第二章第二节曲面的参数方程

第二章 曲面论

第二节 曲面的参数方程

一、 曲面的参数方程

设曲面∑是由显式

D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。

设),,(z y x 是曲面∑上的点，记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。

于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示，

也可以写为参数形式

⎪⎩⎪⎨⎧===),(,

,y x f z y y x x D y x ∈),(。

一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参

数∆∈),(v u ，这里∆是2R 中的一

个区域。 我们称由3),(R v u r r ∈= ，∆∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。）

记为∆∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1）

把（1）用分量表示出来，就是 ⎪⎩

⎪⎨⎧===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，∆∈),(v u （2） 通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。

显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。

二、 几个用参数方程表示的常见

曲面

例1 平面的参数方程，

设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点，

),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,R

v u b v a u p r ∈++=

来表示；

写成分量表示为

v b u a x x 110++=，

v b u a y y 220++=，

v b u a z z 330++=，

即方程组

0)()(1)(110=-+-+⋅-v b u a x x ，

0)()(1)(220=-+-+⋅-v b u a y y ，

0)()(1)(330=-+-+⋅-v b u a z z

有非零解),,1(v u --，

所以，有

0321321

000

=---b b b a a a z z y y x x 。

例2 球心在坐标原点，半径为a 的球面2222:a z y x =++∑， 有参数方程

)cos ,sin sin ,cos sin (θϕθϕθa a a r =， 其中参数的变化范围是

πϕπθ20,0≤≤≤≤，

参数ϕθ,的意义，分别表示纬度和经度，见图所示。

例3椭球面1:22

2222=++∑c z b y a x ， 的参数方程表示为

,cos sin ϕθa x =

,sin sin ϕθb y =

,cos θc z =

这里πθ≤≤0，πϕ20≤≤ 。

三、 曲面参数方程表示的几何意

义。（曲线坐标）

1. 平面到曲面的映射

曲面⎪⎩⎪⎨⎧===∑)

,(),(),,(:v u z z v u y y v u x x ，∆∈),(v u （2） 即映射∑=∆→∆)(:r r ，

也就是说，任给定一点 ∆∈),(00v u ,代入方程（2）可算得∑上的一点),,(0000z y x p =，其中 ),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===。

当然，不同的参数对可能对应着∑上的同一点，这时曲面∑出现自交的现象。

2. 曲线坐标网

用分别平行于u 轴和v 轴的直线，将∆分成网格，则在曲面∑得到对应的曲线网。

实例，切菜条，切土豆丝，撑开的鱼网面，编织袋曲面，棉布面，军事伪装网面等。

现在，令0u u =，在参数区域∆上，这是一段平行于u 轴的直线，这时，将0u u =代入方程，得出

),(),,(),,(000v u z z v u y y v u x x ===， 它是单参数v 的方程，对应着曲面∑上的一段曲线，这类曲线被称为曲面∑上的v 曲线（因为只有参数v 在变化），不同的0u u =就对应着不同的

v 曲线，所有的v 曲线族就覆盖住了曲面∑。

类似地，若令0v v =，那么曲面∑

上的曲线

),(),,(),,(000v u z z v u y y v u x x === 称为∑上的u 曲线（因为只有参数u 在变化），不同的0v v =就对应

着不同的u 曲线，所有的u 曲线族就覆盖住了整个曲面∑。

一般地说，曲面∑上的一点，只有一条u 曲线和一条v 曲线通过。

例如说，过曲面∑上的点),(00v u r 只有u 曲线0v v =和v 曲线

0u u =通过。

我们说，),(00v u 是曲面∑上的点),(00v u r 的曲线坐标，以后，我们干脆称∆∈),(00v u 是曲面上的点。

让我们来看例2，这时球面上的θ曲线的方程是常数=ϕ，它们是球面上的经线；而球面上的ϕ曲线的方程是常数=θ，它们是球面上的纬线；

当常数θ属于)2,0(π时，是北纬线；当常数θ属于),2(ππ时，是南纬线。 很明显，除了南极和北极两点之外，球面上的其他点只有唯一的一条经线和唯一的一条纬线通过。

四、 曲面的切平面和法向量

)),(),,(),,((),(0000v u z v u y v u x v u r =是曲面∑上的u 曲线，

偏导向量

)),(),,(),,((),(),(00000v u u z v u u y v u u x du v u dr u v u r ∂∂∂∂∂∂==∂∂ 是曲面∑上的u 曲线0v v =的切向量；

类似地，

)),(),,(),,((),(),(00000v u v z v u v y v u v x dv v u dr v v u r ∂∂∂∂∂∂==∂∂ 是曲面∑上的v 曲线0u u =的切向量。

特别地，偏导向量,),(00u v u r ∂∂,),(00v v u r ∂∂分