第二章第二节曲面的参数方程

第二章 曲面论第二节 曲面的参数方程一、 曲面的参数方程设曲面∑是由显式D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。

设),,(z y x 是曲面∑上的点，记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。

于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示，也可以写为参数形式⎪⎩⎪⎨⎧===),(,,y x f z y y x x D y x ∈),(。

一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参数∆∈),(v u ，这里∆是2R 中的一个区域。

我们称由3),(R v u r r ∈= ，∆∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。

）记为∆∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1）把（1）用分量表示出来，就是 ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，∆∈),(v u （2） 通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。

显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。

二、 几个用参数方程表示的常见曲面例1 平面的参数方程，设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点，),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。

这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,Rv u b v a u p r ∈++=来表示；写成分量表示为v b u a x x 110++=，v b u a y y 220++=，v b u a z z 330++=，即方程组0)()(1)(110=-+-+⋅-v b u a x x ，0)()(1)(220=-+-+⋅-v b u a y y ，0)()(1)(330=-+-+⋅-v b u a z z有非零解),,1(v u --，所以，有0321321000=---b b b a a a z z y y x x 。

例2 球心在坐标原点，半径为a 的球面2222:a z y x =++∑， 有参数方程)cos ,sin sin ,cos sin (θϕθϕθa a a r =， 其中参数的变化范围是πϕπθ20,0≤≤≤≤，参数ϕθ,的意义，分别表示纬度和经度，见图所示。

例3椭球面1:222222=++∑c z b y a x ， 的参数方程表示为,cos sin ϕθa x =,sin sin ϕθb y =,cos θc z =这里πθ≤≤0，πϕ20≤≤ 。

三、 曲面参数方程表示的几何意义。

（曲线坐标）1. 平面到曲面的映射曲面⎪⎩⎪⎨⎧===∑),(),(),,(:v u z z v u y y v u x x ，∆∈),(v u （2） 即映射∑=∆→∆)(:r r ，也就是说，任给定一点 ∆∈),(00v u ,代入方程（2）可算得∑上的一点),,(0000z y x p =，其中 ),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===。

当然，不同的参数对可能对应着∑上的同一点，这时曲面∑出现自交的现象。

2. 曲线坐标网用分别平行于u 轴和v 轴的直线，将∆分成网格，则在曲面∑得到对应的曲线网。

实例，切菜条，切土豆丝，撑开的鱼网面，编织袋曲面，棉布面，军事伪装网面等。

现在，令0u u =，在参数区域∆上，这是一段平行于u 轴的直线，这时，将0u u =代入方程，得出),(),,(),,(000v u z z v u y y v u x x ===， 它是单参数v 的方程，对应着曲面∑上的一段曲线，这类曲线被称为曲面∑上的v 曲线（因为只有参数v 在变化），不同的0u u =就对应着不同的v 曲线，所有的v 曲线族就覆盖住了曲面∑。

类似地，若令0v v =，那么曲面∑上的曲线),(),,(),,(000v u z z v u y y v u x x === 称为∑上的u 曲线（因为只有参数u 在变化），不同的0v v =就对应着不同的u 曲线，所有的u 曲线族就覆盖住了整个曲面∑。

一般地说，曲面∑上的一点，只有一条u 曲线和一条v 曲线通过。

例如说，过曲面∑上的点),(00v u r 只有u 曲线0v v =和v 曲线0u u =通过。

我们说，),(00v u 是曲面∑上的点),(00v u r 的曲线坐标，以后，我们干脆称∆∈),(00v u 是曲面上的点。

让我们来看例2，这时球面上的θ曲线的方程是常数=ϕ，它们是球面上的经线；而球面上的ϕ曲线的方程是常数=θ，它们是球面上的纬线；当常数θ属于)2,0(π时，是北纬线；当常数θ属于),2(ππ时，是南纬线。

很明显，除了南极和北极两点之外，球面上的其他点只有唯一的一条经线和唯一的一条纬线通过。

四、 曲面的切平面和法向量)),(),,(),,((),(0000v u z v u y v u x v u r =是曲面∑上的u 曲线，偏导向量)),(),,(),,((),(),(00000v u u z v u u y v u u x du v u dr u v u r ∂∂∂∂∂∂==∂∂ 是曲面∑上的u 曲线0v v =的切向量；类似地，)),(),,(),,((),(),(00000v u v z v u v y v u v x dv v u dr v v u r ∂∂∂∂∂∂==∂∂ 是曲面∑上的v 曲线0u u =的切向量。

