弹性力学第四章应力应变
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(41)
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
f1 f1 f1 f1 f1 f1 xy x ( f1 )0 x y z yz xz z 0 x 0 xz 0 y 0 yz 0 xy 0
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 xz C16 xy y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 xz C26 xy z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 xz C36 xy yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy
上式中 cmn(m,n=1,2…6)是弹性系数，共36个，对 于均匀材料它们为常数,称为弹性常数,与坐标无关。
上式即为广义胡克定律，可以看出应 力和应变之间是线性的。 可以证明各弹性常数之间存在关系式 cmn = c nm 。对于最一般的各向异性介质，弹 性常数也只有21个。
§4.2 弹性体变形过程中的功与能
yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy
xz C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 xz C56 xy
(4-2)
xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 xz C66 xy
0 0 0
f3 f3 f3 f3 f3 f3 z ( f3 )0 z yz x y xz xy z 0 x 0 xz 0 y 0 yz 0 xy 0
y ( f 2 )0
f2 f2 f2 f2 f2 f2 xy x y z yz xz z 0 x 0 xz 0 y yz xy
两个弹性对称面
x C11 x C12 y C13 z y C21 x C22 y C23 z z C31 x C32 y C33 z yz C44 yz xz C55 xz xy C66 xy
相互垂直的3个平面中有 两个弹性对称面， 第三个必为弹性对称面 9个弹性常数 正应力仅与正应变有关； 切应力仅与对应的切应变 有关。
x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =-yz，z'x' =zx x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =-yz，z'x' =zx
将上述关于y 轴弹性对称的应力 C C C x 11 x 12 y 13 z 应变关系代入具有一个弹性对称 面的各向异性材料本构关系。为 y C21 x C22 y C23 z 保持应力和应变在坐标变换后不 z C31 x C32 y C33 z 变，则必有 yz C44 yz (4C14= C24= C34= C56=0 xz C55 xz 10) 其弹性常数由13个将减少为9个。 C xy 66 xy 于是其应力应变关系简化为
第四章 应力和应变的关系
在应力分析中，仅从静力学的观点出发，引入了 9个应力分量 ij ，它们满足三个平衡微分（运动方程） 剪应力互等定理，由此得到应力张量对称的结论， 因此独立的应力分量只有六个。在应变分析中，从 物体的几何连续性观点出发，研究物体变形，得到 三个位移分量 u i 和6个独立的应变分量 ij 。这样我们 总共引入了十五个变量 ui , ij , ij ，它们满足的方 程只有九个:
弹性体的拉压与剪切变形,不同平面内的剪切 之间没有耦合作用,称为正交各向异性体。
4 横观各向同性弹性体
假如过弹性体中的任意点都有一 个平面，在这个平面内，从各个方向 看，弹性关系都相同。
x y z
x’
y’ z’
-1
0 0
0
1 0和应变分量在坐标系变换 时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系 变换时取负值（也可按照转轴时的变换公式计算）。有, x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx 根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式代入广义 胡克定律表达式(4-2)得
2v 再对 xz求偏导: C25 y xz 同理有：
v xz C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 xz C56 xy xz 2v C52 xz y
根据偏导数次序可交换原则，可证C25=C52。对于其它的 弹性常数可以作同样的分析，则 Cmn=Cnm 。 上述结论表明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数 。
等温过程：利用热力学第二定律
x
vF , x
y
vF , y
z
vF , z
xy
vF , xy
yz
vF , yz
xz
vF xz
统一的形式：
v x , x v y , y v z , z v xy , xy v yz , yz v xz xz
2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
如果物体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向 具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。垂 直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。 假设yz坐标面为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。将x轴绕 动 z 轴转动π 角度，成为新的 Ox'y'z'坐标系。 新旧坐标系之间的转换关系为
弹性体的应变能函数表达式
1 v ( x x y y z z xy xy yz yz xz xz ) 2
1. 极端各向异性弹性体
§4.3 各向异性弹性体
利用格林公式和广义胡 克定律： v y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 xz C26 xy y
• 本节使用热力学的原理推导能量形式的物 理方程（本构关系）。
外力作用——弹性体变形 ——变形过程外力作功 ——弹性体内的能量也发生变化。
绝热过程：利用热力学第一定律
vI x , x vI y , y vI z , z vI xy , xy vI yz , yz vI xz xz
