v

av a a a c u u bdw v a u v a a cu u bdw a u v v av a a a c u u bdw v v a u a a cu u bdw sin ,)sin cos ()sin (cos sin ,)sin cos ()sin (cos >+-=-+≤-+=-+ 若,0sin cos <-a a a c 即,/tan a c a >则a u v sin =时Q 是最小.否则, m v v =时Q 是最小最小(见下图).当a=300 ,tan a>0.2/1.5,v=2m/s, Q ≈0.24升最小.可与m v v =, Q ≈0.93升相比.