离散数学考试题

离散数学期末试卷（B）

一数理逻辑部分

1（10分）写出命题公式⌝（P→Q）∨R的真值表，并写出它的主析取范式。

解：P Q R P→Q ⌝（P→Q）⌝（P→Q）∨R

0 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1

0 1 0 1 0 0

0 1 1 1 0 1

1 0 0 0 1 1

1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 0 1

主析取范式：

⌝（P→Q）∨R

⇔（⌝ P∧⌝ Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）∨（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧⌝Q∧R）∨（P∧Q∧R）

2（8分）使用恒等式证明Q∨⌝（（⌝P∨Q）∧P）⇔T，并写出它的对偶公式。

解：Q∨⌝（（⌝P∨Q）∧P）

⇔Q∨⌝（P∧Q）

⇔Q∨⌝P∨⌝Q

⇔T∨⌝P

⇔T

对偶公式为：Q∧⌝（（⌝P∧Q）∨P）

3（10分）将下面的自然语言论证译成逻辑符号，并用推理规则证明结论的有效性。

每一松树都是针叶树，每一冬季落叶的树都非针叶树，所以，每一冬季落叶的树都非松树。设：P（x）：x是松树，Q（x）：x是针叶树，R（x）：x是冬季落叶的树

论证：(∀x(P(x)→Q(x)))∧ (∀x(R(x)→⌝Q(x)))⇒∀x(R(x)→⌝P(x))

证明：○1∀x(P(x)→Q(x)) P

○2P(c)→Q(c) T○1，US

○3⌝Q(c)→⌝P(c) T○2，E24

○4∀x(R(x)→⌝Q(x)) P

○5R(c)→⌝Q(c) T○4，US

○6R(c)→⌝P(c) T○3○5，I6

○7∀x(R(x)→⌝P(x)) T○6，UG

二集合论部分

1（6分）已知集合A={a}，求A的幂集，ρ(A)和ρ(A)的幂集ρ(ρ(A))，并画出ρ(ρ(A))上⊆的偏序哈斯图。

解：ρ(A)={Ø，{a}}

ρ(ρ(A))={ Ø ，{ Ø }，{{a}}，{ Ø ，{a}}}

偏序哈斯图：

2（10分）给定集合X={a，b，c}上的关系R1={，，， ，}和R2={，，，}。写出它们的矩阵M R1，M R2；写出它们复合关系的矩阵M R1○R2和R1的自反闭包r(R1)的矩阵M r(R1)。

解：M R1= 0 1 1 M R2= 1 1 0

1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1

M R1○R2= M R1·M R2= 0 1 1

1 1 0

1 1 0

M r(R1)= M R1∨I= 1 1 1

1 1 0

1 0 1

3（6分）给定集合A={a，b，c，d，e}，找出A上的等价关系R，使此等价关系能产生划分π={{a}，{c}，{b，d，e}}，并画出这个等价关系R的关系图。

解：R=（{a}×{a}）∨（{c}×{c}）∨（{b，d，e}{b，d，e}）={，，，，，，，，，，}

关系图：

4（8分）给出函数（i）f：R→R+，f（x）=2x，S={1，2}；（ii）g：I→N，g（x）=|x|，V={0，1}。对所给出的每一个函数：（a）试确定它是单射的、满射的、还是双射的；（b）求出给定的集合S和V的逆象；（c）求出函数诱导出的等价关系。

（a）f是双射的g是满射，不是单射

（b）f-1（s）= {0，1} g-1（V）={-1，0，1}

（c）由于f是双射所以由f诱导的等价关系是E f={| x∈R}

由g诱导的等价关系是E g={|| x |=| y |，x，y∈I}

三代数系统部分

1（8分）给出集合S={a，b，c，d}上的运算*如下表，问（a）<.S，*>是否是群，为什么？（b）说明<.S，*>是否有幺元；（c）哪些元有逆元，并把这些逆元写出来。

解：（a）<.S，*>不是群，因为d无逆元（也可由表中的第三行或第四行不是a，b，c，d的量语说明）

（b）由元素a所对应的行或列元素次序未变，所以a是幺元

（c）b有逆元b-1=b c有逆元c-1=c

2（8分）设○是A上的可结合运算，证明：如果a∈A是可逆的，则a也是可约的。

解：设a有逆元a-1且对∀x，y∈S，有a○x=a○y由○可结合

得：a-1○（a○x）=（a-1○a）○x=e○x=x ⇒x=y

a-1○（a○y）=（a-1○a）○y=e○y=y

对x○a=y○a 类似可证可逆元素a是可约的

四图论部分

1（12分）写出图4.1的邻接矩阵A；计算A(3)，并由此指出由节点v3到v4长为3的路有几条，并将这些路写出来；求出该图的可达性矩阵P和它的强分图。

解：A= 0 1 0 1 A(2)=0 0 1 0 A(3)= 0 1 0 1 A(4) =A(2)

0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

由V3到V4长为3的路有1条，V3e3V2e4V3e5V4

P= A∨A2∨A3∨A4= 0 1 1 1

0 1 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

由P∧P T=0 0 0 0