x f1 ( x , y , z , xy , yz , zx )
y f2 ( x , y , z , xy , yz , zx ) z f3 ( x , y , z , xy , yz , zx ) xy f4 ( x , y , z , xy , yz , zx ) yz f5 ( x , y , z , xy , yz , zx ) zx f6 ( x , y , z , xy , yz , zx )
i ), i , j fi 0( u 1 2
j 1, 2,3
ij (ui , j u j ,i ), i, j 1, 2,3
其中 f i 是已知的体力。从数学分析的角度，上述方程 是不封闭的，因此没有唯一的一组解。还需补充六 个方程，使得方程组封闭。 另外，应力与应变是相辅相成的，有应力就有应变， 反之亦然。对于每一种材料在一定温度下，它们之 间存在着确定的关系，反映了材料的固有特性。本 章的任务就是建立在弹性阶段应力与应变的关系。
由没有初应力的基本假设，上式可表示为
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 xz C16 xy
y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 xz C26 xy
z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 xz C36 xy
xz C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 xz C56 xy xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 xz C66 xy
将上式与式(4-2)相比较，要使变换后的应力和应变关系保持 不变，则必须有 C15=C16=C25=C26=C35=C36=C45=C46=0
第四章 应力和应变的关系
第一节 广义胡克定律 第二节 弹性变形过程中的能量 第三节 各向异性弹性体 第四节 各向同性弹性体 第五节 弹性常数的测定 各向同性体 应变能密度
第一节 广义胡克定律 物体中一点的应力状态由6个应力分量所确定， 同一点附近的变形状态由6个应变分量所确定。应力 与形变之间的物理关系可表示为:
对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减 少为13个。
x C11 x C12 y C13 z C14 yz y C21 x C22 y C23 z C24 yz z C31 x C32 y C33 z C34 yz yz C41 x C42 y C43 z C44 yz xz C55 xz C56 xy xy C65 xz C66 xy
3．正交各向异性弹性体
假设物体内每一点具有两个弹性对称面，以下类似地推演具有 两个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。
设 xz 平面也是弹性对 称面，即y 轴也是弹性 主方向，将 y 轴绕动 z 轴转动p角度，成为新 的Ox'y'z'坐标系, 如图 所示。
根据对称性质, 关于y 轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时也 保持不变，而关于y 轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时 取负值。所以，则新旧坐标系下的应力和应变分量的关系为
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
f1 f1 f1 f1 f1 f1 xy x ( f1 )0 x y z yz xz z 0 x 0 xz 0 y 0 yz 0 xy 0
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 xz C16 xy y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 xz C26 xy z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 xz C36 xy yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy
上式中 cmn(m,n=1,2…6)是弹性系数，共36个，对 于均匀材料它们为常数,称为弹性常数,与坐标无关。
上式即为广义胡克定律，可以看出应 力和应变之间是线性的。 可以证明各弹性常数之间存在关系式 cmn = c nm 。对于最一般的各向异性介质，弹 性常数也只有21个。
§4.2 弹性体变形过程中的功与能
yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy
xz C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 xz C56 xy
(4-2)
xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 xz C66 xy
0 0 0
f3 f3 f3 f3 f3 f3 z ( f3 )0 z yz x y xz xy z 0 x 0 xz 0 y 0 yz 0 xy 0
y ( f 2 )0
f2 f2 f2 f2 f2 f2 xy x y z yz xz z 0 x 0 xz 0 y yz xy
两个弹性对称面
x C11 x C12 y C13 z y C21 x C22 y C23 z z C31 x C32 y C33 z yz C44 yz xz C55 xz xy C66 xy
相互垂直的3个平面中有 两个弹性对称面， 第三个必为弹性对称面 9个弹性常数 正应力仅与正应变有关； 切应力仅与对应的切应变 有关。
x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =-yz，z'x' =zx x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =-yz，z'x' =zx
将上述关于y 轴弹性对称的应力 C C C x 11 x 12 y 13 z 应变关系代入具有一个弹性对称 面的各向异性材料本构关系。为 y C21 x C22 y C23 z 保持应力和应变在坐标变换后不 z C31 x C32 y C33 z 变，则必有 yz C44 yz (4C14= C24= C34= C56=0 xz C55 xz 10) 其弹性常数由13个将减少为9个。 C xy 66 xy 于是其应力应变关系简化为
第四章 应力和应变的关系