特别地，偏导向量,),(00u v u r ∂∂,),(00v v u r ∂∂分别是曲面∑上的点),(00v u 处的u 曲线的切向量和v 曲线的切向量。

为了进一步认识这两个向量和几何意义，我们继续开展下面的讨论。

设)(),(t v v t u u ==是∆中的一段曲线，并设∆∈),(00v u ，)(),(0000t v v t u u ==。

这一段曲线在映射r 之下，变成曲面∑上的一条曲线，它经过∑上的点),(000v u r p =，所以，我们可以直接称)(),(t v v t u u ==是∑上过),(000v u r p =这一点的曲线，它的向量方程是))(),((t v t u r r =，对t 求导，由链式法则，可得 )()(t v v r t u u r dt r d '∂∂+'∂∂= ，将0t t =代入上式，我们有)(),()()(|00000,00t v v u vr t u v u u r dt r d t t '∂∂+'∂∂== ， 此式表示：曲面∑上过点),(000v u r p =的任何一条曲线，它在),(000v u r p =处的切向量，都是),(),(000,0v u v r v u u r ∂∂∂∂ 的线性组合，也就是说，曲面∑上过点),(000v u r p =的任何一条曲线在),(000v u r p =处的切线在同一平面上，它就是由),(),(000,0v u v r v u u r ∂∂∂∂ 这两个向量张成的平面，当然要设这两个向量不共线。

我们把这个平面定义为曲面∑在处),(000v u r p =的切平面，切平面方程为),()(000,00v u vr v u u r p r ∂∂+∂∂+= μλ， 其中2),(R ∈μλ 。

也可以写出切平面方程的一般形式。

而把向量),()(000,0v u v r v u u r ∂∂⨯∂∂ 当成曲面∑在点),(000v u r p =处的一个法向量，因此，曲面∑在点),(000v u r p =处有法向量),()(000,0v u v r v u u r ∂∂⨯∂∂ 。

法线的方程亦可写出来。

法向量的计算公式：),,(uz u y u x u r r u ∂∂∂∂∂∂=∂∂=， ),,(vz v y v x v r r v ∂∂∂∂∂∂=∂∂=， v u r r ⨯v x v x v xu z u y u x k j i∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=（将此行列式按第一行展开） k v u y x j v u x z i v u z y ),(),(),(),(),(),(∂∂+∂∂+∂∂= 。

五、 曲面的第一基本量 由于),(sin ||||||||||||2222v u v u v u r r r r r r =⨯),(cos ||||||||||||||||22222v u v u v u r r r r r r -=222),(||||||||v u v u r r r r -=，记 2222)()()(||||u z u y u x r E u ∂∂+∂∂+∂∂==， v u r r F ⋅=),,(uz u y u x ∂∂∂∂∂∂=),,(v z v y v x ∂∂∂∂∂∂⋅ u y v x u x ∂∂+∂∂∂∂=v z u z v y ∂∂∂∂+∂∂，2222)()()(||||v z v y v x r G v ∂∂+∂∂+∂∂==。

我们把G F E 和,，称为曲面∑的第一基本量。

因此，2||||F EG r r v u -=⨯ 。

从而v u v u v u r r F EG r r r r ⨯-=⨯⨯21||||是曲面∑上的单位法向量，用n 来记，即||||v u v u r r r r n ⨯⨯= ；||||v u v u r r r r ⨯⨯-也是曲面∑上的单位法向量。

我们令||||v u v u r r r r n ⨯⨯±=。

补充知识：（1） 向量的内积设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 定义θcos ||||||||b a ⋅=⋅→→，称为向量→a 与→b 的内积；记为→→⋅b a 或),(→→b a 。

可以证明：332211b a b a b a b a ++=⋅→→ 。

2322212),(||||a a a a a a ++==→→→； ),(||||2→→→→→→++=+b a b a b a22||||),(2||||→→→→++=b b a a 。

（2） 向量的外积（或叉积） 定义向量→c 的大小为θsin ||||||||b a ⋅， 且→c 与b a ,垂直，方向为使b a ,，→c 恰成右手坐标系，此向量→c 称为→a 与→b 的外积，记为→→⨯b a ；在直角坐标系中，可以证明： 设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 则321321b b b a a a k j i b a =⨯→→k b b a a j b b a a i b b a a 212131313232)(+-+= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212131313232,,b b a a b b a a b b a a 。