在应力分析中，仅从静力学的观点出发，引入了 9个应力分量 ij ，它们满足三个平衡微分（运动方程） 剪应力互等定理，由此得到应力张量对称的结论， 因此独立的应力分量只有六个。在应变分析中，从 物体的几何连续性观点出发，研究物体变形，得到 三个位移分量 u i 和6个独立的应变分量 ij 。这样我们 总共引入了十五个变量 ui , ij , ij ，它们满足的方 程只有九个:
弹性体的拉压与剪切变形,不同平面内的剪切 之间没有耦合作用,称为正交各向异性体。
4 横观各向同性弹性体
假如过弹性体中的任意点都有一 个平面，在这个平面内，从各个方向 看，弹性关系都相同。
x y z
x’
y’ z’
-1
0 0
0
1 0和应变分量在坐标系变换 时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系 变换时取负值（也可按照转轴时的变换公式计算）。有, x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx 根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式代入广义 胡克定律表达式(4-2)得
2v 再对 xz求偏导: C25 y xz 同理有：
v xz C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 xz C56 xy xz 2v C52 xz y
根据偏导数次序可交换原则，可证C25=C52。对于其它的 弹性常数可以作同样的分析，则 Cmn=Cnm 。 上述结论表明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数 。
等温过程：利用热力学第二定律
x
vF , x
y
vF , y
z
vF , z
xy
vF , xy
yz
vF , yz
xz
vF xz
统一的形式：
v x , x v y , y v z , z v xy , xy v yz , yz v xz xz
2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
如果物体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向 具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。垂 直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。 假设yz坐标面为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。将x轴绕 动 z 轴转动π 角度，成为新的 Ox'y'z'坐标系。 新旧坐标系之间的转换关系为
弹性体的应变能函数表达式
1 v ( x x y y z z xy xy yz yz xz xz ) 2
1. 极端各向异性弹性体
§4.3 各向异性弹性体
利用格林公式和广义胡 克定律： v y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 xz C26 xy y
• 本节使用热力学的原理推导能量形式的物 理方程（本构关系）。
外力作用——弹性体变形 ——变形过程外力作功 ——弹性体内的能量也发生变化。
绝热过程：利用热力学第一定律
vI x , x vI y , y vI z , z vI xy , xy vI yz , yz vI xz xz
x f1 ( x , y , z , xy , yz , zx )
y f2 ( x , y , z , xy , yz , zx ) z f3 ( x , y , z , xy , yz , zx ) xy f4 ( x , y , z , xy , yz , zx ) yz f5 ( x , y , z , xy , yz , zx ) zx f6 ( x , y , z , xy , yz , zx )
i ), i , j fi 0( u 1 2
j 1, 2,3
ij (ui , j u j ,i ), i, j 1, 2,3
其中 f i 是已知的体力。从数学分析的角度，上述方程 是不封闭的，因此没有唯一的一组解。还需补充六 个方程，使得方程组封闭。 另外，应力与应变是相辅相成的，有应力就有应变， 反之亦然。对于每一种材料在一定温度下，它们之 间存在着确定的关系，反映了材料的固有特性。本 章的任务就是建立在弹性阶段应力与应变的关系。
由没有初应力的基本假设，上式可表示为
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 xz C16 xy
y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 xz C26 xy
z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 xz C36 xy
xz C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 xz C56 xy xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 xz C66 xy
将上式与式(4-2)相比较，要使变换后的应力和应变关系保持 不变，则必须有 C15=C16=C25=C26=C35=C36=C45=C46=0
第四章 应力和应变的关系
第一节 广义胡克定律 第二节 弹性变形过程中的能量 第三节 各向异性弹性体 第四节 各向同性弹性体 第五节 弹性常数的测定 各向同性体 应变能密度
第一节 广义胡克定律 物体中一点的应力状态由6个应力分量所确定， 同一点附近的变形状态由6个应变分量所确定。应力 与形变之间的物理关系可表示为:
对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减 少为13个。
x C11 x C12 y C13 z C14 yz y C21 x C22 y C23 z C24 yz z C31 x C32 y C33 z C34 yz yz C41 x C42 y C43 z C44 yz xz C55 xz C56 xy xy C65 xz C66 xy
3．正交各向异性弹性体
假设物体内每一点具有两个弹性对称面，以下类似地推演具有 两个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。
设 xz 平面也是弹性对 称面，即y 轴也是弹性 主方向，将 y 轴绕动 z 轴转动p角度，成为新 的Ox'y'z'坐标系, 如图 所示。
根据对称性质, 关于y 轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时也 保持不变，而关于y 轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时 取负值。所以，则新旧坐标系下的应力和应变分量的关系为